리 대수 반직접합 문서 원본 보기

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[[리 대수]] 이론에서, '''반직접합'''(半直接合, {{llang|en|semidirect sum}})은 두 리 대수의 [[직합]] 위에 정의되는 [[리 대수]] 구조이다. 이는 [[리 군]]의 [[반직접곱]]의 무한소 형태로 생각할 수 있다. 추상적으로, 리 대수의 범주는 [[아벨 범주]]를 이루지 못하므로, 직합이 아닌 반직접합이 존재한다.

== 정의 ==
다음과 같은 데이터가 주어졌다고 하자.
* [[가환환]] <math>K</math>
* <math>K</math> 위의 두 [[리 대수]] <math>\mathfrak n</math>, <math>\mathfrak h</math>
* [[리 대수 준동형]] <math>\psi\colon\mathfrak h\to\mathfrak{der}(\mathfrak n)</math>
** 여기서 <math>\mathfrak{der}(-)</math>는 [[미분 리 대수]]이다.
그렇다면, <math>K</math>-[[가군]] <math>\mathfrak n\oplus_K\mathfrak h</math> 위에 다음과 같은 리 대수 구조를 정의하자.
:<math>[h,n]=\psi(h)n\qquad\forall h\in\mathfrak h,\;n\in\mathfrak n</math>
:<math>[h,h']=[h,h']_{\mathfrak h}\qquad\forall h,h'\in\mathfrak h</math>
:<math>[n,n']=[n,n']_{\mathfrak n}\qquad\forall n,n'\in\mathfrak n</math>
이를 <math>\mathfrak n</math>과 <math>\mathfrak h</math>의 <math>\psi</math>에 대한 '''반직접합'''이라고 하며, <math>\mathfrak n\oplus_\psi\mathfrak h</math>로 표기한다. 만약 <math>\psi</math>가 [[상수 함수]] 0이라면, 이는 리 대수의 [[직합]]과 같다.

== 성질 ==
군의 [[반직접곱]]과 마찬가지로, 리 대수의 반직접합에 대하여 [[분할 완전열]]
:<math>0\to\mathfrak n\to\mathfrak n\oplus_\psi\mathfrak h\to\mathfrak h\to0</math>
이 존재한다. 즉, <math>\mathfrak n</math>은 <math>\mathfrak h\oplus_\psi\mathfrak n</math>의 [[리 대수 아이디얼]]을 이룬다.

반대로, 리 대수의 [[짧은 완전열]]
:<math>0 \to \mathfrak n \to \mathfrak g \,\overset\pi\to\, \mathfrak h\to0</math>
가 주어졌을 때, 만약 이 완전열이 오른쪽 분할 완전열이라면 (즉, <math>\pi\circ\sigma = \operatorname{id}_{\mathfrak h}</math>가 되는 [[리 대수 준동형]] <math>\sigma\colon \mathfrak h\to\mathfrak g</math>가 존재한다면), 이를 통해
:<math>\mathfrak g = \mathfrak n \oplus_\psi\mathfrak h</math>
로 표현할 수 있다.

=== 리 군과의 관계 ===
두 [[리 군]] <math>H</math>, <math>N</math>이 주어졌으며, <math>H</math>가 <math>N</math> 위에 [[매끄러운 함수|매끄럽게]] [[군의 작용|작용]]한다고 하자.
:<math>H \times N \to N</math>
이는 자연스럽게 [[리 대수 준동형]]
:<math>\psi\colon\mathfrak{lie}(H) \to \mathfrak{der}(\mathfrak{lie}(N))</math>
을 정의한다.

그렇다면, 이를 통해 [[반직접곱]] [[리 군]] <math>N \rtimes H</math>를 정의할 수 있다. 이 경우, 표준적으로 다음과 같은 리 대수 동형이 존재한다.
:<math>\mathfrak{lie}(H) \oplus_\psi \mathfrak{lie}(N) \cong \mathfrak{lie}(N \rtimes H)</math>
즉, [[반직접곱]]의 [[리 대수]]는 리 대수의 반직접합이다.

== 참고 문헌 ==
* {{저널 인용|doi=10.7151/dmgaa.1208|제목=A note on semidirect sum of Lie algebras|이름=Tadeusz|성=Ostrowski|url=http://www.discuss.wmie.uz.zgora.pl/php/discuss3.php?url=pdf&nIdA=24443|저널=Discussiones Mathematicae — General Algebra and Applications|권=33|날짜=2013|쪽=233–247|언어=en}}{{깨진 링크|url=http://www.discuss.wmie.uz.zgora.pl/php/discuss3.php?url=pdf&nIdA=24443 }}

== 외부 링크 ==
* {{nlab|id=semidirect product Lie algebra|title=Semidirect product Lie algebra}}

[[분류:리 대수]]