마티외 군 문서 원본 보기

{{위키데이터 속성 추적}}
[[군론]]에서 '''마티외 군'''(Mathieu群, {{llang|en|Mathieu group}}) <math>M_{11}</math>, <math>M_{12}</math>, <math>M_{22}</math>, <math>M_{23}</math>, <math>M_{24}</math>는 각각 11개·12개·22개·23개·24개의 원소들 위의 [[대칭군 (군론)|대칭군]]의 [[부분군]]으로 나타낼 수 있는 5개의 [[산재군]]이다.

== 정의 ==
'''마티외 군''' <math>M_{11}</math>, <math>M_{12}</math>, <math>M_{22}</math>, <math>M_{23}</math>, <math>M_{24}</math>는 5개의 [[유한 단순군]]이다. <math>M_k</math>는 각각 [[대칭군 (군론)|대칭군]] <math>\operatorname{Sym}(k)</math>의 부분군으로 나타낼 수 있으며, 구체적으로 다음과 같이 작도할 수 있다.

=== 슈타이너 계를 통한 정의 ===
[[유한체]] <math>\mathbb F_{p^n}</math> 위의 아핀 평면 <math>\mathbb A^2_{\mathbb F_{p^n}}</math>에서, 2개의 직선은 유일한 점을 결정하므로, 이는 [[슈타이너 계]] <math>S(2,p^n,p^{2n})</math>를 이룬다. 유한체 <math>\mathbb F_3</math> 위의 아핀 평면은 슈타이너 계 <math>S(2,3,9)</math>를 이루며, 이 슈타이너 계는 유일하다. <math>S(2,3,9)</math>에 점들을 추가하여, <math>S(3,4,10)</math>, <math>S(4,5,11)</math>, <math>S(5,6,12)</math>를 만들 수 있다. 이들 역시 동형에 대하여 유일하다.

슈타이너 계 <math>S(5,6,12)</math>의 [[자기 동형군]]은 [[대칭군 (군론)|대칭군]] <math>\operatorname{Sym}(12)</math>의 부분군이며, 이는 <math>M_{12}</math>와 같다. 즉, 마티외 군 <math>M_{12}</math> 크기 12의 집합 <math>\{1,2,\dots,12\}</math>에 [[군의 작용|작용]]하며, 이 작용은 5-정추이적({{llang|en|sharply 5-transitive}})이다. 따라서, <math>k=1,2,3,4,5</math>에 대하여, 점들의 <math>k</math>-튜플에 대한 [[안정자군]]은 튜플의 선택에 관계없이 서로 동형이다. 이로서 6개의 군
:<math>M_{12-k}\qquad(k=0,1,2,3,4,5)</math>
을 정의할 수 있으며, 마지막 군 <math>M_7</math>은 [[자명군]]이다.

슈타이너 계 <math>S(5,8,24)</math> 역시 유일하며, 이를 '''비트 디자인'''({{llang|en|Witt design}})이라고 한다. 이 슈타이너 계의 [[자기 동형군]]은 마티외 군 <math>M_{24}</math>와 동형이며, <math>M_{24}</math>의 크기 24의 집합 위의 작용은 5-추이적({{llang|en|transitive}})이지만 5-정추이적이지 않다. 위와 마찬가지로, 1~5개의 점들에 대한 [[안정자군]]을 취하여, 6개의 군
:<math>M_{24-k}\qquad(k=0,1,2,3,4,5)</math>
을 정의할 수 있다. 작용이 정추이적이지 않으므로, 마지막 군 <math>M_{19}</math>는 자명군이 아니다.

이 군들 가운데, 오직 <math>M_{24}</math>, <math>M_{23}</math>, <math>M_{22}</math>, <math>M_{21}</math>, <math>M_{12}</math>, <math>M_{11}</math>만이 [[단순군]]이고, 이 가운데 <math>M_{21}</math>은 예외적인 동형으로 인하여 [[산재군]]이 아니다.

=== 순열군으로서의 표현 ===
체 <math>K</math> 위의 사영 특수선형군 <math>\operatorname{PSL}_2(K)</math>는 <math>K</math> 위의 [[사영 직선]] <math>K\sqcup\{\infty\}</math> 위의 분수선형변환([[뫼비우스 변환]])들의 군과 같다.

==== M<sub>12</sub> ====
크기 144×660의 마티외 군 <math>M_{12}</math>는 크기 660의 사영 특수선형군 <math>\operatorname{PSL}_2(\mathbb F_{11})</math>을 부분군으로 가지며, 이는 극대 부분군이다. <math>\operatorname{PSL}_2(\mathbb F_{11})</math>를 [[사영 직선]] <math>\mathbb P^1_{\mathbb F_{11}}</math> 위의 순열군으로 나타내자. 그렇다면, <math>M_{12}\setminus\operatorname{PSL}_2(\mathbb F_{11})</math>에 속하는 임의의 한 원소만을 제시하면, 이로부터 <math>M_{12}</math>가 생성된다. 이러한 원소의 예로는 다음이 있다.
* (0123456789A)
* (1A)(25)(37)(48)(69)
* (26A7)(3945)
여기서
:<math>\mathbb P^1_{\mathbb F_{11}}=\{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,\mathrm A,\infty\}</math>
이다.

==== M<sub>24</sub> ====
크기가 40320×6072인 군 <math>M_{24}</math>는 크기가 6072인 부분군 <math>\operatorname{PSL}_2(\mathbb F_{23})</math>을 가지며, 이는 극대 부분군이다. 따라서, 마찬가지로 <math>M_{24}\setminus \operatorname{PSL}_2(\mathbb F_{23})</math>에 속하는 임의의 원소를 제시하면 <math>M_{24}</math>가 완전히 결정된다. 이러한 원소의 예로는 다음이 있다.
* (0123456789ABCDEFGHIJKLM)
* (0∞)(1M)(2B)(3F)(4H)(59)(6J)(7D)(8K)(AG)(CL)(EI)
* (2G968)(3CDI4)(7HABM)(EJLKF)
여기서
:<math>\mathbb P^1_{\mathbb F_{23}}=\{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,\mathrm A,\mathrm B,\mathrm C,\mathrm D,\mathrm E,\mathrm F,\mathrm G,\mathrm H,\mathrm I,\mathrm J,\mathrm K,\mathrm L,\mathrm M,\infty\}</math>
이다.

=== 이진 골레 부호로의 작도 ===
[[이진 골레 부호]]는 24차원 [[벡터 공간]] <math>\mathbb F_2^{24}</math>의 특별한 12차원 부분 공간이다. [[이진 골레 부호]]의 [[자기 동형군]]은 마티외 군 <math>M_{24}</math>와 동형이다.

[[이진 골레 부호]]는 12비트의 정보를 24비트의 부호에 저장한다. 12개의 비트 1로 구성된 부호({{llang|en|dodecad}})의 [[안정자군]]은 마티외 군 <math>M_{12}</math>와 동형이다.

== 성질 ==
마티외 군들의 크기와 성질은 다음과 같다.
{| class="wikitable"
! 군
! 크기
! 성질
|-
| M<sub>24</sub>
| 48·20·21·22·23·24
| 5-추이군, 단순군
|-
| M<sub>23</sub>
| 48·20·21·22·23
| 4-추이군, 단순군
|-
| M<sub>22</sub>
| 48·20·21·22
| 3-추이군, 단순군
|-
| M<sub>21</sub> = PSL<sub>3</sub>(𝔽<sub>4</sub>)
| 48·20·21
| 2-추이군, 단순군
|-
| M<sub>20</sub>
| 48·20
| 단순군이 아님
|-
| M<sub>19</sub>
| 48
| 단순군이 아님
|-
| M<sub>12</sub>
| 8·9·10·11·12
| 5-정추이군, 단순군
|- 
| M<sub>11</sub>
| 8·9·10·11
| 4-정추이군, 단순군
|- 
| M<sub>10</sub>
| 8·9·10
| 3-정추이군. 단순군이 아님
|- 
| M<sub>9</sub> = PSU<sub>3</sub>(𝔽<sub>4</sub>/𝔽<sub>2</sub>)
| 8·9
| 2-정추이군. 단순군이 아님
|- 
| M<sub>8</sub> = [[사원수군|Q<sub>8</sub>]]
| 8
| [[사원수군]]. 1-정추이군. 단순군이 아님
|-
| M<sub>7</sub> = 1
| 1
| [[자명군]]
|}
마티외 군 <math>M_{19}</math>는 구체적으로 다음과 같은 꼴의 행렬군이다.<ref>{{저널 인용|제목=On subgroups of ''M''<sub>24</sub>. I. Stabilizers of subsets|저널=Transactions of the American Mathematical Society|권=167|날짜=1972|쪽=1-27 |mr=0294472|이름=Chang |성=Choi |doi=10.1090/S0002-9947-1972-0294472-0 |언어=en}}</ref>{{rp|4}}
:<math>\left\{\begin{pmatrix}
a&0&0\\
b&a^{-1}&0\\
c&0&1
\end{pmatrix}\colon a\in\mathbb F_4^\times,\;b,c\in\mathbb F_4\right\}</math>

=== 다중 추이군 ===
임의의 유한군 <math>G</math>에 대하여, [[순환군]] <math>\operatorname{Sym}(n)</math>은 항상 <math>n</math>-정추이군({{llang|en|sharply <math>n</math>-transitive group}})이며, [[교대군]] <math>\operatorname{Alt}(n+2)</math> 역시 <math>n</math>-정추이군이다.
* 모든 6-추이군은 순환군이나 교대군이다.
* 순환군이나 교대군이 아닌 유한군 가운데, 5-추이군인 것은 <math>M_{24}</math>와 <math>M_{12}</math>밖에 없으며, 이 가운데 <math>M_{12}</math>만이 5-정추이군이다.
* 순환군이나 교대군이 아닌 유한군 가운데, 4-추이군이지만 5-추이군이 아닌 것은 <math>M_{23}</math>과 <math>M_{11}</math>밖에 없으며, 이 가운데 <math>M_{11}</math>만이 4-정추이군이다.

== 역사 ==
프랑스의 수학자 에밀 마티외({{llang|en|Émile Mathieu}})가 1861년 논문<ref name="Mathieu61">{{저널 인용 | last=Mathieu | first=Émile | title=Mémoire sur l'étude des fonctions de plusieurs quantités, sur la manière de les former et sur les substitutions qui les laissent invariables | url=http://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k16405f/f249 | year=1861 | journal=Journal de Mathématiques Pures et Appliquées  | volume=6 | pages=241–323|언어=fr}}</ref>에서 <math>M_{12}</math><ref name="Mathieu61"/>{{rp|271}}와 <math>M_{24}</math><ref name="Mathieu61"/>{{rp|274}}를 최초로 언급하였고, 이후 1873년에 이들 두 군에 대한 추가 성질들을 제시하였다.<ref>{{저널 인용 | last=Mathieu | first=Émile | title=Sur la fonction cinq fois transitive de 24 quantités | url=http://portail.mathdoc.fr/JMPA/afficher_notice.php?id=JMPA_1873_2_18_A2_0 | 언어=fr | jfm=05.0088.01 | year=1873 | journal=Journal de Mathématiques Pures et Appliquées | volume=18 | pages=25–46 }}{{깨진 링크|url=http://portail.mathdoc.fr/JMPA/afficher_notice.php?id=JMPA_1873_2_18_A2_0 }}</ref>

그러나 마티외가 제시한 두 군이 실재하는지, 이들이 [[교대군]]과 동형이 아닌지는 이후 수십 년 동안 논란의 대상이었다.  1898년에 미국의 수학자 조지 에이브럼 밀러({{llang|en|George Abram Miller}}, 1863~1951)는 <math>M_{24}</math>가 존재하지 않는다는 "증명"을 발표하였으나,<ref>{{저널 인용 | last=Miller | first=G. A. | title=On the supposed five-fold transitive function of 24 elements and 19!/48 values. | url=https://archive.org/stream/messengermathem03unkngoog#page/n451 | year=1898 | journal=Messenger of Mathematics | volume=27 | pages=187–190|언어=en}}</ref> 이후 1900년에 자신이 "증명"이 오류였음을 시인하였다.<ref>{{저널 인용 | last=Miller | first=G. A. | title=Sur plusieurs groupes simples | url=http://www.numdam.org/item?id=BSMF_1900__28__266_0 | year=1900 | journal= Bulletin de la Société Mathématique de France | volume=28 | pages=266–267|jfm=31.0137.02|언어=fr}}</ref>

1938년에 [[에른스트 비트]]({{llang|de|Ernst Witt}})가 마티외 군들을 [[슈타이너 계]]의 자기 동형군으로 나타내었고, 마티외 군에 대한 논란을 종식시켰다.<ref>
{{저널 인용 | last=Witt | first=Ernst | title=über Steinersche Systeme | doi=10.1007/BF02948948 | year=1938 | journal=Abhandlungen aus dem Mathematischen Seminar der Universität Hamburg | issn=0025-5858 | volume=12 | pages=265–275|언어=de}}</ref><ref>{{저널 인용 | last=Witt | first=Ernst | title=Die 5-fach transitiven Gruppen von Mathieu | doi=10.1007/BF02948947 | year=1938 | journal=Abhandlungen aus dem Mathematischen Seminar der Universität Hamburg | volume=12 | pages=256–264|언어=de}}</ref>

마티외 군들은 [[산재군]]들 가운데 최초로 발견된 것이었으며, 1965년에 [[얀코 군]] <math>J_1</math>이 발견되기 이전에 알려진 유일하게 알려진 산재군이었다.

== 각주 ==
{{각주}}
* {{서적 인용|이름=J. H.|성=Conway|저자링크=존 호턴 콘웨이|공저자=N. J. A. Sloane|제목=Sphere Packings, Lattices and Groups|url=https://archive.org/details/spherepackingsla0000conw_b8u0|판=3판|출판사=Springer|날짜=1999|언어=en}}
*{{서적 인용 | 성=Rotman|이름= Joseph  | title=An introduction to the theory of groups | publisher=Springer | 날짜=1994 | isbn= 978-1-4612-8686-8|doi=10.1007/978-1-4612-4176-8|총서=Graduate Texts in Mathematics|권=148|issn=0072-5285|zbl=0810.20001|판=4|언어=en}}
* {{저널 인용|제목=Introduction to sporadic groups|이름=Luis J.|성=Boya|날짜=2011|arxiv=1101.3055|doi=10.3842/SIGMA.2011.009|저널=Symmetry, Integrability and Geometry: Methods and Applications|권=7|호=9|bibcode=2011SIGMA...7..009B|언어=en}}

== 외부 링크 ==
* {{eom|title=Mathieu group}}
* {{매스월드|id=MathieuGroups|title=Mathieu groups}}
* {{nlab|id=Mathieu group}}
* {{nlab|id=Mathieu moonshine}}
* {{웹 인용|url=http://homepages.wmich.edu/~drichter/mathieu.htm|제목=How to Make the Mathieu Group M<sub>24</sub>|이름=David A.|성=Richter|언어=en|확인날짜=2015-04-25|archive-date=2010-01-16|archive-url=https://web.archive.org/web/20100116050402/http://homepages.wmich.edu/~drichter/mathieu.htm|url-status=}}
* {{웹 인용|url=https://golem.ph.utexas.edu/category/2013/02/m13.html|제목=''M''<sub>13</sub>|이름=John|성=Baez|날짜=2013-02-10|웹사이트=The ''n''-Category Café: A Group Blog on Math, Physics and Philosophy|언어=en}}
* {{웹 인용|url=http://groupprops.subwiki.org/wiki/Mathieu_group|제목=Mathieu group|웹사이트=Groupprops|언어=en}}
** {{웹 인용|url=http://groupprops.subwiki.org/wiki/Mathieu_group:M9|제목=Mathieu group M<sub>9</sub>|웹사이트=Groupprops|언어=en}}
** {{웹 인용|url=http://groupprops.subwiki.org/wiki/Mathieu_group:M10|제목=Mathieu group M<sub>10</sub>|웹사이트=Groupprops|언어=en}}
** {{웹 인용|url=http://groupprops.subwiki.org/wiki/Mathieu_group:M11|제목=Mathieu group M<sub>11</sub>|웹사이트=Groupprops|언어=en}}
** {{웹 인용|url=http://groupprops.subwiki.org/wiki/Mathieu_group:M12|제목=Mathieu group M<sub>12</sub>|웹사이트=Groupprops|언어=en}}
** {{웹 인용|url=http://groupprops.subwiki.org/wiki/Mathieu_group:M22|제목=Mathieu group M<sub>22</sub>|웹사이트=Groupprops|언어=en}}
** {{웹 인용|url=http://groupprops.subwiki.org/wiki/Mathieu_group:M23|제목=Mathieu group M<sub>23</sub>|웹사이트=Groupprops|언어=en}}
** {{웹 인용|url=http://groupprops.subwiki.org/wiki/Mathieu_group:M24|제목=Mathieu group M<sub>24</sub>|웹사이트=Groupprops|언어=en}}

[[분류:산재군]]