마틴 공리 문서 원본 보기

{{위키데이터 속성 추적}}
[[집합론]]에서 '''마틴 공리'''(Martin公理, {{llang|en|Martin’s axiom}}, 약자 <math>\mathsf{MA}</math>)는 [[실수]] 집합의 크기보다 더 작은 집합들은 [[가산 집합]]과 유사한 성질을 갖는다는 명제다. 여기서 "유사한 성질"이란 [[강제법]]에 사용되는 [[원순서 집합]]에 대한 것으로, 이 조건을 강화시켜  '''고유 강제법 공리'''(固有強制法公理, {{llang|en|proper forcing axiom}}, 약자 <math>\mathsf{PFA}</math>) 및 '''마틴 최대 공리'''(Martin最大公理, {{llang|en|Martin’s maximum}}, 약자 <math>\mathsf{MM}</math>)를 얻을 수 있다. 적절한 [[큰 기수]]의 존재 아래, 이들은 모두 다 통상적인 집합론([[체르멜로-프렝켈 집합론]] 및 [[선택 공리]])으로는 증명할 수도, 반증할 수도 없다.

== 정의 ==
'''강제법 공리'''(強制法公理, {{llang|en|forcing axiom}})는 다음과 같은 꼴의 명제이다.
* <math>\mathsf P</math> 조건을 만족시키는 [[원순서 집합]] <math>(X,\lesssim)</math> 및 <math>X</math>의 [[공시작 집합]]들의 [[집합족]] <math>\mathcal D\subseteq\mathcal P(X)</math>에 대하여, 만약 <math>|\mathcal D|<\kappa</math>라면, <math>\mathcal D</math>-[[포괄적 필터]] <math>F\subseteq X</math>가 존재한다.
여기서 <math>\mathsf P(-)</math>는 [[원순서 집합]]에 대한 술어이며, <math>\kappa\in\operatorname{Card}</math>는 [[기수 (수학)|기수]]이다.

주로 사용되는 강제법 공리는 다음과 같다.
{| class="wikitable"
! 이름 !! 기호 !! [[원순서 집합]] <math>X</math>의 조건 <math>\mathsf P</math> !! <math>\mathcal D</math>의 크기의 [[상계 (수학)|상계]] <math>\kappa</math>
|-
| 마틴 공리 || <math>\mathsf{MA}</math> || [[가산 강하향 반사슬 조건]] || <math>2^{\aleph_0}</math>
|-
| 고유 강제법 공리 || <math>\mathsf{PFA}</math> || 고유성 조건 || <math>\aleph_2</math>
|-
| 마틴 최대 공리 || <math>\mathsf{MM}</math> || <math>X</math>에 대한 [[강제법]]은 <math>\omega_1</math>의 [[정상 집합]]들을 보존 || <math>\aleph_2</math>
|}

여기서, 모든 비가산 [[정칙 기수]] <math>\lambda</math>에 대하여, <math>X</math>에 대한 강제법은 <math>[\lambda]^\omega</math>의 [[정상 집합]]들을 보존한다면, <math>X</math>가 '''고유성 조건'''({{llang|en|properness condition}})을 만족시킨다고 한다. (여기서 <math>[\lambda]^\omega</math>는 <math>\lambda</math>의 [[가산 무한]] [[부분 집합]]들의 족이다.)

보다 일반적으로, 강제법 공리에 등장하는 기수 <math>\kappa</math>를 다른 기수로 대체할 수 있으며, 이 경우 <math>\mathsf{MA}(\kappa)</math>와 같이 쓴다.

== 성질 ==
=== 함의 관계 ===
다음과 같은 함의 관계가 성립한다.
:마틴 최대 공리 ⇒ 고유 강제법 공리 ⇒ 마틴 공리

=== 무모순성 성질 ===
만약 [[초콤팩트 기수]]가 존재한다면, ZFC+마틴 최대 공리는 무모순적이다.

=== ZFC에서 증명 가능한 경우 ===
[[선택 공리]]를 추가한 [[체르멜로-프렝켈 집합론]]에서는 다음 두 명제를 보일 수 있다.
* [[라시오바-시코르스키 보조정리]]: <math>\kappa\le\aleph_0\implies\mathsf{MA}(\kappa)</math>
* <math>\lnot\mathsf{MA}(2^{\aleph_0})</math>. 예를 들어, 실수 [[구간]] <math>[0,1]</math>은 [[분해 가능 공간|분해 가능]] [[콤팩트 공간|콤팩트]] [[하우스도르프 공간]]이므로 [[가산 강하향 반사슬 조건]]을 만족시킨다.

또한, 임의의 [[원순서 집합]] <math>(X,\lesssim)</math>에 대하여, 만약 <math>X</math>에 대한 [[강제법]]이 <math>\omega_1</math>의 [[정상 집합]]을 보존하지 않는다면, 조건 <math>\mathsf P(X')\iff X=X'</math>에 대한, <math>\aleph_2</math> 미만의 [[공시작 집합]]들의 집합족에 대한 강제법 공리는 [[ZFC]]에서 거짓이다.<ref name="FMS"/> 즉, 이러한 의미에서 마틴 최대 공리는 "가장 강력한" 강제법 공리이다.

=== 강제법 공리를 함의하는 명제 ===
[[연속체 가설]] <math>\mathsf{CH}</math>는 마틴 공리 <math>\mathsf{MA}</math>를 자명하게 함의한다.

=== 강제법 공리와 동치인 명제 ===
다음 명제들은 <math>\mathsf{MA}(\kappa)</math>와 동치이다.
* 임의의 [[콤팩트 공간|콤팩트]] [[하우스도르프 공간]] <math>X</math>에 대하여, 만약 <math>X</math>의 공집합이 아닌 [[열린집합]]들의 [[부분 순서 집합]] <math>(\operatorname{Open}(X)\setminus\{\varnothing\},\subseteq)</math>이 [[가산 강하향 반사슬 조건]]을 만족시키면, <math>X</math>는 <math>\kappa</math> 이하의 수의 [[조밀한 곳이 없는 집합]]들의 [[합집합]]이 아니다.<ref name="Kunen">{{서적 인용|title=Set theory: an introduction to independence proofs|성=Kunen|이름=Kenneth|저자링크=케네스 쿠넌|publisher=North-Holland|날짜=1980|isbn=978-0-444-86839-8|url=http://store.elsevier.com/Set-Theory-An-Introduction-To-Independence-Proofs/K_-Kunen/isbn-9780444868398/|총서=Studies in Logic and the Foundations of Mathematics|권=102|zbl=0534.03026|mr=597342|언어=en|확인날짜=2016-08-11|보존url=https://web.archive.org/web/20160911102401/http://store.elsevier.com/Set-Theory-An-Introduction-To-Independence-Proofs/K_-Kunen/isbn-9780444868398/|보존날짜=2016-09-11|url-status=dead}}</ref>{{rp|52}}

=== 강제법 공리로부터 함의되는 명제 ===
만약 마틴 공리가 참이라면, 다음이 성립한다.
* [[무어 공간|정규 무어 공간 추측]]이 거짓이다.
만약 <math>\mathsf{MA}\land\lnot\mathsf{CH}</math>라면, 다음이 성립한다.
* [[수슬린 가설]]이 참이다.<ref>{{저널 인용
|title=Iterated Cohen extensions and Souslin’s problem
|last=Solovay|first=Robert M.|저자링크=로버트 솔로베이
|author2-first=Stanley |author2-last= Tennenbaum |저자링크2=스탠리 테넨바움 |journal=Annals of Mathematics
|volume=94|날짜=1971|pages=201–245|doi=10.2307/1970860|issue=2|jstor=1970860 | 언어=en
}}</ref>
* 크기가 <math>\aleph_1</math>인, [[자유 아벨 군]]이 아닌 [[화이트헤드 문제|화이트헤드 군]]이 존재한다.

만약 고유 강제법 공리를 가정한다면, 다음이 성립한다.
* <math>2^{\aleph_0}=\aleph_2</math>.<ref>{{저널 인용|제목=Forcing axioms and stationary sets|이름=Boban|성=Veličković|저널=Advances in Mathematics|권=94|호=2|날짜=1992-08|쪽=256–284|doi=10.1016/0001-8708(92)90038-M|issn=0001-8708|언어=en}}</ref>{{rp|258}} 특히, [[연속체 가설]]이 거짓이다.
* <math>\mathsf{AD}^{L(\mathbb R)}</math> (즉, <math>\mathbb R</math>-[[구성 가능 전체]]에서의 [[결정 공리]])<ref>{{저널 인용|last=Steel|first=John R.|journal=Journal of Symbolic Logic|날짜=2005-12|title=𝖯𝖥𝖠 implies 𝖠𝖣<sup>''L''(ℝ)</sup>|volume=70|issue=4|pages=1255–1296|jstor=27588424|doi=10.2178/jsl/1129642125|mr=2194247|url=https://math.berkeley.edu/~steel/papers/pfa.adlr.jun05.pdf|issn=0022-4812|zbl=1103.03047|언어=en}}</ref>
* [[특이 기수 가설]] <math>\mathsf{SCH}</math><ref>{{저널 인용|제목=The proper forcing axiom and the singular cardinal hypothesis|이름=Matteo|성=Viale|jstor=27588460|저널=The Journal of Symbolic Logic|권=71|호=2|날짜=2006-06|쪽=473-479|url=http://www.esi.ac.at/static/esiprpr/esi1697.pdf|issn=0022-4812|doi=10.2178/jsl/1146620153|mr=2225888|zbl=1098.03053|언어=en}}{{깨진 링크|url=http://www.esi.ac.at/static/esiprpr/esi1697.pdf }}</ref>

만약 마틴 최대 공리를 가정한다면, 다음이 성립한다.
* 임의의 [[정칙 기수]] <math>\kappa\ge\omega_2</math>의 [[정상 집합]] <math>S\subseteq\kappa</math>에 대하여, 만약 <math>S</math>의 모든 원소의 [[공종도]]가 가산 기수라면, <math>S\cap\alpha</math>가 <math>\alpha</math> 속의 [[정상 집합]]이 되는 [[순서수]] <math>\alpha<\kappa</math>가 존재한다.

== 역사 ==
마틴 공리는 도널드 앤서니 마틴({{llang|en|Donald Anthony Martin}})과 [[로버트 솔로베이]]가 1970년에 도입하였다.<ref>{{저널 인용|mr=0270904
|last=Martin|first= Donald A.|author2-first=Robert M.|author2-last=Solovay|저자링크2=로버트 솔로베이|title=Internal Cohen extensions |journal=Annals of Mathematical Logic|volume= 2|날짜= 1970 |issue= 2|pages= 143–178|doi=10.1016/0003-4843(70)90009-4 | 언어=en}}</ref>

고유 강제법 공리는 제임스 얼 바움가트너({{llang|en|James Earl Baumgartner}})와 [[사하론 셸라흐]]가 1970년대에 도입하였다.<ref>{{서적 인용|이름=James Earl|성=Baumgartner|장=Applications of the proper forcing axiom|제목=Handbook of set-theoretic topology|url=https://archive.org/details/handbookofsetthe0000unse_l5c2|쪽=[https://archive.org/details/handbookofsetthe0000unse_l5c2/page/n924 913]–959|출판사=North-Holland|날짜=1984|doi=10.1016/B978-0-444-86580-9.50024-0|editor1-first=Kenneth|editor1-last=Kunen|editor1-link=케네스 쿠넌|editor2-first=Jerry E.|editor2-last=Vaughn|isbn= 978-0-444-86580-9|언어=en}}</ref>

마틴 최대 공리는 1988년에 [[매슈 포어먼]]({{llang|en|Matthew Foreman}}) · [[메나헴 마기도르]] · [[사하론 셸라흐]]가 도입하였다.<ref name="FMS">{{저널 인용 | last=Foreman | first= Matthew | last2=Magidor | first2= Menachem |저자링크2=메나헴 마기도르| last3= Shelah | first3= Saharon | author3-link=사하론 셸라흐  | title=Martin’s maximum, saturated ideals, and nonregular ultrafilters. Part I |journal=Annals of Mathematics |volume= 127 |날짜=1988-01|issue= 1|pages= 1–47 |doi=10.2307/1971415|jstor=1971415 |mr=0924672 | zbl=0645.03028 | 언어=en}}</ref> 이 논문에서 포먼·마기도르·셸라흐는 마틴 최대 공리가 (어떤 특정한 의미에서) 가장 강력한 강제법 공리임을 증명하였다.

== 각주 ==
{{각주}}
*{{서적 인용| last=Fremlin | first=David H. | title=Consequences of Martin’s axiom | publisher=Cambridge University Press | year=1984 | isbn=978-0-521-25091-7 | doi=10.1017/CBO9780511896972 | 총서=Cambridge Tracts in Mathematics| 권=84 | zbl = 0551.03033 | 언어=en}}
* {{저널 인용|제목=Martin’s axiom | 이름=Joseph Robert|성= Shoenfield | 저자링크=조지프 로버트 숀필드 | 저널=The American Mathematical Monthly | 권= 82 | 호= 6 |날짜=1975-06 | 쪽= 610–617 | jstor = 2319691 | issn=0002-9890|doi=10.2307/2319691 | 언어=en}}
* {{서적 인용 | last=Moore | first=Justin Tatch | chapter=The proper forcing axiom | zbl=1258.03075 | editor1-last=Bhatia | editor1-first=Rajendra | title=Proceedings of the international congress of mathematicians (ICM 2010), Hyderabad, India, August 19–27, 2010. Volume II: invited lectures | publisher=World Scientific | isbn=978-981-4324-30-4| pages=3–29 | year=2011 | 장url=http://www.math.cornell.edu/~justin/Ftp/ICM.pdf|언어=en}}
* {{서적 인용 | 제목= Notes on forcing axioms | 이름=Stevo |성=Todorčević|doi=10.1142/9013|출판사=World Scientific|날짜=2014-02|총서=National University of Singapore Institute for Mathematical Sciences Lecture Notes Series|권=26|isbn=978-981-4571-57-9|언어=en}}
* {{서적 인용 | 장=Forcing axioms and cardinal arithmetic | 장url=http://www.logique.jussieu.fr/~boban/pdf/LC2006-survey.pdf | 성=Veličković | 이름=Boban | 제목=Logic colloquium 2006. Proceedings of the annual European summer meeting of the Association for Symbolic Logic (ASL), Nijmegen, Netherlands, July 27–August 2, 2006 | editor1-last=Cooper | editor1-first=S. Barry | editor2-last=Geuvers | editor2-first=Herman | editor3-last=Pillay | editor3-first=Anand | editor4-last=Väänänen | editor4-first=Jouko | zbl=1189.03050 | isbn=978-0-521-11081-5 | 총서=Lecture Notes in Logic | 권=32 | 쪽=328–360 | 출판사=Cambridge University Press | 언어=en | access-date=2016-08-03 | archive-date=2016-08-19 | archive-url=https://web.archive.org/web/20160819011509/http://www.logique.jussieu.fr/~boban/pdf/LC2006-survey.pdf | url-status= }}

== 외부 링크 ==
* {{웹 인용|url=https://caicedoteaching.wordpress.com/2008/09/12/set-theory-seminar-forcing-axioms-and-inner-models/|제목=Set theory seminar — forcing axioms and inner models|날짜=2008-09-12|웹사이트=Teaching Blog|이름=Andrés|성=Caicedo|언어=en}}
* {{웹 인용|url=https://caicedoteaching.wordpress.com/2008/09/21/set-theory-seminar-forcing-axioms-and-inner-models-ii/|제목=Set theory seminar — forcing axioms and inner models II|날짜=2008-09-21|웹사이트=Teaching Blog|이름=Andrés|성=Caicedo|언어=en}}
* {{웹 인용|url=https://caicedoteaching.wordpress.com/2008/09/30/set-theory-seminar-forcing-axioms-and-inner-models-intermezzo/|제목=Set theory seminar — forcing axioms and inner models — intermezzo|날짜=2008-09-30|웹사이트=Teaching Blog|이름=Andrés|성=Caicedo|언어=en}}
* {{웹 인용|url=https://caicedoteaching.wordpress.com/2008/10/01/set-theory-seminar-forcing-axioms-and-inner-models-iii/|제목=Set theory seminar — forcing axioms and inner models III|날짜=2008-10-01|웹사이트=Teaching Blog|이름=Andrés|성=Caicedo|언어=en}}
* {{웹 인용|url=https://caicedoteaching.wordpress.com/2008/10/03/set-theory-seminar-forcing-axioms-and-inner-models-iv/|제목=Set theory seminar — forcing axioms and inner models IV|날짜=2008-10-03|웹사이트=Teaching Blog|이름=Andrés|성=Caicedo|언어=en}}
* {{웹 인용|url=https://caicedoteaching.wordpress.com/2008/10/12/set-theory-seminar-forcing-axioms-and-inner-models-v/|제목=Set theory seminar — forcing axioms and inner models V|날짜=2008-10-12|웹사이트=Teaching Blog|이름=Andrés|성=Caicedo|언어=en}}
* {{웹 인용|url=https://caicedoteaching.wordpress.com/2008/10/17/set-theory-seminar-forcing-axioms-and-inner-models-vi/|제목=Set theory seminar — forcing axioms and inner models VI|날짜=2008-10-17|웹사이트=Teaching Blog|이름=Andrés|성=Caicedo|언어=en}}
* {{웹 인용|url=https://caicedoteaching.wordpress.com/2008/10/24/set-theory-seminar-forcing-axioms-and-inner-models-vii/|제목=Set theory seminar — forcing axioms and inner models VII|날짜=2008-10-24|웹사이트=Teaching Blog|이름=Andrés|성=Caicedo|언어=en}}

{{집합론}}

[[분류:집합론 공리]]