마타이-퀼런 형식 문서 원본 보기

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[[미분기하학]]과 [[이론물리학]]에서 '''마타이-퀼런 형식'''(മത്തായി-Quillen形式, {{llang|en|Mathai–Quillen form}})은 [[벡터 다발]]의 [[톰 특성류]]를 표현하는 [[미분 형식]]이며, 벡터 다발의 올 방향으로 [[가우스 함수]]를 따른다. 무한 차원 공간 위의 유한 차원 벡터 다발에 대하여 정의될 수 있으며, 이는 [[위상 양자장론]]과 깊은 관계를 가진다.

== 정의 ==
다음이 주어졌다고 하자.
* (유한 차원) [[연결 공간|연결]] [[유향 다양체|유향]] [[매끄러운 다양체]] <math>M</math>
* (유한 차원) 콤팩트 [[리 군]] <math>G</math>
* <math>G</math>-[[주다발]] <math>G\hookrightarrow P\twoheadrightarrow M</math>
* 유한 짝수 차원 [[실수 내적 공간]] <math>(F,\langle-,-\rangle)</math>
* <math>G</math>의 유한 짝수 차원 직교 표현 <math>\rho\colon G\to\operatorname O(F)</math>.
** 이로부터 [[연관 벡터 다발]] 유한 짝수 차원 [[벡터 다발]] <math>F \hookrightarrow  E \,\overset{\pi}\twoheadrightarrow\, M</math>을 정의할 수 있으며, 그 올 위에는 [[양의 정부호]] 내적이 주어진다.
* <math>P</math> 위의 [[주접속]] <math>\nabla</math>
** 이로부터 <math>E</math>의 단면에 대해서도 [[벡터 다발 접속]]이 주어진다.

그렇다면, <math>P \times F</math> 위에 다음과 같은 [[미분 형식]]을 정의하자.
:<math>\Phi_\nabla(E)|_\xi = \frac1{(2\pi)^{2m}}
\int_{\mathbb R^{2m}}\mathrm d^{2m}B \int_{\mathbb R^{2m}} \mathrm d^{2m}\chi,\exp(S[\xi,\chi,\Omega_\nabla,B])</math>
:<math>S[\xi,\chi,\Omega_\nabla,B] = - B^iB_i/2 + i\xi^iB_i - \chi_i \mathrm i\nabla\xi^i + \chi_i \Omega^{ij}\chi_j/2</math>

여기서
* <math>i,j,\dotsc</math>는 <math>F</math>의 벡터 지표이다. 이는 <math>F</math>의 내적을 통하여 올리거나 내릴 수 있다.
* <math>\rho_{ij}(\Omega_\nabla)\in\operatorname{End}(F)</math>는 주접속 <math>\nabla</math>의 [[주곡률]] <math>\Omega_\nabla</math>의 <math>\rho</math>에 의한 [[군의 표현|표현]]이다.
* <math>(\xi^1,\dotsc,\xi^{2m})</math>은 <math>F</math> 위의 [[데카르트 좌표계]]를 이룬다. 이들의 공변 미분 <math>\nabla\xi^i</math>는 <math>P\times F</math> 위의 <math>G</math>-불변 [[1차 미분 형식]]들이다. 공변 미분의 정의에 따라, 이는 <math>P\times_GF = E</math> 위의 [[1차 미분 형식]]을 이룬다.
* <math>\textstyle\int\mathrm d^{2m}\chi</math>는 <math>2m</math>개의 형식적 [[반가환수|반가환]] 변수 <Math>\chi^1,\dotsc,\chi^{2m}</math>에 대한 [[베레진 적분]]이다. 변수 <math>\chi^i</math>는 홀수차 (가환) [[미분 형식]]과 반가환한다.
* <math>\chi^i\rho_{ij}(\Omega_\nabla) \chi^j + \mathrm i\chi_i\nabla\xi^i</math>은 <math>P\times F</math> 위의 2차 미분 형식과 1차 미분 형식의 합이다. 그 (형식적) [[지수 함수]]는 미분 형식 [[쐐기곱]]에 대한 멱급수 전개로 정의된다. 베레진 적분은 이 멱급수에서, 미분 형식 등급이 <math>2m</math>인 항만을 골라낸다.
* <math>\textstyle\int\mathrm dB</math>는 스칼라 [[보조장]] <math>B</math>에 대한 적분이다.

즉, 다음과 같다.

{| class=wikitable
|-
! 기호 !! 설명 !! <math>G\le \operatorname O(F)</math>에 대한 변환 !! 가환성 !! <math>P\times F</math> 위의 미분 형식 차수
|-
| <math>\xi^i</math> || 데카르트 좌표 || 기본 표현 || 가환 || 0
|-
| <math>\nabla\xi^i</math> || 데카르트 좌표 || 기본 표현 || 가환 || 1
|-
| <math>\chi_i</math> || 형식적 그라스만 변수 || (쌍대) 기본 표현 || 반가환 || 0
|-
| <math>\rho_{ij}(\Omega_\nabla)</math> || 주곡률 || [[딸림표현]] || 가환 || 2
|-
| <math>B_i</math> || [[보조장]] || 기본 표현 || 가환 || 0
|}

[[보조장]] <math>B</math>에 대한 적분을 취하면, 다음을 얻는다.
:<math>\Phi_\nabla(E)|_\xi = \frac1{(2\pi)^m}
\int_{\mathbb R^{2m}} \mathrm d^{2m}\chi,\exp(S'[\xi,\chi,\Omega_\nabla])</math>
:<math>S'[\xi,\chi,\Omega_\nabla] = - \xi_i\xi^j/2 - \chi_i \mathrm i\nabla\xi^i + \chi_i \Omega^{ij}\chi_j/2</math>
이 작용은 [[초대칭]]
:<math>\delta\chi_i = B_i</math>
:<math>\delta\xi_i = \nabla\xi_i</math>
:<math>\delta B^i = \Omega^{ij}\chi_j</math>
을 가지며, 이에 따라
:<math>S = \delta (\chi_i(\mathrm i\xi^i - B^i/2))</math>
이다.

베레진 적분에 의하여, <math>\Phi_\nabla(E)</math>는 <math>P\times F</math> 위의 <math>2m</math>차 미분 형식을 이룬다. 정의에 따라 이는 <math>G</math>-불변이므로, [[연관 벡터 다발]] <Math>E = P\times_GF</math> 위의 <math>2m</math>차 미분 형식을 이룬다. 또한, 이는 [[초대칭]] <math>\delta</math>에 의하여 닫힌 미분 형식이다. 이를 '''마타이-퀼런 형식'''이라고 한다.

무한 차원에서는 <math>m</math> 등이 무한대가 되기 때문에 이 공식을 직접 해석할 수 없지만, 일부 경우 [[양자장론]]의 [[경로 적분]] 등을 사용하여 이 값을 정의할 수 있다.

== 성질 ==
만약 <math>X</math>가 유한 차원 [[매끄러운 다양체]]일 때, <math>s</math>의 마타이-퀼런 형식
:<math>\Phi_\nabla(E) \in \Omega^{2m}(E)</math>
의 [[드람 코호몰로지]] [[동치류]]
:<math>[\Phi_\nabla(E)]_{\text{dR}} \in \operatorname H^{2m}(E) \otimes_{\mathbb Z} \mathbb R</math>
는 <math>E</math>의 [[오일러 특성류]]
:<math>\operatorname e(E) \in \operatorname H^{2m}</math>
의 실수 계수와 같다.
:<math>(\operatorname e(E) \otimes_{\mathbb Z}\mathbb R) = [\Phi_\nabla(E)]_{\text{dR}}</math>
특히, 이는 사용한 단면 <Math>s\colon M\to E</math>에 의존하지 않는다.

그러나 무한 차원에서는 마타이-퀼런 형식은 일반적으로 <math>s</math>에 의존하게 된다.

== 예 ==
=== 초대칭 양자 역학 (드람 코호몰로지) ===
다음과 같은 경우를 생각하자.
* <math>(M,g)</math>는 <math>n</math>차원 유한 차원 콤팩트 [[리만 다양체]]이다.
* <math>\mathbb S^1_\beta = [0,\beta]/(0\sim\beta)</math>는 둘레가 <math>\beta\in\mathbb R^+</math>인 원이다.
* <math>X = \operatorname L^{1,2}(\mathbb S^1_\beta,M)</math>는 유한 에너지 고리들로 구성된 [[소볼레프 공간]]이다. 이는 [[힐베르트 다양체]]이며, <math>M</math>의 [[고리 공간]](과 [[호모토피 동치]])이다. 즉, [[가측 함수]] <math>f\colon\mathbb S^1\to M</math> 가운데, 미분 <math>\dot f</math>가 [[거의 어디서나]] 존재하며, L<sup>2</sup> [[르베그 공간]]에 속하는 것들로 구성된다.
* <math>G</math>는 [[직교군]] <Math>\operatorname O(n)</math>에 대한 [[게이지 군]] <math>\{\phi\colon M\to\operatorname O(n)\}</math>이며, <math>P</math>는 [[리만 다양체]] <math>M</math>의 [[틀다발]]로서 유도된다.
* <math>F = \operatorname L^{1,2}(\mathbb S^1,\mathbb R^n)</math>이며, <math>\rho</math>는 [[함수의 합성]]으로 정의된다. 이에 따라, <math>E = P\times_G F = \mathrm TX</math>는 그 [[접다발]]이다.
* 단면 <math>s \colon X \to E</math>는 속력 <math>\gamma\mapsto \dot\gamma</math>이다. 그 영점은 [[상수 함수]] 고리들의 공간이다.

이 경우,
:<Math>Z = (2\pi)^{-(\dim M)/2}\int_M \operatorname{Pf}(\operatorname{Riem}) = (2\pi)^{-(\dim M)/2)}\chi(M)</math>
을 얻는다. 이는 <math>\Omega(M)</math>의 L<sup>2</sup> 완비화를 힐베르트 공간으로 하는 [[초대칭 양자역학]]의 분배 함수와 일치한다.

=== 도널드슨 이론 ===
{{본문|도널드슨 이론}}
만약
* <math>X</math>는 어떤 4차원 [[매끄러운 다양체]] <math>M</math> 위의 <math>G</math>-[[주다발]] <math>P</math>의 [[주접속]]들의 공간이다.
* <math>E</math>는 <math>M</math> 위의, <math>\mathfrak g</math>-값 자기 쌍대 [[2차 미분 형식]]들의 공간이다.
* <math>s \colon F \mapsto F + *F</math>는 [[2차 미분 형식]]을 자기 쌍대 성분으로 대응시킨다.
이에 따라, <math>s</math>의 영점은 반 자기 쌍대 미분 형식들의 공간이다. 만약 이 공간이 0차원이라면 (점으로 구성된다면), 도널드슨 이론은 이 공간의 점의 수를 계산한다.

== 역사 ==
마타이 바르기스({{llang|ml|മത്തായി വർഗീസ്}}, {{llang|en|Mathai Varghese}})와 [[대니얼 퀼런]]이 1986년에 도입하였다.<ref>{{저널 인용|last1=Mathai|first1=Varghese|last2=Quillen|first2=Daniel|authorlink2=Daniel Quillen| year=1986|title=Superconnections, Thom classes and equivariant differential forms|journal=Topology |volume=25|issue=1|pages=85–110}}</ref> 이후 마이클 아티야와 리사 제프리({{llang|en|Lisa Jeffrey}})가 이 개념이 무한 차원에서 [[위상 양자장론]]에 해당한다는 것을 증명하였다.

== 참고 문헌 ==
* {{저널 인용 | 제목=The Mathai–Quillen Formalism and Topological Field Theory|이름=Matthias|성=Blau|doi=10.1016/0393-0440(93)90049-K | arxiv=hep-th/9203026|언어=en}}
* {{저널 인용|제목=Mathai–Quillen formalism — from the point of view of path integrals | 성= Wang | 이름=Zheng-Dong | doi = 10.1023/A:1007312606288 | 저널=Letters in Mathematical Physics | 날짜=1997 | issn=0377-9017 | 언어=en}}

== 각주 ==
{{각주}}

[[분류:미분기하학]]
[[분류:대수적 위상수학]]
[[분류:양자장론]]