리 대수 근기 문서 원본 보기

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[[리 군론]]에서 '''리 대수 근기'''(Lie代數根基, {{llang|en|Lie algebra radical}})는 [[리 대수]]의 최대 [[가해 리 대수|가해]] 아이디얼이다.

== 정의 ==
[[가환환]] <math>K</math> 위의 [[리 대수]] <math>\mathfrak g</math>를 생각하자. 그렇다면, 그 '''아이디얼'''({{llang|en|ideal}})은 부분 리 대수 <math>\mathfrak h</math> 가운데 다음 조건을 만족시키는 것이다.
:<math>[\mathfrak g,\mathfrak h] \subseteq \mathfrak h</math>

만약 <math>\mathfrak g</math>의 아이디얼 가운데, [[가해 리 대수]]를 이루는 것들의 ([[부분 집합]] 관계에 대한) [[부분 순서 집합]]이 [[최대 원소]]를 갖는다면, 이를 <math>\mathfrak g</math>의 '''근기'''라고 하며,<ref name="Knapp">{{서적 인용|last=Knapp|first=Anthony W.|title=Lie groups beyond an introduction|edition= 2판|총서=Progress in Mathematics |권=140|publisher=Birkhäuser|place= Boston|날짜= 2002|isbn=0-8176-4259-5 | zbl=1075.22501|mr=1920389 |url=https://www.springer.com/birkhauser/mathematics/book/978-0-8176-4259-4|언어=en}}</ref>{{rp|32, §I.2}}
:<math>\operatorname{rad}(\mathcal g)</math>
로 표기한다.

== 성질 ==
=== 존재 ===
정의에 따라, 리 대수의 근기는 만약 존재한다면 유일하다.

만약 <math>\mathfrak g</math>가 <Math>K</math>-[[뇌터 가군]]일 경우, <math>\mathfrak g</math>의 근기가 존재한다.
<div class="mw-collapsible mw-collapsed toccolours">
'''증명:'''
<div class="mw-collapsible-content">
다음 두 조건을 증명하면, 모든 가해 아이디얼들의 합이 근기가 되므로, 근기가 (자명하게) 존재하게 된다.
* ㈎ <math>\mathfrak g</math>의 두 가해 아이디얼의 합은 가해 아이디얼이다.
* ㈏ <math>\mathfrak g</math>의 임의의 부분 가군들의 족 <math>\mathcal I</math>에 대하여, <math>\textstyle\sum\mathcal I=\sum\mathcal I'</math>가 되는 [[유한 집합]] <math>\mathcal I'\subseteq\mathcal I</math>가 존재한다.

'''㈎의 증명''':
<math>\mathfrak g</math>의 두 가해 아이디얼이 주어졌다고 하자.
:<math>\mathfrak a,\mathfrak b\subseteq\mathfrak g</math>
그렇다면, <math>\mathfrak a+\mathfrak b</math>는 역시 <math>\mathfrak g</math>의 아이디얼이다.

또한, [[가해 리 대수]]의 몫과, 가해 리 대수의 가해 리 대수에 대한 확대는 역시 [[가해 리 대수]]이다.
[[짧은 완전열]]
:<math>0\to\mathfrak a\to\mathfrak a+\mathfrak b \to \frac{\mathfrak a+\mathfrak b}{\mathfrak a}\cong \frac{\mathfrak b}{\mathfrak a\cap \mathfrak b}\to0</math>
에 의하여, <math>\mathfrak a+\mathfrak b</math>는 가해 [[리 대수]] <Math>\mathfrak b</math>의 몫 <math>\mathfrak b/(\mathfrak a\cap\mathfrak b)</math>의, 가해 리 대수 <math>\mathfrak a</math>에 대한 확대이므로, 역시 [[가해 리 대수]]이다.

'''㈏의 증명''':
<math>\mathfrak g</math>의 <math>K</math>-[[부분 가군]]들의 족
:<math>\mathcal I\subseteq\operatorname{Pow}(\mathfrak g)</math>
이 주어졌다고 하자. [[귀류법]]을 사용하여, 임의의 유한 부분 집합
:<math>\mathcal I'\subseteq\mathcal I</math>
:<math>|\mathcal I'|<\aleph_0</math>
에 대하여
:<math>\sum\mathcal I' \subsetneq \sum\mathcal I</math>
라고 가정하자.

그렇다면, [[선택 공리]]를 사용하여, <math>\mathcal I</math>의 원소들의 열 <math>\mathfrak a_0,\mathfrak a_1,\dotsc</math>을 다음과 같이 재귀적으로 고르자.
:임의의 <math>i\in\mathbb N</math>에 대하여, [[귀류법]] 가정에 따라 <math>\textstyle\sum_{j<i}\mathfrak a_j\subsetneq\sum\mathcal I</math>이므로, <math>\{\mathfrak b\in\mathcal I\colon \mathfrak b\not\subseteq\textstyle\sum_{j<i}\mathfrak a_j\}\ne\varnothing</math>이다. [[선택 공리]]를 사용하여, <math>\mathfrak a_i\in\{\mathfrak b\in\mathcal I\colon \mathfrak b\not\subseteq\textstyle\sum_{j<i}\mathfrak a_j\}</math>를 임의로 고른다.
그렇다면, 구성에 따라
:<math>0\subsetneq \mathfrak a_0 \subsetneq\mathfrak a_0 + \mathfrak a_1 \subsetneq\mathfrak a_0+\mathfrak a_1+\mathfrak a_2\subsetneq\dotsb</math>
이다. 이는 <math>\mathfrak g</math>가 [[뇌터 가군]]이라는 가정에 모순된다.
</div></div>
특히, 체 위의 유한 차원 [[리 대수]]는 항상 근기를 갖는다.<ref name="Knapp"/>{{rp|32, Proposition 1.12}}

=== 관련 개념과의 관계 ===
체 <math>K</math> 위의 유한 차원 [[리 대수]] <math>\mathfrak g</math>에 대하여 다음 두 조건이 서로 [[동치]]이다.
* <math>\mathfrak g</math>의 근기가 0이다.
* <math>\mathfrak g</math>는 [[반단순 리 대수]]이다.

체 <math>K</math> 위의 유한 차원 [[리 대수]]에 대하여, 만약
:<math>\operatorname{rad}\mathfrak g = \operatorname Z(\mathfrak g)</math>
라면, <math>\mathfrak g</math>를 '''[[가약 리 대수]]'''(可約Lie代數, {{llang|en|reductive Lie algebra}})라고 한다.

== 예 ==
[[가환환]] <math>K</math> 위의 [[가해 리 대수]] <math>\mathfrak g</math>의 근기는 (항상 존재하며) <math>\mathfrak g</math> 전체이다.

== 각주 ==
{{각주}}

{{전거 통제}}

[[분류:리 대수]]