마트베예프의 정리 문서 원본 보기

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'''마트베예프의 정리'''(Matveev's theorem, -定理)는 [[러시아]]의 수학자 마트베예프(Matveev)의 이름이 붙은 [[수론]]의 정리이다. 이 정리는 특정한 꼴의 [[지수함수]] 간의 차이에 대한 하한을 구할 때 유용하게 사용된다.

== 표현 ==
어떤 n개의 대수적 수 <math>{a_1, a_2, ..., a_n}</math> 와 n개의 정수 <math>{b_1, b_2, ..., b_n}</math>가 있다. 여기서 세 개의 수 G, D, B를 다음과 같이 정의한다.

* <math>G := \prod_{k=1}^n (a_k)^{b_k} - 1</math>
* <math>D := [Q(a_1, ..., a_n) : Q] </math> (여기서 Q는 유리수의 집합)
* <math>B := \max{[|b_1|, ..., |b_n|]}</math>

그러면, 마트베예프의 정리는 다음과 같이 G의 절댓값 하한을 나타내는 부등식으로 표현된다.

* <math> \ln{|G|} > -3 \cdot  30^{n+4} \cdot (n+1)^{5.5} \cdot  D^{2}(1 + \ln{D})(1 + \ln{nB}) \cdot \prod_{k=1}^n |a_k| </math>

또한, 만일 <math> Q(a_1, ..., a_n) </math>가 실수의 집합 R에 포함된다면, 이 부등식은 다음과 같이 개선될 수 있다.

* <math> \ln|G| > -1.4 \cdot  30^{n+3} \cdot (n+1)^{4.5} \cdot  D^{2}(1 + \ln{D})(1 + \ln{B}) \cdot \prod_{k=1}^n |a_k| </math>

== 베넷의 정리 ==
마트베예프의 정리의 직접적인 이론적 응용으로 '''베넷의 정리'''(Benett's theorem)가 있다. 이 정리는 다음과 같이 표현된다.

* 임의의 음이 아닌 정수 a, b, c에 대하여, m, n에 관한 방정식 <math>a^m - b^n = c </math>는 많아야 두 개의 정수해를 갖는다.

이 정리는 [[페르마의 마지막 정리]]에서 다루는 방정식과 직접적으로 관련이 있다.

== 같이 보기 ==
* [[페르마의 마지막 정리]]

== 참고 문헌 ==
* Henri Cohen (2007), <i>Number Theory Volume II: Analytic and Modern Tools</i>, Springer, pp. 412-416.

[[분류:수론 정리]]
[[분류:해석학 정리]]
[[분류:대수적 수론]]
[[분류:해석학 (수학)]]
[[분류:부등식]]