마스 파동 형식 문서 원본 보기

{{위키데이터 속성 추적}}
[[수학]]에서 '''마스 파동 형식'''({{llang|en|Maass wave form}})은 [[모듈러 형식]]과 유사하지만 [[정칙함수]]가 아니라 일종의 [[조화함수]]인 복소함수이다. [[한스 마스]]가 1949년 정의하였다.<ref>{{저널 인용 | last=Maaß | first=Hans | authorlink=한스 마스|title=Über eine neue Art von nichtanalytischen automorphen Funktionen und die Bestimmung Dirichletscher Reihen durch Funktionalgleichungen | doi=10.1007/BF01329622 | mr=0031519 | year=1949 | journal=Mathematische Annalen | volume=121 | pages=141–183|언어=en}}</ref>

== 정의 ==
[[상반평면]] <math>\mathbb H=\{\tau\in\mathbb C\colon\operatorname{Im}\tau>0\}</math> 위의 [[라플라스 연산자]]는 다음과 같다. <math>\tau=x+iy</math>라면,
:<math>\Delta=-y^2\left(\frac{\partial^2}{\partial x^2}+\frac{\partial^2}{\partial y^2}\right)</math>
이다. 이는 쌍곡기하학에서의 곡률을 고려한 것이다.

'''약한 마스 파동 형식'''({{llang|en|Maass wave form}})은 다음 성질들을 만족시키는, [[상반평면]] 위에 정의된 복소함수 <math>f\colon\mathbb H\to\mathbb C</math>이다.
* <math>f</math>는 [[모듈러 군]] <math>\operatorname{PSL}(2;\mathbb Z)</math>의 작용에 불변이다. 즉, <math>\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}\in\operatorname{SL}(2;\mathbb Z)</math>에 대하여 <math>f((az+b)/(cz+d),(a\bar z+b),(c\bar z+d))=f(z,\bar z)</math>이다.
* <math>f</math>는 상반평면 라플라스 연산자 <math>\Delta</math>의 [[고유함수]]이다. 즉, <math>\Delta f=0</math>이다.
'''마스 파동 형식'''은 다음 조건을 만족시키는 약한 마스 파동 형식이다.
* <math>\operatorname{SL}(2;\mathbb Z)</math>의 첨점 근처에서, <math>x,y</math>에 대한 다항식 이하의 속도로 증가한다.

[[스리니바사 라마누잔]]이 발견한 [[가짜 모듈러 형식]]({{llang|en|mock modular form}})은 약한 마스 파동 형식의 정칙적 부분이다.

== 같이 보기 ==
* [[보형 형식]]
* [[모듈러 형식]]
==참고 문헌==
{{각주}}
*{{인용| last=Bump | first=Daniel | title=Automorphic forms and representations | publisher=Cambridge University Press | series=Cambridge Studies in Advanced Mathematics | isbn=978-0-521-55098-7 | mr= 1431508 | year=1997 | volume=55}}

== 외부 링크 ==
* {{웹 인용|제목=Lectures on Maass forms|url=http://www.prime.sdu.edu.cn/lectures/LiuMaassforms.pdf|날짜=2007-03|이름=Jianya|성=Yu|언어=en|확인날짜=2013-12-18|보존url=https://web.archive.org/web/20131219032142/http://www.prime.sdu.edu.cn/lectures/LiuMaassforms.pdf#|보존날짜=2013-12-19|url-status=dead}}

{{전거 통제}}

[[분류:모듈러 형식]]