마우러-카르탕 형식 문서 원본 보기

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[[미분기하학]]에서 '''마우러-카르탕 형식'''(Maurer-Cartan形式, {{llang|en|Maurer–Cartan form}})은 [[리 군]] 위에 정의된, [[리 대수 값 미분 형식|리 대수 값]]의 [[1차 미분 형식]]이다. 리 군의 연산 구조를 나타낸다.

== 정의 ==
마우러-카르탕 형식의 개념은 여러 가지로 정의될 수 있으며, 이 정의들은 모두 서로 [[동치]]이다.

편의상, 왼쪽 · 오른쪽 곱셈 함수를 다음과 같이 정의하자.
:<math>\mathsf L_g,\mathsf R_g \colon G\to G\qquad(g\in G)</math>
:<math>\mathsf L_g \colon h\mapsto gh</math>
:<math>\mathsf R_g \colon h\mapsto hg</math>

=== 내재적 정의 ===
[[리 군]] <math>G</math>가 주어졌다고 하자. 그렇다면, [[벡터장]]의 밂
:<math>\mathsf L_{g*}\colon \mathrm T_hG \mapsto \mathrm T_{gh}G</math>
를 정의할 수 있다.

<math>G</math>의 [[리 대수]]는 항등원에서의 [[접공간]]과 같다.
:<math>\mathfrak g=\mathrm T_1G</math>

이제, 각 점 <math>g\in G</math>에서, '''마우러-카르탕 형식'''
:<math>\omega\in\Omega^1(G;\mathfrak g)</math>
은 다음과 같은 성분을 갖는 [[리 대수 값 미분 형식|리 대수 값]] [[1차 미분 형식]]이다.
:<math>\omega_g(v) = \mathsf L_{g^{-1}*}(v) \in \mathrm T_1G = \mathfrak g\qquad(g\in G,\;v\in\mathrm T_gG)</math>

=== 외재적 정의 ===
임의의 자연수 <math>n\in\mathbb N</math>에 대하여, [[일반 선형군]] <math>\operatorname{GL}(n;\mathbb R)</math> 위의 [[매끄러운 함수]]
:<math>f_{ij}\colon \operatorname{GL}(n;\mathbb R)\to \mathbb R\qquad(i,j\in\{1,2,\dotsc,n\})</math>
가 행렬의 <math>(i,j)</math>번째 성분을 고르는 함수라고 하자. 그렇다면, [[1차 미분 형식]]
:<math>\mathrm df_{ij} \in \operatorname\Omega^1(M)</math>
들을 정의할 수 있다. 이들을 모아
:<math>\mathrm df \in \operatorname\Omega^1(M)\otimes\mathbb R^{n^2} = \Omega^1(M;\mathfrak{gl}(n;\mathbb R))</math>
를 정의할 수 있다.

<math>\operatorname{GL}(n;\mathbb R)</math> 위의 '''마우러-카르탕 형식'''은 다음과 같다.
:<math>\omega|_M = M^{-1}\,\mathrm df</math>

이제, 다음이 주어졌다고 하자.
* (유한 차원) [[연결 공간|연결]] [[단일 연결]] [[리 군]] <math>G</math> 및 그 [[리 대수]] <math>\operatorname{Lie}(G)=\mathfrak g</math>
그렇다면, 다음을 임의로 고르자. 우선, <math>\mathfrak g</math>는 유한 차원 실수 리 대수이므로, 충분히 큰 <math>n\in\mathbb N</math>에 대하여 항상 다음과 같은 [[단사 함수|단사]] 실수 리 대수 준동형이 존재한다.
:<math>\mathfrak g\hookrightarrow\operatorname{\mathfrak{gl}}(n;\mathbb R)</math>
이는 마찬가지로 [[매끄러운 함수|매끄러운]] [[군 준동형]]
:<math>\phi\colon G\to\operatorname{GL}(n;\mathbb R)</math>
을 정의한다. 이는 (정의에 따라) 항상 [[몰입 (수학)|몰입]]이지만, 일반적으로 [[단사 함수]]일 필요가 없다.

그렇다면, <math>G</math>의 '''마우러-카르탕 형식'''
:<math>\omega\in\Omega^1(G;\mathfrak g)</math>
는 <math>\operatorname{GL}(n;\mathbb R)</math>의 마우러-카르탕 형식 <math>\omega_{\operatorname{GL}(n;\mathbb R)}</math>의 [[당김 (미분기하학)|당김]]
:<math>\phi^*\omega_{\operatorname{GL}(n;\mathbb R)}\in \Omega^1(G;\mathfrak{gl}(n;\mathbb R))</math>
이다. 이는 사실 <math>\mathfrak g\subseteq\mathfrak{gl}(n;\mathbb R)</math>에 속하는 것을 보일 수 있다.
:<math>\phi^*\omega \in \Omega^1(G;\mathfrak g)</math>
또한, 이 표현은 <math>(\phi,n)</math>의 선택에 의존하지 않음을 보일 수 있다.

단일 연결이 아닌 연결 리 군 <math>G</math>의 마우러-카르탕 형식은 그 [[범피복군]]
:<math>q\colon\tilde G\twoheadrightarrow G</math>
에 대하여,
:<math>q^*\omega_G = \omega_{\tilde G}</math>
가 되는 유일한 [[미분 형식]]이다.

=== 공리적 정의 ===
[[리 군]] <math>G</math> 위의 '''마우러-카르탕 형식'''은 다음 조건들을 모두 만족시키는 유일한 <math>\mathfrak g</math>값 [[1차 미분 형식]]
:<math>\omega\in\Omega^1(G;\mathfrak g)</math>
이다.
* <math>\omega_1 = \operatorname{id} \colon \mathrm T_1G\to \mathrm T_1G=\mathfrak g</math>
* 임의의 <math>g\in G</math>에 대하여, <math>\omega_g = \operatorname{Ad}(g^{-1})\mathsf R_{g^{-1}}^*\omega_1</math>
이 정의는 [[주접속]]의 정의과 같다. 즉, <math>G</math>를 [[한원소 공간]] <math>\{\bullet\}</math> 위의 [[주다발]]
:<math>G\twoheadrightarrow\{\bullet\}</math>
로 간주하면, '''마우러-카르탕 형식'''은 그 위의 유일한 [[주접속]]이다.

== 성질 ==
임의의 [[벡터장]] <math>X\in\Gamma^\infty(\mathrm TG)</math>에 대하여, 만약
:<math>\mathsf L_{g*}X = X</math>
라면, <math>\omega(X)\in\mathcal C^\infty(G,\mathbb R)</math>는 [[상수 함수]]이다.
<div class="mw-collapsible mw-collapsed toccolours">
'''유도:'''
<div class="mw-collapsible-content">
임의의 <math>g\in G</math>에 대하여,
:<math>\omega|_g(X|_g) = (\mathsf L_{g^{-1}*}X)|_g = X|_1</math>
</div></div>

=== 마우러-카르탕 방정식 ===
마우러-카르탕 형식은 다음 조건을 만족시킨다.
:<math>\mathrm d\omega + \frac12[\omega\wedge\omega] = 0</math>
이를 '''마우러-카르탕 방정식'''(Maurer-Cartan方程式, {{llang|en|Maurer–Cartan equation}})이라고 한다.
<div class="mw-collapsible mw-collapsed toccolours">
'''유도:'''
<div class="mw-collapsible-content">
임의의 두 벡터장 <math>X,Y\in\Gamma^\infty(\mathrm TM)</math>이 왼쪽 곱셈 밂에 대하여 불변이라고 하자. 그렇다면, <math>\omega(X)</math>와 <math>\omega(Y)</math>는 둘 다 [[상수 함수]]이다. 따라서,
:<math>\partial_X \omega(Y) = \partial_Y \omega(X) = 0</math>
이다. 따라서,
:<math>\mathrm d\omega(X,Y) = \partial_X\omega(Y) - \partial_Y\omega(X) - \omega([X,Y]) = 
-\omega([X,Y])
= -\frac12[\omega\wedge\omega](X,Y)
</math>
이다. 그런데 왼쪽 불변인 벡터장들은 <math>G</math>의 각 점에서의 [[접공간]]의 [[기저 (선형대수학)|기저]]를 이루므로, 위 방정식은 점별로 모든 벡터장에 대하여 성립한다. 즉,
:<math>\mathrm d\omega = -\frac12[\omega\wedge\omega]</math>
이다.
</div>
</div>

==== 마우러-카르탕 방정식의 일반화 ====
[[리 군]] <math>G</math> 위의, <math>\mathfrak g</math> 값의 [[미분 형식]]들은 [[미분 등급 리 대수]] <math>\Omega(G;\mathfrak g)</math>를 이룬다. 이에 따라, 마우러-카르탕 방정식은 임의의 [[미분 등급 리 대수]] <math>\mathfrak g</math>에 대하여 일반화된다. 즉,
:<math>\mathfrak g=\bigoplus_{n\in\mathbb N}\mathfrak g^n</math>
위의 마우러-카르탕 방정식은 1차 원소에 대한 방정식
:<math>\mathrm d\omega+\frac12[\omega,\omega] = 0</math>
이다. 그러나 그 해는 일반적으로 유일하지 못하다. (차수 조건을 생략할 경우, 예를 들어 <math>\omega=0</math> 역시 마우러-카르탕 방정식을 자명하게 만족시킨다.)

보다 일반적으로, 임의의 [[L∞-대수]] <math>\mathfrak g</math>를 생각하자. [[L∞-대수]]에서, [[미분 (대수학)|미분]] 연산 <math>\mathrm d</math>는 1항 괄호에 해당한다. 이 경우, <math>\mathfrak g</math> 위의 '''마우러-카르탕 방정식'''은 다음과 같다.
:<math>\sum_{k=0}^\infty \frac1{k!} [\overbrace{\omega,\dotsc,\omega}^k]_k = 0</math>

== 역사 ==
루트비히 마우러({{llang|de|Ludwig Maurer}}, 1859~1927)와 [[엘리 카르탕]]<ref>{{저널 인용|성=Cartan|이름=Élie|제목=Sur la structure des groupes infinis de transformation|저널=Annales scientifiques de l'École Normale Supérieure|url=http://www.numdam.org/item?id=ASENS_1904_3_21__153_0|권=21|연도=1904|쪽=153–206|jfm=35.0176.04|언어=fr}}</ref>의 이름을 땄다.
<gallery>
Ludwig Maurer.jpg|루트비히 마우러
Elie-Cartan-1904.png|[[엘리 카르탕]]
</gallery>

== 예 ==
[[아벨 군]] <math>G=\mathbb R^n</math>을 생각하자. 그 위의 마우러-카르탕 형식은 단순히
:<math>(\omega|_v)_i{}^j = \delta_i^j \qquad i,j\in\{1,2,\dotsc,n\}</math>
이다.

이 경우, 마우러-카르탕 방정식은 단순히
:<math>\mathrm d\omega = 0</math>
이므로, 마우러-카르탕 방정식은 마우러-카르탕 원소를 완전히 결정하지 못한다.

== 각주 ==
{{각주}}

== 외부 링크 ==
* {{Eom|title=Maurer-Cartan form}}
* {{nlab|id=Maurer-Cartan form}}
* {{nlab|id=Maurer-Cartan equation}}

[[분류:리 군]]
[[분류:미분기하학]]
[[분류:호모토피 이론]]