매개계 문서 원본 보기

{{위키데이터 속성 추적}}
가환대수학에서, '''매개계'''(媒介界, {{llang|en|system of parameters|시스템 오브 파라미터즈}}, 약자 {{llang|en|s.o.p}})는 [[국소 가환환]] 위의 ‘국소 좌표계’의 일종이다.<ref name="Matsumura">{{서적 인용|이름=Hideyuki|성=Matsumura|translator1-first=Miles|translator1-last= Reid|총서=Cambridge Studies in Advanced Mathematics|권=8|제목=Commutative ring theory|출판사=Cambridge University Press|날짜=1989-06|isbn=978-0-521-36764-6|doi=10.1017/CBO9781139171762|mr=1011461|판=2|언어=en}}</ref>{{rp|104–116, §14}}<ref name="Eisenbud">{{서적 인용|이름=David|성=Eisenbud|저자링크=데이비드 아이젠버드|제목=Commutative algebra with a view toward algebraic geometry|총서=Graduate Texts in Mathematics|권=150|출판사=Springer-Verlag|날짜= 1995|isbn=978-0-387-94269-8|mr=1322960|doi=10.1007/978-1-4612-5350-1|issn=0072-5285 |zbl=0819.13001 | 언어=en}}</ref>{{rp|234–236, §10.1}} 구체적으로, 매개계는 [[국소 가환환]]의 유일한 [[극대 아이디얼]]의 (충분히 큰 차수의) 거듭제곱을 생성하는 유한 부분 집합이며, 그 크기는 [[국소 가환환]]의 [[크룰 차원]]과 같다. 이 정의에서 극대 아이디얼 대신 그 거듭제곱을 생각하는 이유는 국소 가환환이 특이점의 근방을 나타내는 경우일 수 있기 때문이며, [[정칙 국소환]]의 경우 극대 아이디얼 자체를 생성하는 매개계가 존재한다.

== 정의 ==
다음이 주어졌다고 하자.
* [[뇌터 가환환|뇌터]] [[국소 가환환]] <math>(R,\mathfrak m)</math>
* <math>R</math>-[[유한 생성 가군]] <math>M</math>. 그 [[크룰 차원]]을 <math>\dim_R M = d</math>라고 하자.
이 경우, 다음 두 조건이 서로 [[동치]]이다.
* <math>\operatorname{length}M < \infty</math>
* 충분히 큰 양의 정수 <math>N</math>에 대하여, <math>\mathfrak m^NM = 0</math>이다.
여기서 <math>\operatorname{length}(-)</math>는 [[가군의 길이]]이다.

그렇다면, 임의의 [[유한 집합]]인 [[부분 집합]] <math>S \subseteq R</math>에 대하여, 만약
:<math>\operatorname{length} \frac M{SM} < \infty</math>
이 된다면 <math>|S| \ge d</math>가 된다. 이를 포화시키는 부분 집합, 즉
:<math>|S| = d</math>
:<math>\operatorname{length}\frac M{SM} < \infty</math> (즉, <math>\exists N\in\mathbb Z^+\colon \mathfrak m^NM \subseteq SM</math>)
인 부분 집합 <math>S\subseteq R</math>를 <math>M</math>의 '''매개계'''라고 한다.

특히, <math>M = R</math>인 경우를 생각하자. 즉, 임의의 [[유한 집합]]인 [[부분 집합]] <math>S\subseteq R</math>에 대하여, 만약
:<math>\operatorname{length}M{(S)} < \infty</math> (즉, <math>\exists N\in\mathbb Z^+ \colon \mathfrak m^N \subseteq S</math>)
라면,
:<math>|S| \ge d</math>
이다. 이를 포화시키는 부분 집합, 즉
:<math>|S| = d</math>
:<math>\exists N \in \mathbb Z^+\colon\exists N\in\mathbb Z^+ \colon \mathfrak m^N \subseteq S</math>
인 부분 집합 <math>S</math>를 <math>R</math>의 '''매개계'''라고 한다. 위 조건에서 만약 <math>N = 1</math>으로 놓을 수 있다면, <math>S</math>를 '''정칙 매개계'''(正則媒介界, {{llang|en|regular system of parameters}})라고 한다.

== 성질 ==
뇌터 국소 가환환에 대하여 다음 두 조건이 서로 [[동치]]이다.
* [[정칙 국소환]]이다.
* 정칙 매개계를 갖는다.

뇌터 국소 가환환 <math>(R,\mathfrak m)</math>에 대하여 다음 세 조건이 서로 [[동치]]이다.<ref name="Huneke">{{저널 인용|arxiv=math/0209199|제목=Hyman Bass and ubiquity: Gorenstein rings|이름=Craig|성=Huneke|언어=en}}</ref>{{rp|Remark 2.2}}
* [[코언-매콜리 국소환]]이다.
* 모든 매개계가 [[정칙열]]이다.
* 적어도 하나 이상의 매개계가 [[정칙열]]이다.

=== 정칙 국소환 ===
<math>d</math>차원 [[정칙 국소환]] <math>(R,\mathfrak m,\kappa=R/\mathfrak m)</math>의 부분 집합 <math>S\subseteq\mathfrak m</math>에 대하여 다음 조건들이 서로 [[동치]]이다.<ref name="Matsumura"/>{{rp|105, Theorem 14.2}}
* <math>S \subseteq S'</math>인 정칙 매개계 <math>S'\subseteq R</math>가 존재한다.
* <math>R/(S)</math>는 <math>d-|S|</math>차원 [[정칙 국소환]]이다.
* <math>\{s+\mathfrak m^2\colon s\in S\} \subseteq \mathfrak m/\mathfrak m^2</math>는 <math>\kappa</math>-[[벡터 공간]]인 [[자리스키 접공간|자리스키 공변접공간]] <math>\mathfrak m/\mathfrak m^2</math> 속에서 [[선형 독립]]이다.

=== 독립성 ===
<math>d</math>차원 [[정칙 국소환]] <math>(R,\mathfrak m,\kappa=R/\mathfrak m)</math>의 매개계 <math>(r_1,\dotsc,r_d)</math>가 주어졌다고 하자. 임의의 <math>R</math>계수 <math>k</math>차 [[동차 다항식]]
:<math>p \in R[x_1,\dotsc,x_d]</math>
에 대하여, 만약
:<math>p(r_1,\dotsc,r_d) = 0</math>
이라면, <math>p</math>의 모든 계수는 <math>\mathfrak m</math>에 속한다.<ref name="Matsumura"/>{{rp|107, Theorem 14.5}} (즉, <math>p</math>의 <math>\kappa[x_1,\dotsc,x_d]</math> 속의 상이 0이다.)

== 예 ==
[[아르틴 가환환|아르틴]](즉, 0차원) [[국소 가환환]] <math>(R,\mathfrak m)</math>의 경우, 매개계는 [[공집합]]이다. 이 경우 [[극대 아이디얼]] <math>\mathfrak m</math>은 [[멱영 아이디얼]]이다. (예를 들어, [[소수 (수론)|소수]] <math>p</math>에 대하여 [[국소 가환환]] <math>R = \mathbb Z/(p^d)</math>가 이에 해당한다.) 이 경우, <math>R</math>가 [[정칙 국소환]]인지 여부는 <math>R</math>가 [[체 (수학)|체]]인지 여부와 [[동치]]이다. ([[체 (수학)|체]]의 경우 <math>\mathfrak m = (0)</math>이므로, [[공집합]]이 정칙 매개계를 이룬다.)

체 <math>K</math> 위의 [[아핀 평면]] <math>K[x,y]</math>의 원점에서의 국소환 <math>K[x,y]_{(x,y)}</math>을 생각하자. 이는 2차원 [[정칙 국소환]]이다. 이 경우
:<math>\{x,y\} \subset K[x,y]_{(x,y)}</math>
는 정칙 매개계이다. 보다 일반적으로, 임의의
:<math>\begin{pmatrix}
a&b\\
c&d
\end{pmatrix} \in \operatorname{GL}(2;K)</math>
에 대하여
:<math>\{ax+cy,bx+dy\}</math>
역시 정칙 매개계이다.

반면, 
:<math>\{x,y^2-x\} \subset K[x,y]_{(x,y)}</math>
는 정칙 매개계가 아닌 매개계이다.<ref name="Eisenbud"/>{{rp|235, Figure 10.2}} 이 경우
:<math>\mathfrak m = (x,y) \not\subseteq (x,y^2-x)</math>
:<math>\mathfrak m^2 = (x^2,xy,y^2) \subsetneq (x,y^2-x)</math>
이다.

정수환의 소수 <math>p</math>에서의 국소화 <math>\mathbb Z_{(p)}</math>를 생각하자. 이는 1차원 [[국소 가환환]]이며, 그 극대 아이디얼은 <math>p</math>로 생성되는 [[주 아이디얼]]이다. 따라서 <math>\{p\}</math>는 정칙 매개계를 이룬다. 보다 일반적으로, <math>p</math>와 [[서로소 (수론)|서로소]]인 임의의 0이 아닌 정수 <math>a</math>에 대하여 <math>\{ap\}</math>는 <math>\mathbb Z_{(p)}</math>의 정칙 매개계이다. 또한, 2 이상의 양의 정수 <math>k</math>에 대하여 <Math>\{ap^k\}</math>는 <math>\mathbb Z_{(p)}</math>의 정칙 매개계이지만, 이는 매개계가 아니다.

== 역사 ==
국소환의 개념을 [[볼프강 크룰]]이 1938년에 도입한 뒤, 이미 1943년에 [[클로드 슈발레]]가 매개계의 개념을 사용하였다.<ref>{{저널 인용|이름=Claude|성=Chevalley|저자링크=클로드 슈발레|날짜=1943-10|제목=On the theory of local rings|url=https://archive.org/details/sim_annals-of-mathematics_1943-10_44_4/page/n116|저널=Annals of Mathematics|권=44|호=4|쪽=690–708|doi=10.2307/1969105|jstor=1969105|언어=en}}</ref>{{rp|701, Definition Ⅲ.2}}

매개계의 개념에 대하여 [[데이비드 아이젠버드]]는 다음과 같이 적었다.
{{인용문2|
기하학적으로, 만약 <math>R</math>가 [[대수다양체]] <math>X</math>의 점 <math>p</math>의 [[국소환]]이라면, <math>R</math> 위의 매개계는 일종의 <math>p</math> 근처의 국소 좌표계이다. 즉, [매개계의 원소인] 함수 <Math>x_i</math>들의 값들은 <math>p</math> 근처의 점을 거의 결정하며, 같은 <math>x_i</math>들의 값을 갖는 점들은 유한하다.
<br>
{{lang|en|Geometrically, if <math>R</math> is the local ring of a point <math>p</math> on an algebraic variety <math>X</math>, a system of parameters in <math>R</math> is a sort of local coordinate system for <math>X</math> around <math>p</math>, in the sense that the values of the functions <math>x_i</math> determine points near <math>p</math> up to a finite ambiguity […]}}
|<ref name="Eisenbud"/>{{rp|235, §10.1}}
}}

== 참고 문헌 ==
{{각주}}

== 외부 링크 ==
* {{eom|title=System of parameters of a module over a local ring}}

[[분류:가환대수학]]