막 스캔 문서 원본 보기

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[[초끈 이론]]에서 '''막 스캔'''(幕scan, {{llang|en|brane scan}})은 각 차원에서 존재할 수 있는 BPS 막들의 분류이다.

== 정의 ==
<math>p</math>차원 막이 <math>D</math>차원 시공간 속에서 움직인다고 하자. 이는 매장
:<math>\xi\colon\mathbb R^{p+1}\to\mathbb R^{D-1,1}</math>
으로 주어진다. 편의상 '''정적 게이지'''({{llang|en|static gauge}})를 사용하여, 이를
:<math>\xi = (\xi^\perp,\operatorname{id})</math>
:<math>\xi^\perp \colon \mathbb R^{p+1} \to \mathbb R^{D-p-1}</math>
로 나타낼 수 있다. 즉, <math>p</math>차원 막은 <math>D-p-1</math>개의 보손 자유도를 갖는다.

이제, 세계 부피 [[초대칭]]을 위하여, 페르미온을 생각하자. 페르미온은 세계 부피 [[로런츠 군]] <math>\operatorname{SO}(p,1)</math>의 [[스피너]] 표현을 따른다. 이 차원에서의 최소 비(非)손지기 스피너(즉, 디랙 스피너 또는 마요라나 스피너)의 실수 성분의 수가
:<math>M=\begin{cases}
2^{\lfloor (p+1)/2\lfloor} & (p-1) \bmod 8 \in \{0,\pm1,\pm2\} \\
2^{\lfloor (p+1)/2\lfloor+1} & (p-1) \bmod 8 \not\in \{0,\pm1,\pm2\} 
\end{cases}
</math>
이라고 하고, 초대칭 수가 <math>\mathcal N=2^n</math>이라고 하자. 그렇다면, 그 [[질량 껍질]] 위 자유도의 수는
:<math>\frac14M2^n</math>
이다. 여기서 인자 ¼는 다음과 같다.
* 게이지 대칭인 κ-대칭에 의하여 성분이 ½로 줄어든다. (κ-대칭의 존재는 시공간에서 ½-BPS 조건에 해당한다.)
* [[질량 껍질]] 조건을 가하면 성분이 ½로 줄어든다.
즉, 초대칭 막이 존재하려면 다음이 성립해야 한다.
:<math>D-p-1 = \frac12 M2^n</math>

마지막으로, <math>D</math>차원 초중력의 존재에 의하여,
:<math>D\le 11</math>
이다.

이에 따라, 가능한 초대칭 막은 다음 12개이다.<ref name="AETW"/>{{rp|443, Table 1}}
:{| style="border-spacing: 1em; text-align: center"
! ''D'' || ''p''=1 || ''p''=2 || ''p''=3 || ''p''=4 || ''p''=5
|-
| 11 || || ●
|-
| 10 || ●  || || || || ●
|-
| 9 || || || || ●
|-
| 8 || || || ●
|-
| 7 || || ●
|-
| 6 || ● || || ●
|-
| 5 || || ●
|-
| 4 || ● || ●
|-
| 3 || ●
|}

특히, 만약 <math>(D,p)</math>가 가능하다면 <math>(D-1,p-1)</math> 역시 가능함을 알 수 있다. 이는 물리학적으로 <math>D</math>차원 시공간을 한 차원 [[축소화]]하고, <math>p</math>-막을 축소화한 차원에 감는 것에 해당한다. 
이렇게 하면, 막들은 다음과 같은 네 개의 족으로 분류된다.
* <math>D-p-1 = 8</math>. <math>(D,p)=(11,2)</math>일 때 이는 [[M2-막]]에 해당하며, <math>(D,p)=(10,1)</math>일 때 이는 [[초끈 이론]]의 끈에 해당한다.
* <math>D-p-1 = 4</math>. <math>(D,p)=(6,1)</math>일 때 이는 [[꼬마 끈 이론]]에 해당한다.
* <math>D-p-1 = 2</math>
* <math>D-p-1 = 1</math>

이 분류는 세계 부피에 스칼라장 이외의 보손 장이 존재하지 않는 것을 전제로 한다. 만약 기타 보손 장이 존재한다면 추가 종류의 막들이 가능하다. 예를 들어, [[D-막]]은 일반적으로 세계 부피에 미분 형식 장들을 갖는다.

== 초대칭 대수의 중심 전하 ==
막 스캔은 사실 각 차원의 [[초대칭 대수]]의 중심 전하의 존재를 나타낸다.<ref>{{저널 인용|제목=Super-Lie ''n''-algebra extensions, higher WZW models and super ''p''-branes with tensor multiplet fields | 
이름=Domenico |성=Fiorenza|이름2= Hisham |성2=Sati|이름3= Urs|성3= Schreiber | arxiv=1308.5264 | doi=10.1142/S0219887815500188 | 저널= International Journal of Geometric Methods in Modern Physics | issn=0219-8878 | 권=12 | 호=2| 쪽=1550018 | 날짜=2015-02 | 언어=en}}</ref> 구체적으로, 각 차원에서 [[감마 행렬]]들을 조합하여, 다음과 같은 반대칭 연산자들을 만들 수 있다.<ref name="ZP">{{서적 인용|제목=Supergravity|이름=Daniel Z.|성=Freedman|이름2=Antoine|성2=Van Proeyen|언어=en}}</ref>{{rp|59, Table 3.2}}

:{| class=wikitable
|-
! 차원 || 감마 행렬 반대칭 텐서 지표 수 (mod 4)
|-
| 2 || 1
|-
| 3 || 1, 2
|-
| 4 || 1, 2
|-
| 5 || 2, 3
|-
| 6 || 3
|-
| 7 || 0, 3
|-
| 8 || 0, 1
|-
| 9 || 0, 1
|-
| 10 || 1
|-
| 11 || 1,2
|}

여기서, “감마 행렬 반대칭 텐서 지표 수”가 <math>p</math>라면, 임의의 두 (최소 표현) 스피너 <Math>\chi,\psi</math>에 대하여 다음이 성립한다.
:<math>\bar\psi\gamma_{\mu_1\dotso\mu_p}\chi = -\bar\chi\gamma_{\mu_1\dotso\mu_p}\psi</math>
:<math>\gamma{\mu_1\dotso\mu_p} = \gamma_{[\mu_1}\gamma_{\mu_2}\dotsm\gamma_{\mu_p]}</math>
위 표의 성분은 법 4에 대한 것이다. 즉, <math>p</math>가 가능하다면 <math>p+4</math>, <math>p+8</math>, … 역시 가능하다.

예를 들어, <math>d=4</math>의 마요라나 스피너 <math>\psi</math>에 대하여, <math>p=2</math>가 수록돼 있으므로,
:<math>\bar\psi\gamma_{\mu\nu}\chi = -\bar\chi\gamma_{\mu\nu}\psi </math>
:<math>\bar\psi\gamma_{\mu_1\dotso\mu_6}\chi = -\bar\chi\gamma_{\mu_1\dotso\mu_6}\psi </math>
이다. 마찬가지로, <math>d=7</math>일 때, <math>p=0</math>이 수록돼 있으므로,
:<math>\bar\psi\chi = -\bar\chi\psi</math>
이다.

이 표로부터, 각 차원에 존재하는 초대칭 대수의 중심 전하들을 읽을 수 있으며, 이는 각 차원에 존재하는 막에 대응한다. 예를 들어, <math>d=11</math>일 때, <math>\mathcal N=1</math> 초대칭 대수는 다음과 같은 두 중심 전하를 갖는다.<ref name="WN">{{저널 인용|제목=Hidden symmetries, central charges and all that|이름=B.|성=de Wit|이름2=H.|성2=Nicolai|arxiv=hep-th/0011239|언어=en}}</ref>{{rp|(1), §2}}
:<math>\{Q_\alpha,\bar Q_\beta\} = \gamma^\mu_{\alpha\beta}P_\mu + \frac12\gamma^{\mu\nu}_{\alpha\beta}Z_{\mu\nu} + \frac1{5!}\gamma^{\mu\nu\rho\sigma\tau}_{\alpha\beta}Z_{\mu\nu\rho\sigma\tau}</math>
이는 위 표에서 <math>p=1,2\bmod4</math>의 존재에 해당한다. 따라서, [[11차원 초중력]]([[M이론]])에는 [[M2-막]]과 [[M5-막]]이 존재할 수 있다.

== 역사 ==
1987년에 스칼라장 이외의 텐서장이 없다는 가정 아래 최초로 도입되었다.<ref name="AETW">{{저널 인용|날짜=1987 | bibcode=1987PhLB..198..441A | doi=10.1016/0370-2693(87)90896-3 | 제목=Super ''p''-branes | 이름=A. | 성=Achúcarro | 이름2=J. M.|성2=Evans | 이름3=P. K. | 성3=Townsend | 이름4=D. L. | 성4= Wiltshire | 저널=Physics Letters B | 권=198 | 호=4 | 쪽=441–446| 언어=en}}</ref> 이후 텐서장 등을 포함한 막들이 역시 마찬가지로 분류되었다.<ref>{{저널 인용|제목=
Type II p-branes: the brane-scan revisited | arxiv=hep-th/9207060 | 이름=Michael James | 성=Duff | 저자링크=마이클 제임스 더프|  이름2=J. X. | 성2=Lu | doi=10.1016/0550-3213(93)90457-Z | 저널=Nuclear Physics B|권=390|쪽=276–290|날짜=1993 | 언어=en}}</ref>

“막 스캔”({{llang|en|brane scan|브레인 스캔}})이라는 이름은 [[뇌영상|뇌 스캔]]({{llang|en|brain scan|브레인 스캔}})에 대한 언어 유희이다.

== 각주 ==
{{각주}}

== 외부 링크 ==
* {{nlab|id=brane scan|title=Brane scan}}
* {{웹 인용|url=https://ncatlab.org/schreiber/show/The+brane+bouquet | 제목=The brane bouquet | 이름=Urs | 성=Schreiber | 언어=en}}
* {{웹 인용|url=https://physics.stackexchange.com/questions/61252/what-is-kappa-symmetry | 제목=What is kappa symmetry? |출판사=Stack Exchange | 언어=en}}

[[분류:끈 이론]]