리 대수 값 미분 형식 문서 원본 보기

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[[기하학]]에서 '''리 대수 값 미분 형식'''(Lie代數값微分形式, {{llang|en|Lie-algebra-valued differential form}})은 [[리 대수]]인 자명한 [[벡터 다발]]의 [[벡터 값 미분 형식|값]]의 [[미분 형식]]이다. 이 경우, 일반 [[벡터 값 미분 형식]]과 달리, 두 미분 형식에 대한, [[쐐기곱]]과 [[리 괄호]]를 합성한 연산을 취할 수 있다.

== 정의 ==
다음이 주어졌다고 하자.
* [[매끄러운 다양체]] <math>M</math>
* 유한 차원 [[실수 리 대수]] <math>\mathfrak g</math>
그렇다면, 자명한 [[벡터 다발]] <math>M\times\mathfrak g\twoheadrightarrow M</math>을 생각할 수 있다. 이 벡터 다발의 [[벡터 값 미분 형식|값]]을 갖는 미분 형식
:<math>\alpha\in\Gamma\left(M;\mathfrak g\otimes_{\mathbb R}\bigvee^\bullet\mathrm T^*M\right)</math>
을 '''<math>\mathfrak g</math>값 미분 형식'''이라고 한다.

=== [[L∞-대수]] 값의 1차 미분 형식 ===
1차 미분 형식의 경우, 다음과 같이 [[L∞-대수]]에 대하여 일반화될 수 있다.

구체적으로, 다음이 주어졌다고 하자.
* [[매끄러운 다양체]] <math>M</math>
* 유한형 (즉, 각 차수별 차원이 유한한) 실수 [[L∞-대수]] <math>\mathfrak g</math>. 이는 물론 [[코쥘 쌍대성]]에 따라 [[가환 미분 등급 대수]] <math>\operatorname{CE}(\mathfrak g)</math>로 여겨질 수 있다.

그렇다면, 다음을 구성할 수 있다.
* <math>M</math> 위의 [[미분 형식]]들의 공간은 [[가환 미분 등급 대수]] <math>\Omega(M)</math>를 이룬다.
* <math>\mathfrak g</math>의 [[베유 대수]] <math>\operatorname W(\mathfrak g)</math> 역시 [[가환 미분 등급 대수]]를 이룬다.
그렇다면, <math>M</math> 위의 '''<math>\mathfrak g</math> 값의 미분 형식'''은 [[미분 등급 대수]]의 [[준동형]]
:<math>\alpha \colon \operatorname W(\mathfrak g) \to \Omega(M)</math>
이다.

만약 <math>\mathfrak g</math>가 [[리 대수]]일 경우 (즉, <math>\mathfrak g</math>의 모든 등급이 0차일 경우, 또는 마찬가지로 <math>\operatorname{CE}(\mathfrak g)</math>의 생성원의 모든 등급이 1차일 경우), 이 정의는 <math>\mathfrak g</math>값의 1차 미분 형식의 정의로 귀결된다.
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'''설명:'''
<div class="mw-collapsible-content">

구체적으로, [[리 대수]] <math>\mathfrak g</math>의 [[기저 (선형대수학)|기저]]가 <math>(t_i)_{i\in I}</math>라고 하고, 그 [[베유 대수]] <math>(\operatorname W(\mathfrak g),\mathrm d)</math>의 등급 1의 생성원이 <math>(t^i)_{i\in I}</math>, 등급 2의 생성원이 <math>(\delta t^i)_{i\in I}</math>라고 하자. 즉, 다음과 같다.
:<math>\delta \mathrm d_{\operatorname{CE}(\mathfrak g)} + \mathrm d_{\operatorname{CE}(\mathfrak g)} \delta = 0</math>
:<math>\delta^2 = 0</math>
:<math>\mathrm d_{\operatorname{CE}}t^i(t_j,t_k) = -\frac12 t^i([t_j,t_k])</math>
그렇다면, 준동형
:<math>\phi\colon\operatorname W(\mathfrak g)\to\Omega(M)</math>
은 다음과 같은 데이터로 주어진다.
* <math>\mathfrak g</math> 값의 1차 미분 형식 <math>\textstyle\sum_{i\in I}t_i\phi(t^i) \in \Omega^1(M;\mathfrak g)</math>
* <math>\mathfrak g</math> 값의 2차 미분 형식 <math>\textstyle\sum_{i\in I}t_i\phi(\delta t^i) \in \Omega^2(M;\mathfrak g)</math>
그런데, 후자는 전자로서 다음과 같이 결정된다.
:<math>
\begin{aligned}
\mathrm d\sum_{i\in I}t_i\phi(t^i)& = \mathrm d\sum_{i\in I}t_i\left(\phi(\delta t^i)+\phi(\mathrm d_{\operatorname{CE}}t^i)\right) \\
&= \sum_{i\in I}t_i\phi(\delta t^i) -
\frac12\sum_{j,k\in I}[t_j,t_k]\phi(t^j)\wedge\phi(t^k) \\
&=\sum_{i\in I}t_i\phi(\delta t^i)
- \left[
\sum_{i\in I}t_i\phi(t^i)
\wedge
\sum_{i\in I}t_i\phi(t^i)
\right]
\end{aligned}
</math>
즉, 이는 임의의 <math>\mathfrak g</math> 값의 1차 미분 형식 <math>\textstyle\sum_{i\in I}t_i\phi(t^i)</math>만으로 완전히 결정된다.
</div></div>

== 연산 ==
=== 리 괄호 ===
[[매끄러운 다양체]] <math>M</math> 위의, [[실수 리 대수]] <math>\mathfrak g</math> 값의, <math>m</math>차 미분 형식 <math>\alpha</math>와 <math>n</math>차 미분 형식 <math>\beta</math>가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 그 '''리 괄호'''는 다음과 같은, <math>\mathfrak g</math> 값의 <math>m+n</math>차 미분 형식이다.
:<math>[\alpha\wedge\beta](v_1,\dotsc,v_{m+n}) = \frac1{(m+n)!}\sum_{\sigma\in\operatorname{Sym}(m+n)}(-)^\sigma
[\alpha(v_1,\dotsc,v_m),\beta(v_{m+1},\dotsc,v_{m+n})]
\qquad\forall x\in M,\;v_1,\dotsc,v_{m+n}\in\mathrm T_xM</math>

이에 따라, <math>M</math> 위의 <math>\mathfrak g</math> 값의 미분 형식들은 실수 등급 대수를 이룬다.

=== 준동형 ===
임의의 [[실수 리 대수]]의 [[준동형]] <math>\phi\colon\mathfrak g\to\mathfrak h</math> 및 <math>\mathfrak g</math>값의 <math>m</math>차 미분 형식 <math>\alpha</math>가 주어졌을 때,
:<math>\phi(\alpha)(v_1,\dotsc,v_m) = \phi(\alpha(v_1,\dotsc,v_m))\qquad\forall x\in M,\;v_1,\dotsc,v_m \in \mathrm T_xM</math>
로 정의하면, <math>\phi(\alpha)</math>는 <math>M</math> 위의 <math>\mathfrak h</math> 값의 <math>m</math>차 미분 형식을 이룬다.

== 같이 보기 ==
* [[마우러-카르탕 형식]]

== 외부 링크 ==
* {{nlab|id=groupoid of Lie-algebra valued forms|title=Groupoid of Lie-algebra valued forms}}
* {{nlab|id=infinity-Lie algebroid-valued differential form|title=Infinity-Lie algebroid-valued differential form}}

{{전거 통제}}

[[분류:리 대수]]
[[분류:미분 형식]]