말리아뱅 미분 문서 원본 보기

{{위키데이터 속성 추적}}
[[확률론]]에서, '''말리아뱅 미분'''(Malliavin微分, {{llang|en|Malliavin derivative}})은 [[위너 공간]] 위에 정의된 실수 값 함수에 대하여 정의되는 미분 연산이다.<ref name="Eldredge">{{저널 인용|제목=Analysis and probability on infinite-dimensional spaces|이름=Nathan|성=Eldredge|날짜=2016|arxiv=1607.03591}}</ref>{{rp|§6}} 말리아뱅 미분은 [[바나흐 공간]]의 [[프레셰 미분]]과 달리, 극한이 오직 위너 공간의 부분 [[힐베르트 공간]]의 방향에 대하여 존재하는 것만을 요구한다. 그 [[에르미트 수반]]은 '''스코로호드 적분'''(Скороход積分, {{llang|en|Skorohod integral}})이라고 하며, 이는 [[이토 적분]]의 일반화이다.

== 정의 ==
다음이 주어졌다고 하자.
* [[위너 공간]] <Math>(E,H,\mu)</math>
* [[연속 함수]] <math>f\colon E\to \mathbb R</math>
* 원소 <math>x\in E</math>
* 원소 <math>y\in H</math>
그렇다면, 만약 다음 조건이 성립한다면, <math>F</math>가 <math>x</math>에서 '''말리아뱅 미분 가능'''하다고 하며, <math>F</math>의 <math>x</math>에서의 '''말리아뱅 미분'''이 <math>y</math>라고 한다.<ref name="Eldredge"/>{{rp|Definition 6.3}}
:힐베르트 내적 위상에서 0으로 수렴하는 임의의 열 <math>(z_i)_{i=0}^\infty \to 0</math>에 대하여 (<math>z_i \ne 0\forall i\in\mathbb N</math>),
::<math>\lim_{i\to\infty}\frac{f(x+z_i) - f(x) - \langle y,z_i\rangle_H}{\sqrt{\langle z_i,z_i\rangle}} \to 0</math>
이를
:<math>y = \mathrm D_xf</math>
로 표기한다.

== 성질 ==
말리아뱅 미분은 다음과 같은 꼴의 비(非)유계 연산자를 이룬다.
:<math>\mathrm D \colon (\operatorname{dom}D\subseteq\operatorname L^2(W,\mu;\mathbb R)) \to \operatorname L^2(W,\mu;H)</math>
:<math>\mathrm D \colon f \mapsto (x\mapsto \mathrm D_xf\in H)</math>
여기서, 말리아뱅 미분의 [[정의역]]
:<math>\operatorname{dom}\mathrm D \subseteq\operatorname L^2(W,\mu;\mathbb R)</math>
은 힐베르트 공간 <math>\operatorname L^2(W,\mu;\mathbb R)</math>의 [[조밀 집합]]인 [[부분 벡터 공간]]이다. 또한, 이는 [[닫힌 작용소]]이다. 즉, 그 그래프
:<math>\operatorname{graph}\mathrm D = \{(f,\mathrm Df) \colon f\ in \operatorname{dom}\mathrm D \subseteq \operatorname L^2(W,\mu;\mathbb R)) \oplus \operatorname L^2(W;H)</math>
는 <math>\operatorname L^2(W,\mu;\mathbb R)) \oplus \operatorname L^2(W;H)</math> 속의 [[닫힌집합]]이다.

=== 스코로호드 적분 ===
말리아뱅 미분은 조밀 집합 위에 정의된 [[닫힌 작용소]]이므로, 말리아뱅 미분의 [[에르미트 수반]]
:<math>\delta \colon (\operatorname{im}\mathrm D\subseteq\operatorname L^2(W,\mu;H)) \to \operatorname L^2(W,\mu;\mathbb R)</math>
를 정의할 수 있으며, 이 역시 조밀 집합 위에 정의된 [[닫힌 작용소]]이다. 이를 '''스코로호드 적분'''이라고 한다.
 
[[이토 적분]]은 스코로호드 적분의 특수한 경우이다.

== 역사 ==
말리아뱅 적분은 프랑스의 수학자 폴 말리아뱅({{llang|fr|Paul Malliavin}}, {{IPA2|pɔl maljavɛ̃}})이 도입하였다. 스코로호드 적분은 아나톨리 볼로디미로비치 스코로호드({{llang|uk|Анато́лій Володи́мирович Скорохо́д}}, {{llang|ru|Анато́лий Влади́мирович Скорохо́д|아나톨리 블라디미로비치 스코로호트}}, 1930〜2011)가 도입하였다.

== 참고 문헌 ==
{{각주}}

== 외부 링크 ==
* {{eom|title=Malliavin calculus }}
* {{eom|title=Skorokhod integral}}

{{전거 통제}}

[[분류:확률론]]
[[분류:미적분학]]