리 대수 아이디얼 문서 원본 보기

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[[리 군론]]에서 '''리 대수 아이디얼'''(Lie代數ideal, {{llang|en|Lie algebra ideal}})은 몫을 취할 수 있는 [[리 대수]]의 부분 리 대수이다. [[군론]]의 [[정규 부분군]]이나 [[환론]]의 [[아이디얼]]에 대응하는 개념이다.

== 정의 ==
[[가환환]] <math>K</math> 위의 [[리 대수]] <math>(\mathfrak g,[-,-])</math>의 '''부분 리 대수'''(部分Lie代數, {{llang|en|Lie subalgebra}}) <math>\mathfrak h</math>는 리 괄호에 대하여 닫힌 <math>K</math>-[[부분 가군]]이다. 즉, <math>\mathfrak h\subset\mathfrak g</math>이며 <math>[\mathfrak h,\mathfrak h]\subset\mathfrak h</math>이다.

[[가환환]] <math>K</math> 위의 [[리 대수]] <math>\mathfrak g</math>의 부분 집합 <math>I\subseteq\mathfrak g</math>에 대하여, 다음 두 조건이 서로 [[동치]]이며, 이를 만족시키는 부분 집합을 '''리 대수 아이디얼'''({{llang|en|Lie algebra ideal}})이라고 한다.
* <math>K</math>-[[부분 가군]]이며, <math>[\mathfrak g,I]\subseteq I</math>이다.
* <math>\ker \phi = I </math>인 [[리 대수]] [[준동형]] <math>\phi \colon\mathfrak g\to\mathfrak h</math>가 존재한다.

리 대수 아이디얼에 대하여, '''몫 리 대수'''({{llang|en|quotient Lie algebra}}) <math>\mathfrak g/I</math>를 정의할 수 있다.

=== 리 초대수의 경우 ===
{{참고|리 초대수}}
위의 개념들은 [[리 초대수]]에 대하여 그대로 일반화될 수 있다.

[[가환환]] <math>K</math> 위의 [[리 초대수]] <math>(\mathfrak g,[-,-\})</math>의 '''부분 리 초대수'''(部分Lie初代數, {{llang|en|Lie sub-superalgebra}}) <math>\mathfrak h\subseteq\mathfrak g</math>는 리 초괄호에 대하여 닫힌 <math>K</math>-[[부분 가군]]이다. 즉,
:<math>[\mathfrak h,\mathfrak h\} \subseteq\mathfrak h</math>
이다.

[[가환환]] <math>K</math> 위의 [[리 초대수]] <math>(\mathfrak g,[-,-\})</math>의 '''아이디얼'''({{llang|en|ideal}}) <math>\mathfrak h\subseteq\mathfrak g</math>는 다음 조건을 만족시키는 <math>K</math>-[[부분 가군]]이다.
* <math>[\mathfrak g,\mathfrak h\} \subseteq\mathfrak h</math>
즉, <math>\mathfrak g = \mathfrak g_0 \oplus \mathfrak g_1</math>이라고 할 때,
* <math>\mathfrak h_0\subseteq\mathfrak g_0</math>는 [[리 대수]] <math>\mathfrak g_0</math>의 아이디얼이다.
* <math>\mathfrak h_1\subseteq\mathfrak g_1</math>는 <math>\mathfrak g_0</math>의 [[리 대수의 표현|표현]]을 이루며 (<math>[\mathfrak g_0,\mathfrak h_1\} \in\mathfrak h_1</math>), 또한 <math>\{\mathfrak g_1,\mathfrak h_1\} \subseteq \mathfrak h_1</math>을 만족시킨다.

=== L∞-대수의 경우 ===
{{참고|L∞-대수}}
위의 개념들은 [[L∞-대수]]에 대하여 그대로 일반화될 수 있다.

[[가환환]] <math>K</math> 위의 [[L∞-대수]] <math>\mathfrak g</math>의 '''부분 L∞-대수'''(部分L∞-代數, {{llang|en|L∞-subalgebra}}) <math>\mathfrak h\subseteq\mathfrak g</math>는 모든 항수의 괄호에 대하여 닫혀 있는, 동차 <math>K</math>-[[부분 가군]]이다. 즉,
:<math>[\overbrace{\mathfrak h,\mathfrak h,\dotsc,\mathfrak h}^k]_k \subseteq\mathfrak h\qquad(k\in\mathbb Z^+)</math>
:<math>\operatorname{proj}_n (\mathfrak h) \subseteq\mathfrak h\qquad(n\in\mathbb N)</math>
이다. 여기서 <math>\operatorname{proj}_n</math>은 등급 <math>n</math>의 성분을 취하는 사영 함수이다.

[[가환환]] <math>K</math> 위의 [[L∞-대수]] <math>\mathfrak g</math>의 '''아이디얼'''({{llang|en|ideal}}) <math>\mathfrak h\subseteq\mathfrak g</math>는 다음 조건을 만족시키는 <math>K</math>-[[부분 가군]]이다.
:<math>[\mathfrak h,\overbrace{\mathfrak g,\mathfrak g,\dotsc,\mathfrak g}^k]_k \subseteq\mathfrak h\qquad(k\in\mathbb Z^+)</math>
:<math>\operatorname{proj}_n (\mathfrak h) \subseteq\mathfrak h\qquad(n\in\mathbb N)</math>
특히, <math>k=1</math>일 때 이 조건은
:<math>\mathrm d\mathfrak h \subseteq\mathfrak h</math>
이다. 즉, <math>\mathfrak h</math>는 <math>\mathfrak g</math>의 부분 [[공사슬 복합체]]를 이룬다.

== 성질 ==
=== 함의 관계 ===
모든 리 대수 아이디얼은 부분 리 대수이지만, 그 역은 일반적으로 성립하지 않는다. 즉, [[가환환]] <math>K</math> 위의 [[리 대수]] <math>\mathfrak g</math>의 [[부분 집합]]에 대하여 다음과 같은 포함 관계가 성립한다.
:리 대수 아이디얼 ⊆ 부분 리 대수 ⊆ <math>K</math>-[[부분 가군]] ⊆ 덧셈 [[부분군]] ⊆ [[부분 집합]]

=== 다른 성질과의 관계 ===
[[표수 0]]의 [[체 (수학)|체]] 위의 유한 차원 [[리 대수]] <math>\mathfrak g</math>에 대하여, 다음과 같은 성질들이 아이디얼로서 정의된다.
{| class=wikitable
! 리 대수의 종류 !! 리 대수 아이디얼을 통한 정의
|-
| [[단순 리 대수]] || 정확히 두 개의 아이디얼 (즉, <Math>\{0\} \ne \mathfrak g</math>)을 가지며, 아벨 리 대수가 아님
|-
| [[반단순 리 대수]] || 아벨 아이디얼은 <Math>\{0\}</math> 밖에 없음
|-
| 아벨 리 대수 || 모든 <math>K</math>-[[부분 가군]]이 리 대수 아이디얼임
|-
| <math>\{0\}</math> || 정확히 한 개의 아이디얼을 가짐
|}

== 예 ==
=== 자명한 리 대수 아이디얼 ===
모든 리 대수 <math>\mathfrak g</math>에 대하여, <Math>\{0\}\subseteq\mathfrak g</math>과 <math>\mathfrak g\subseteq\mathfrak g</math>는 (자명하게) <math>\mathfrak g</math>의 리 대수 아이디얼이다. 이들에 대한 몫 리 대수는 각각 다음과 같다.
:<math>\mathfrak g/\{0\} \cong \mathfrak g</math>
:<math>\mathfrak g/\mathfrak g \cong \{0\}</math>

=== 직합 성분 ===
같은 [[가환환]] 위의 두 리 대수 <math>\mathfrak g</math>, <math>\mathfrak h</math>의 [[직합]] <math>\mathfrak g\oplus\mathfrak h</math>에서, <Math>\mathfrak g\oplus0,0\oplus\mathfrak h\subseteq \mathfrak g\oplus\mathfrak h</math>는 각각 <math>\mathfrak g\oplus\mathfrak h</math>의 리 대수 아이디얼을 이루며, 이에 대한 몫 리 대수는 각각 다음과 같다.
:<math>\frac{\mathfrak g\oplus\mathfrak h}{\mathfrak g} \cong \mathfrak h</math>
:<math>\frac{\mathfrak g\oplus\mathfrak h}{\mathfrak h} \cong \mathfrak g</math>

=== 리 대수 중심 ===
[[가환환]] <math>K</math> 위의 리 대수 <math>\mathfrak g</math>의 '''중심'''(中心, {{llang|en|center}}) <math>\operatorname Z(\mathfrak g)</math>은 모든 원소와 가환하는 원소들로 구성된 부분 리 대수이다.
:<math>\operatorname Z(\mathfrak g)=\{x\in\mathfrak g\colon[x,\mathfrak g]=0\}</math>
이는 아벨 리 대수를 이루며, 항상 리 대수 아이디얼을 이룬다. 이는 [[군론]]에서의 [[군의 중심]]의 개념에 대응한다.

=== 유도 리 대수 ===
가환환 <Math>K</math> 위의 리 대수 <math>\mathfrak g</math>가 주어졌을 때, 부분 공간
:<math>[\mathfrak g,\mathfrak g] = \left\{[x_1,y_1]+\dotsb+[x_n,y_n] \colon n \in \mathbb N,\,x_1,x_2,\dotsc,x_n,y_1,y_2,\dotsc,y_n\in\mathfrak g\right\}\subseteq\mathfrak g</math>
는 <math>\mathfrak g</math>의 리 대수 아이디얼을 이룬다. 이를 <Math>\mathfrak g</math>의 '''유도 리 대수'''({{llang|en|derived Lie algebra}})라고 한다.

=== 리 대수 근기 ===
{{본문|리 대수 근기}}
[[리 대수 근기]]는 리 대수의 최대 [[가해 리 대수|가해]] 아이디얼이다.

== 외부 링크 ==
* {{매스월드|id=LieSubalgebra|title=Lie subalgebra}}
* {{웹 인용|url=https://groupprops.subwiki.org/wiki/Ideal_of_a_Lie_algebra | 제목=Ideal of a Lie algebra | 웹사이트=Groupprops | 언어=en}}
* {{웹 인용|url=https://groupprops.subwiki.org/wiki/Ideal_of_a_Lie_ring | 제목=Ideal of a Lie ring | 웹사이트=Groupprops | 언어=en}}

[[분류:리 대수]]