말러의 부등식 문서 원본 보기

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'''말러의 부등식'''({{llang|de|Mahler-Ungleichung}}, Mahler's inequality, -不等式)은 [[부등식]]의 일종으로, [[독일]] 수학자 [[쿠르트 말러]](Kurt Mahler)가 제시하여 그의 이름이 붙어 있다. [[민코프스키 부등식]]의 대수적 형태를 곱 형태로 변형시킨 것이라 볼 수 있는 부등식으로, 2n개의 양수 <math>x_1, ..., x_n</math> 과 <math>y_1, ..., y_n</math>에 대해 다음과 같이 쓸 수 있다.

* <math>\prod_{k=1}^n (x_k + y_k)^{1/n} \ge \prod_{k=1}^n x_k^{1/n} + \prod_{k=1}^n y_k^{1/n}.</math>

== 증명 ==
증명은 간단하게 할 수 있다. 먼저 [[산술-기하 평균 부등식]]에 따라서 다음 두 식을 얻고,

: <math>\prod_{k=1}^n \left({x_k \over x_k + y_k}\right)^{1/n} \le {1 \over n} \sum_{k=1}^n {x_k \over x_k + y_k}.</math>
: <math>\prod_{k=1}^n \left({y_k \over x_k + y_k}\right)^{1/n} \le {1 \over n} \sum_{k=1}^n {y_k \over x_k + y_k}.</math>

이 두 식을 더하여 다음 식을 얻는다.

:<math>\prod_{k=1}^n \left({x_k \over x_k + y_k}\right)^{1/n}  + \prod_{k=1}^n \left({y_k \over x_k + y_k}\right)^{1/n} \le {1 \over n} n = 1.</math>

이제 양 변에 <math>\prod_{k=1}^n (x_k + y_k)^{1/n}</math> 을 곱하면 말러의 부등식이 된다.

== 같이 보기 ==
* [[민코프스키 부등식]]

== 외부 링크 ==
* [http://eom.springer.de/M/m064060.htm]

[[분류:부등식]]
[[분류:대수학]]