마이어-피토리스 열 문서 원본 보기

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[[대수적 위상수학]]에서 '''마이어-피토리스 열'''(Mayer-Vietoris列, {{llang|en|Mayer–Vietoris sequence}})는 어떤 [[위상 공간 (수학)|위상 공간]]을 두 열린 부분공간으로 나눈 경우, 그 [[호몰로지 군]]들에 대한 [[긴 완전열]]이다. [[기본군]]의 [[자이페르트-판 캄펀 정리]]와 유사하게, 공간의 [[호몰로지 군]]을 더 단순한 부분 공간들로 쪼개어 계산하는 데 쓰인다. [[대수적 위상수학]]에서 가장 핵심적인 도구 가운데 하나다.

== 정의 ==
위상 공간 <math>X</math>의 두 [[부분 집합]] <math>A,B\subset X</math>들의 [[내부 (위상수학)|내부]] <math>\operatorname{int}(A),\operatorname{int}(B)\subset X</math>가 <math>X</math>의 [[열린 덮개]]를 이룬다고 하자. 즉,
:<math>\operatorname{int}(A)\cup\operatorname{int}(B)=X</math>
라고 하자. 이 사이에 포함 사상들을 다음과 같이 적자.
:<math>i\colon A\cap B\hookrightarrow A</math>
:<math>j\colon A\cap B\hookrightarrow B</math>
:<math>k\colon A\hookrightarrow X</math>
:<math>l\colon B\hookrightarrow X</math>
이에 따라서 다음과 같은 [[호몰로지 군]] 사이의 [[군 준동형]]을 유도할 수 있다.
:<math>i_*\colon H_n(A\cap B)\to H_n(A)</math>
:<math>j_*\colon H_n(A\cap B)\to H_n(B)</math>
:<math>k_*\colon H_n(A)\to H_n(X)</math>
:<math>l_*\colon H_n(B)\to H_n(X)</math>
또한, 다음과 같은 군 준동형을 생각하자. 임의의 닫힌 <math>n</math>차 [[특이 호몰로지]] 사슬 <math>x\in C_n(X)</math>는 <math>A</math>에 속한 사슬과 <math>B</math>에 속한 사슬로 분해할 수 있다. (이러한 분해는 물론 유일하지 않다.)
:<math>x=u+v</math> (<math>u\in C_n(A)</math>, <math>v\in C_n(B)</math>)
:<math>\partial u=-\partial v\in C_{n-1}(A\cap B)</math>
그렇다면 [[군 준동형]] <math>\partial_*\colon H_n(X)\to H_{n-1}(A\cap B)</math>을 다음과 같이 정의할 수 있다.
:<math>\partial_*\colon [x]\mapsto[\partial u]=-[\partial v]\in H_{n-1}(A\cap B)</math>
[[파일:Mayer Vietoris sequence boundary map on torus.png|350px|center]]
그렇다면, 다음과 같은 [[특이 호몰로지]] [[사슬 복합체]]에 대한 [[짧은 완전열]]이 존재한다.
:<math>0\to C_\bullet(A\cap B)\xrightarrow{(i_*,j_*)}C_\bullet(A)\oplus C_\bullet(B)\xrightarrow{k_*-l_*}C_\bullet(X)\to0</math>
이 [[짧은 완전열]]에 [[지그재그 보조정리]]를 적용해, 다음과 같은 [[긴 완전열]]이 존재함을 알 수 있다. 이 완전열을 '''마이어-피토리스 열'''이라고 한다.
:<math>\cdots\to H_{n+1}(X)\xrightarrow{\partial_*}\,H_{n}(A\cap B)\xrightarrow{(i_*,j_*)}H_{n}(A)\oplus H_{n}(B)\xrightarrow{k_* - l_*}H_{n}(X)\xrightarrow{\partial_*}H_{n-1} (A\cap B)\to\cdots\to H_0(A)\oplus H_0(B)\xrightarrow{k_* - l_*}H_0(X)\to0</math>
[[축소 호몰로지]](reduced homology) <math>\tilde H_n(X)=H_n(X)/H_n(\{\bullet\})</math>에 대해서도 비슷한 [[긴 완전열]]이 존재한다.

== 역사 ==
[[오스트리아]]의 수학자 [[발터 마이어]]({{llang|de|Walther Mayer}})와 [[레오폴트 피토리스]]({{llang|de|Leopold Vietoris}})가 도입하였다. 마이어는 1926~1927년 동료 수학자 피토리스의 [[위상수학]] 강의를 듣게 되었다. 이 강의에서 피토리스는 오늘날 마이어-피토리스 열이라고 불리는 관계에 대한 가설을 세웠다. 그때까지 위상수학에 대하여 전혀 몰랐던 마이어는 피토리스의 강의를 듣고 곧 1929년에 가설을 호몰로지의 [[베티 수]]에 대하여 증명하였다.<ref>{{저널 인용
 |first= Walther
 |last= Mayer
 |title= Über abstrakte Topologie
 |날짜= 1929
 |journal= Monatshefte für Mathematik
 |doi= 10.1007/BF02307601
 |issn= 0026-9255
 |volume= 36
 |issue= 1
 |pages= 1–42
 |언어=de
}}</ref> 이듬해 (1930년) 피토리스는 [[베티 수]]뿐만 아니라 [[호몰로지 군]] 자체에 대한 마이어-피토리스 열의 존재를 증명하였다.<ref>{{저널 인용
 |first= Leopold
 |last= Vietoris
 |title= Über die Homologiegruppen der Vereinigung zweier Komplexe
 |날짜= 1930
 |journal= Monatshefte für Mathematik
 |issn= 0026-9255
 |volume= 37
 |number=1
 |pages= 159–62
 |doi=10.1007/BF01696765
 |언어=de
}}</ref> 이후 [[사무엘 에일렌베르크]]와 [[노먼 스틴로드]]가 [[완전열]]의 개념을 도입하면서, 마이어와 피토리스의 준동형들이 [[긴 완전열]]을 이룸을 지적하였다.

== 같이 보기 ==
* [[지그재그 보조정리]]
== 참고 문헌 ==
{{각주}}
* {{서적 인용|제목=대수적 위상수학|저자=조용승|출판사=경문사|날짜=2010-09|isbn=978-89-6105-365-5|url=http://kyungmoon.com/shop_product/shop_pdt_view.php?&p_idx=6810|언어=ko|access-date=2013-08-25|archive-date=2015-02-07|archive-url=https://web.archive.org/web/20150207031741/http://kyungmoon.com/shop_product/shop_pdt_view.php?&p_idx=6810|url-status=}}
* {{서적 인용|제목=대수적 위상 수학|저자=우무하|공저자=김재룡|날짜=1994-10-23|출판사=민음사|위치=[[서울]]|총서=대우학술총서 자연과학|권=97|isbn=978-89-374-3597-3|url=http://minumsa.minumsa.com/book/994/|언어=ko}}
* {{서적 인용| last=Hatcher |first= Allen |title=Algebraic Topology |url=http://www.math.cornell.edu/~hatcher/AT/ATpage.html |year= 2002 |publisher=Cambridge University Press |place=Cambridge |isbn=0-521-79540-0|언어=en}}

== 외부 링크 ==
* {{eom|title=Homology theory}}
* {{nlab|id=Mayer-Vietoris sequence}}
* {{웹 인용|url=http://topospaces.subwiki.org/wiki/Mayer-Vietoris_homology_sequence|제목=Mayer-Vietoris homology sequence|웹사이트=Topospaces|언어=en}}
* {{웹 인용|url=http://mathoverflow.net/questions/23175/mathematically-mature-way-to-think-about-mayer-vietoris|제목=
Mathematically mature way to think about Mayer–Vietoris|출판사=Math Overflow|언어=en}}

{{전거 통제}}

[[분류:호몰로지 이론]]