매개변수변환법

틀:위키데이터 속성 추적 매개변수변환법(媒介變數變換法, 틀:Llang)은 비제차 상미분 방정식을 푸는 방법이다.

정의

비제차 선형 상미분 방정식은 다음과 같이 표현될 수 있다.

$y^{\left(n\right)}+a_{n-1}{y}^{(n-1)}+\cdots +a_1{y}^{\prime }+a_{0}y=r\left(x\right)$

위의 식은

$y\left(x\right)=y_h\left(x\right)+y_p\left(x\right)$

와 같은 일반해를 갖게 되는데, 매개변수변환법은 $y_p\left(x\right)$를 구하는 방법이다.

$y_p\left(x\right)$가 특정 형태를 가질 경우에는 미정계수법으로도 구할 수 있으나 $r\left(x\right)$가 미정계수법 표에 소개된 것과 비슷한 형태를 가질 때만 사용할 수 있는 단점이 있다. 이에 비해 매개변수변환법은 더 일반적으로 적용할 수 있는 장점이 있다.

고계 미분 방정식

$n$이 2보다 큰 고계일 때, $y_p\left(x\right)$를 구하는 방법은 다음과 같다.

$\begin{array}{cc}& y_p\left(x\right)=\sum _{k=1}^n{y}_k\left(x\right)\underset{}{\overset{}{\int }}\frac{W_k\left(x\right)}{W\left(x\right)}r\left(x\right)dx\\ & =y_1\left(x\right)\underset{}{\overset{}{\int }}\frac{W_1}{W\left(x\right)}r\left(x\right)dx+\cdots +y_n\left(x\right)\underset{}{\overset{}{\int }}\frac{W_n\left(x\right)}{W\left(x\right)}r\left(x\right)dx\end{array}$

$W$는 이 함수들의 론스키 행렬식이고, $W_j(j=1,\cdots ,n)$는 $W$의 j번째 열을 열벡터 ${\left[\begin{array}{ccccc}0& 0& \cdots & 0& 1\end{array}\right]}^T$로 치환하여 얻어진다.

2계 미분 방정식

$n$이 2일 때, $y_p\left(x\right)$를 구하는 방법은 다음과 같다.

$y_p\left(x\right)=-y_1\underset{}{\overset{}{\int }}\frac{y_{2}r}{W}dx+y_2\underset{}{\overset{}{\int }}\frac{y_{1}r}{W}dx$

여기서 $y_1,y_2$는 대응하는 제차 상미분 방정식의 해이고, $W$는 $y_1,y_2$의 론스키 행렬식이다.

$W=y_1{y}_{2^{\prime }}-y_2{y}_{1^{\prime }}$

외부 링크

• 틀:매스월드