리 쌍대대수 문서 원본 보기

{{위키데이터 속성 추적}}
[[리 대수]] 이론에서, '''리 쌍대대수'''(Lie雙對代數, {{llang|en|Lie coalgebra}})는 [[리 대수]]의 정의를 쌍대화하여 얻어지는 쌍대대수이다.

== 정의 ==
[[가환환]] <math>K</math> 위의 '''리 쌍대대수'''는 다음과 같은 데이터로 주어진다.
* <math>K</math>-[[가군]] <math>V</math>
* <math>K</math>-[[가군 준동형]] <math>\mathrm d\colon V \to V \wedge V</math>
여기서
:<math>V \wedge V = \frac{V \otimes V}{(u\otimes u\colon u\in V)}</math>
는 [[외대수]]의 2차 성분이다. 이를 [[외대수]] <math>\textstyle\bigwedge V</math> 위에 다음과 같은 [[곱 규칙]]을 따르는 [[미분 (대수학)|미분]]으로 유일하게 확장할 수 있다.
:<math>\mathrm d\colon \bigwedge^\bullet V \to \bigwedge^{\bullet+1}V</math>
:<math>\mathrm d(a\wedge b) = (\mathrm da)\wedge b + (-)^{\deg a}a\wedge\mathrm db</math>

이 데이터는 다음 조건을 만족시켜야 한다.
* <math>\textstyle(\bigwedge^\bullet V,\mathrm d)</math>는 [[공사슬 복합체]]를 이룬다. 즉, <math>\mathrm d\circ \mathrm d = 0</math>이어야 한다.

=== 리 괄호를 통한 정의 ===
만약 <math>K</math>가 [[표수 2]] 또는 [[표수 3]]이 아닌 [[체 (수학)|체]]이며, <math>V</math>가 유한 차원 <math>K</math>-[[벡터 공간]]이라고 할 때, 다음 두 데이터가 서로 [[동치]]이다.
* <math>V</math> 위의 리 쌍대대수 구조 <math>\mathrm d</math>
* <math>V^*</math> 위의 [[리 대수]] 구조 <math>[-,-]</math>
구체적으로, 이들 사이의 관계는 다음과 같다.
:<math>\langle a|[x,y]\rangle = \langle \mathrm da | x\wedge y\rangle</math>
여기서 <math>\langle -|-\rangle</math>은 <math>\textstyle\bigwedge E</math>와 그 등급별 [[쌍대 공간]] 사이의 내적이다.

=== 리 준쌍대대수 ===
'''리 준쌍대대수'''(Lie準雙對代數, {{llang|en|Lie coalgebroid}})는 다음과 같다.
* [[매끄러운 다양체]] <math>M</math>
* (유한 차원) [[매끄러운 벡터 다발]] <math>E \twoheadrightarrow M</math>
* <math>\bullet\bigwedge E</math> 위의 미분을 정의하는 벡터 다발 사상 <math>\mathrm d \colon E \to E\wedge_M E</math>. 이는 <math>\textstyle\bigwedge^\bullet E</math> 위의 [[공사슬 복합체]] 구조를 정의하여야 한다.
이는 쌍대화를 통하여 <math>E^*</math> 위의 [[리 준대수]] 구조와 동치이다.

== 예 ==
[[매끄러운 다양체]] <math>M</math> 위의 공변접다발 <math>\mathrm T^*M</math>은 리 준쌍대대수를 이루며, 그 쌍대괄호는 [[1차 미분 형식]]의 [[외미분]]이다. 이는 [[미분 형식]]들의 [[공사슬 복합체]]
:<math>(\Omega(M),\mathrm d)</math>
를 정의한다.

== 참고 문헌 ==
*{{저널 인용 | 성=Michaelis | 이름=Walter | title=Lie coalgebras | doi=10.1016/0001-8708(80)90056-0 |mr=594993 | year=1980 | journal=Advances in Mathematics | issn=0001-8708 | volume=38 | issue=1 | pages=1–54 | 언어=en}}

[[분류:리 대수]]