리 대응 문서 원본 보기

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[[리 군론]]에서 '''리 대응'''(Lie對應, {{llang|en|Lie correspondence}})은 [[리 군]]의 범주에서 [[실수 리 대수]]의 범주로 가는 표준적인 [[함자 (수학)|함자]]이다. 즉, 각 리 군에 표준적 실수 리 대수가 대응되며, 리 군의 [[매끄러운 함수|매끄러운]] [[군 준동형]]에 실수 리 대수의 [[준동형]]이 대응된다.

== 정의 ==
[[리 군]] <math>G</math> 위에는 각 <math>g\in G</math>에 대하여 다음과 같은 [[자기 함수]]를 정의할 수 있다.
:<math>\mathsf L_g\colon G\to G\qquad(g\in G)</math>
:<math>\mathsf L_g\colon h\mapsto gh</math>
<math>G</math> 위의 매끄러운 [[벡터장]] <math>X\in\Gamma^\infty(X)</math>가 다음 조건을 만족시키면, '''왼쪽 불변 벡터장'''이라고 한다.
:<math>\mathsf L_{g*}(X^\mu(h))=X^\mu(gh)\qquad\forall g,h\in G</math>
여기서
* <math>\mathsf L_{g*}\colon\mathrm T_hG\to\mathrm T_{gh}G</math>는 <math>\mathsf L_g</math>에 대한 벡터장의 [[밂 (미분기하학)|밂]]이다.
그렇다면, 다음 두 [[실수 벡터 공간]] 사이에 표준적인 [[동형]]이 존재하며, 이 실수 벡터 공간을 <math>\operatorname{Lie}(G)</math>라고 한다.
* <math>G</math> 위의 왼쪽 불변 벡터장들의 벡터 공간
* <math>G</math>의 항등원 <math>1\in G</math>에서의 [[접공간]] <math>T_1G</math>
또한, <math>\operatorname{Lie}(G)</math>는 (왼쪽 불변 벡터장의) [[리 미분]]
:<math>[X,Y]=\mathcal L_XY</math>
에 대하여 닫혀 있음을 보일 수 있다. 따라서, 이를 부여하면 <math>\operatorname{Lie}(G)</math>는 리 대수를 이룬다. 이를 '''리 대응'''이라고 한다. 만약 <math>G</math>가 복소수 리 군이라면, <math>\operatorname{Lie}(G)</math>는 자연스럽게 복소수 벡터 공간을 이루며, 따라서 복소수 리 대수가 된다.

마찬가지로, 두 리 군 사이의 매끄러운 [[군 준동형]]
:<math>f\colon G\to H</math>
및 <math>G</math> 위의 왼쪽 불변 매끄러운 벡터장 <math>X\in\operatorname{Lie}(G)</math>에 대하여, [[밂 (미분기하학)|밂]] <math>f_*X \in \Gamma^\infty(G)</math>는 <math>H</math>의 왼쪽 불변 매끄러운 벡터장을 정의한다. 이는 [[리 대수]]의 [[준동형]]
:<math>\operatorname{Lie}(f) = \mathrm df\restriction \operatorname{Lie}(G) \colon \operatorname{Lie}(G)\to\operatorname{Lie}(H)</math>
를 정의한다.

통상적으로, 주어진 리 군의 리 대수는 리 군의 이름의 흑자체 소문자로 쓴다. 예를 들어 SO(5)의 리 대수는 <math>\operatorname{Lie}(\operatorname{SO}(5)) = \mathfrak{so}(5)</math>이다.

== 성질 ==
=== 함자성 ===
<math>\operatorname{Lie}</math>는 [[리 군]]의 범주에서 실수 리 대수의 [[범주 (수학)|범주]]로 가는 [[충실한 함자]]를 정의한다.
:<math>\operatorname{Lie}\colon\operatorname{LieGrp} \to \operatorname{LieAlg}_{\mathbb R}</math>

=== 연산과의 호환 ===
리 대응은 차원을 보존한다. 즉, <Math>n</math>차원 리 군에 대응되는 실수 리 대수는 <math>n</math>차원 [[실수 리 대수]]이다.
:<math>\dim\operatorname{Lie}(G)=\dim G</math>

리 대응 아래, [[반대군]]은 리 괄호에 &minus;1을 곱하는 것에 대응한다.
:<math>\operatorname{Lie}(G^{\operatorname{op}}) = (\operatorname{Lie}(G))^{\operatorname{op}}</math>
:<math>(V,[-,-]_V)^{\operatorname{op}} = (V,-[-,-]_V)^{\operatorname{op}}</math>

리 대응은 리 군의 [[직접곱]]을 리 대수의 [[직합]]으로 대응시킨다.
:<math>\operatorname{Lie}(G\times H) = \operatorname{Lie}(G)\oplus\operatorname{Lie}(H)</math>

리 대응은 리 군의 (닫힌 부분군에 대한) [[짧은 완전열]]을 [[실수 리 대수]]의 짧은 완전열로 대응시킨다.
:<math>1\to K\to G\to G/H\to1</math>
:<math>0\to\operatorname{Lie}(K)\to\operatorname{Lie}(G)\to\frac{\operatorname{Lie}(G)}{\operatorname{Lie}(K)}\to0</math>

마찬가지로, 리 대응은 리 군의 닫힌 부분군을 실수 리 대수의 부분 리 대수로 대응시킨다. (그러나 그 역은 일반적으로 성립하지 않는다.)

=== 전사성 · 단사성 ===
함자 <math>\operatorname{Lie}\colon\operatorname{LieGrp} \to \operatorname{LieAlg}_{\mathbb R}</math>는 대상의 [[동형류]]에 대하여 [[단사 함수]]도, [[전사 함수]]도 아니다.
* 단사성은 리 대수가 국소적인 정보만을 담기 때문이다. 예를 들어 [[SO(3)]]과 [[SU(2)]]는 국소적으로 같으므로 (SU(2)는 SO(3)의 [[범피복군]]) 같은 리 대수 <math>\mathfrak{so}(3)\cong\mathfrak{su}(2)</math>를 지닌다.
* 전사성의 실패는 무한 차원에서 일어난다. 모든 유한 리 대수에 대하여 대응되는 리 군이 존재하지만, 이는 무한 차원 리 대수에 대해서는 성립하지 않는다. (정의에 따라 모든 [[매끄러운 다양체]]는 유한 차원이지만, 무한 차원 다양체의 개념을 도입하여도 이 문제는 쉽게 해결할 수 없다.)

그러나 '''리 제3 정리'''(Lie第三定理, {{llang|en|Lie's third theorem}})에 따르면, 이 함자를 유한 차원 리 대수 및 (유한 차원) [[연결 공간|연결]] [[단일 연결]] [[리 군]]에 국한한다면, 이 함자는 (동형을 무시하면) [[범주의 동치]]를 이룬다. 즉, 다음 두 집합 사이에 표준적인 [[전단사 함수]]가 존재한다.
* [[연결 공간|연결]] [[단일 연결]] [[리 군]]의 동형류
* 실수 유한 차원 리 대수의 동형류
이 함수는 구체적으로 <math>G\mapsto\operatorname{Lie}(G)</math>이다. 또한, 임의의 두 연결 단일 연결 리 군 <math>G</math>, <math>H</math>에 대하여, 다음과 같은 표준적인 전단사 함수가 존재한다.
:<math>\hom(G,H)\to\hom(\operatorname{Lie}(G),\operatorname{Lie}(H))</math>
여기서 좌변은 두 리 군 사이의 [[매끄러운 함수|매끄러운]] [[군 준동형]]의 집합이며, 우변은 두 실수 리 대수 사이의 리 대수 준동형의 집합이다.

=== 부분 리 대수에 대응하는 부분군 ===
[[리 군]] <math>G</math>의 [[부분군]] <math>H\le G</math>에 대하여 다음 두 조건이 서로 [[동치]]이며, 이를 만족시키는 군을 '''해석적 부분군'''({{llang|en|analytic subgroup}}) 또는 '''몰입 부분군'''({{llang|en|immersed subgroup}})이라고 한다.<ref name="Knapp">{{서적 인용|last=Knapp|first=Anthony W.|title=Lie groups beyond an introduction|edition= 2판|총서=Progress in Mathematics |권=140|publisher=Birkhäuser|place= Boston|날짜= 2002|isbn=0-8176-4259-5 | zbl=1075.22501|mr=1920389 |url=https://www.springer.com/birkhauser/mathematics/book/978-0-8176-4259-4|언어=en}}</ref>{{rp|71}}<ref name="FH">{{서적 인용|제목=Representation theory: a first course|총서=Graduate Texts in Mathematics|권=129|성=Fulton|이름=William|이름2=Joe|성2=Harris|출판사=Springer|isbn=978-0-387-97495-8|연도=1991|doi=10.1007/978-1-4612-0979-9|언어=en}}</ref>{{rp|95}}
* <math>H</math>에 적절한 위상을 주면 [[연결 공간|연결]] [[리 군]] <math>\tilde H</math>으로 만들 수 있으며, 이 경우 포함 함수 <math>\tilde H\to G</math>는 [[매끄러운 다양체]]의 매끄러운 [[몰입 (수학)|몰입]]을 이룬다.
* <math>H</math>에 [[부분 공간 위상]]을 주면, <math>H</math>는 [[경로 연결 공간]]이다.
그러나 후자를 [[경로 연결 공간|경로 연결성]]에서 [[연결 공간|연결성]]으로 약화시킬 수 없다.<ref>{{저널 인용|제목=Connected subgroups of Lie groups|이름=E. S.|성=Thomas|url=http://projecteuclid.org/euclid.ijm/1256063578|저널=Illinois Journal of Mathematics|권=31|호=4|날짜=1987|쪽=689–691|mr=909791|zbl=0611.22005|issn=0019-2082|언어=en}}</ref> <math>H</math>가 [[리 군]] (즉, [[매끄러운 다양체]])이 되게 하는 위상과 <math>G</math>로부터의 [[부분 공간 위상]]은 일반적으로 다르다.

모든 [[닫힌집합|닫힌]] 부분군은 해석적 부분군이지만, 그 역은 성립하지 않는다.

만약 <math>G</math>가 [[연결 공간|연결]] [[단일 연결]] [[리 군]]일 경우, '''리 제2 정리'''(Lie第二定理, {{llang|en|Lie’s second theorem}})에 따르면, 다음 두 집합 사이에 표준적인 [[전단사 함수]]가 존재한다.<ref name="Knapp"/>{{rp|72}}<ref name="FH"/><ref>{{서적 인용|이름=I. G.|성=MacDonald|장=Algebraic structure of Lie groups|제목=Representation theory of Lie groups: proceedings of the SRC/LMS Research Symposium on Representations of Lie Groups, Oxford, 28 June – 15 July 1977|쪽=91–150|출판사=Cambridge University Press|doi=10.1017/CBO9780511662683.005|날짜=1980|isbn=978-052122636-3|총서=London Mathematical Society Lecture Note Series|권=34|언어=en}}</ref>{{rp|101}}
* <math>G</math>의 해석적 부분군들의 집합
* <math>G</math>의 리 대수 <math>\mathfrak g</math>의 부분 리 대수들의 집합
구체적으로, <math>G</math>의 해석적 부분군 <math>H\le G</math>에 대응하는 부분 리 대수는 <math>H</math> 위에 다른 위상을 주어 리 군 <math>\tilde H</math>로 만들었을 때, <math>\tilde H</math>의 리 대수 <math>\mathfrak h</math>이다.

=== 리 군 표현에 대응하는 리 대수 표현 ===
리 군에 대응하는 리 대수의 특별한 경우로, 리 군 <math>G</math>의 유한 차원 표현
:<math>\rho\colon G\to\operatorname{GL}(n;K)</math>
를 생각하자. 여기서 <math>K</math>는 유한 차원 실수 [[결합 대수]]를 이루는 [[나눗셈환]]이다 (즉, <Math>K\in\{\mathbb R,\mathbb C,\mathbb H\}</math>이다).

이 경우, 이에 대응하는 [[실수 리 대수]] 준동형
:<math>\operatorname{Lie}(\rho)\colon\operatorname{Lie}(G)\to\mathfrak{gl}(n;K)</math>
를 정의할 수 있다. 이는 <math>\rho</math>에 대응하는 [[리 대수의 표현]]이다.

== 예 ==
<math>n</math>차원 [[아벨 군|아벨]] [[리 군]] <math>G</math>에 대하여 대응하는 [[리 대수]]는 [[아벨 리 대수]] <math>\mathbb R^n</math>이다.

(0차원 [[리 군]]으로 간주한) [[이산군 (수학)|이산군]]에 대응하는 [[리 대수]]는 0차원 [[실수 리 대수]] <math>0</math>이다.

<math>K\in\{\mathbb R,\mathbb C,\mathbb H\}</math>일 때, <math>n\times n</math> [[직교 행렬]]의 리 군 <math>\operatorname O(n;K)</math>의 리 대수는 <math>n\times n</math> [[반대칭 행렬]]의 [[리 대수]] <math>\mathfrak o(n;\mathbb K)</math>이다. 

=== 닫힌집합이 아닌 해석적 부분군 ===
[[원환면]] [[리 군]] <math>\operatorname U(1)\times\operatorname U(1)=\{(\exp(i\alpha),\exp(i\beta))\colon\alpha,\beta\in\mathbb R\}</math>에서, 임의의 실수 <math>c</math>에 대하여 부분군 <math>\{(\exp(i\alpha),\exp(ic\alpha))\colon\alpha\in\mathbb R\}</math>를 정의하자. 그렇다면, <math>c</math>가 유리수일 경우 이는 [[닫힌집합]]인 부분군이지만, 아닐 경우 이는 [[닫힌집합]]이 아닌 해석적 부분군이다.

== 역사 ==
리 대응 및 리의 제2·제3 정리는 [[소푸스 리]]가 도입하였다.

== 참고 문헌 ==
{{각주}}

== 외부 링크 ==
* {{eom|title=Lie algebra of an analytic group}}

[[분류:리 군]]
[[분류:리 대수]]