리우빌 장론 문서 원본 보기

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[[양자장론]]에서 '''리우빌 장론'''(Liouville場論, {{llang|en|Liouville field theory}})은 비임계 [[끈 이론]]의 [[세계면]] 이론으로 등장하는 [[2차원 등각 장론]]이다.<ref name="Nakayama">{{저널 인용|doi=10.1142/S0217751X04019500|arxiv=hep-th/0402009|title=Liouville field theory: a decade after the revolution|날짜=2004|last=Nakayama|first=Yu|journal=International Journal of Modern Physics A|volume=19|issue=17–18|pages=2771–2930|bibcode = 2004IJMPA..19.2771N |issn=0217-751X |언어=en}}</ref><ref>{{저널 인용|doi= 10.1088/0264-9381/18/23/201|arxiv=hep-th/0104158|title= Liouville theory revisited|날짜= 2001|last= Teschner|first= J|journal= Classical and Quantum Gravity|volume= 18|issue= 23|pages= R153|bibcode = 2001CQGra..18R.153T |언어=en}}</ref>
무리 등각 장론의 대표적인 예이며, 1차장들의 스펙트럼이 연속적이다. 모든 [[상관 함수 (양자장론)|상관 함수]]들이 알려져 있다.

== 역사와 어원 ==
이 이론의 [[운동 방정식]]이 [[조제프 리우빌]]이 [[리만 곡면]]의 [[균일화 정리]]를 증명할 때 사용했던 2차 비선형 [[편미분 방정식]]과 유사해 이러한 이름이 붙었다.<ref>{{서적 인용|성=Lützen|이름=J.|제목=Joseph Liouville, 1809–1882: Master of pure and applied mathematics|url=https://archive.org/details/josephliouville10000lutz|출판사=Springer|날짜=1990|isbn=0387971807|언어=en}}</ref>

== 정의 ==
'''리우빌 장론'''은 스칼라장 <math>\phi</math>와 실수 매개 변수 <math>b\in\mathbb R</math>를 가지는 [[2차원 등각 장론]]이며, 그 [[작용 (물리학)|작용]]은 다음과 같다.
:<math>S = \frac{1}{4\pi } \int_\Sigma d^2x\sqrt g\,(g^{\mu \nu} \partial _\mu \phi \partial _{\nu} \phi + (b+b^{-1}) R[g]\phi + 4\pi e^{2b\phi })</math>
여기서 <math>g_{\mu\nu}</math>는 2차원 곡면 <math>\Sigma</math>의 [[계량 텐서]]이며, <math>R[g]</math>는 그 [[스칼라 곡률]]이다. 스칼라장 <math>\phi</math>를 '''리우빌 장'''({{llang|en|Liouville field}})이라고 한다.

== 성질 ==
=== 운동 방정식 ===
리우빌 장의 고전적 운동 방정식은 다음과 같다.
:<math>\Delta \phi(x) = \frac {1}{2} (b+b^{-1}) R(x) + 4\pi b e^{2b\phi (x)}</math>
여기서
:<math>\Delta = g^{-1/2} \partial _{\mu} (g^{1/2} g^{\mu \nu} \partial_{\nu} ) </math>
는 굽은 공간의 [[라플라스-벨트라미 연산자]]이다. 평탄한 공간에서는 이는 다음과 같다.
:<math>
\left(\frac{\partial ^2}{\partial  x^2} + \frac{\partial ^2}{\partial y^2} \right) \phi (x,y) = 4\pi b e^{2b \phi (x,y)}
</math>

=== 등각 대칭 ===
리우빌 장의 [[비라소로 대수]]의 중심 전하({{llang|en|central charge}})는 다음과 같다.<ref name="Nakayama"/>{{rp|(2.11)}}
:<math>c=1+6(b+1/b)^2</math>
보통
:<math>Q=b+1/b</math>
로 정의한다.

=== 스펙트럼 ===
리우빌 이론의 (규격화 가능) 상태들은 연산자-상태 대응에 따라서 다음과 같은 꼴의 국소 연산자에 대응한다.<ref name="Nakayama"/>{{rp|13}}
:<math>\exp((Q+2ip)\phi)</math>
여기서 <math>p\in\mathbb R</math>이다. 이러한 상태의 등각 차원은
:<math>\Delta=Q^2/4+p^2</math>
이다. 스펙트럼이 연속적이므로, 이 경우 [[카디 엔트로피 공식]]이 적용되지 않는다.<ref>{{저널 인용|제목=Large ''N'' Field Theories, String Theory and Gravity|저자=Ofer Aharony, Steven S. Gubser, [[후안 말다세나|Juan Maldacena]], Hirosi Ooguri, Yaron Oz|doi=10.1016/S0370-1573(99)00083-6|저널=Physics Reports|권=323|호=3–4|월=1|연도=2000|쪽=183–386|arxiv=hep-th/9905111|bibcode=1999PhR...323..183A|issn=0370-1573}}</ref>{{rp|§5.5}}

또한, 일반적으로
:<math>\exp(2\alpha\phi)</math>
:<math>\operatorname{Re}\alpha\le Q/2</math>
의 형태의 연산자가 존재하지만, <math>\operatorname{Re}\alpha\ne Q/2</math>라면 이는 규격화 가능한 상태에 대응하지 않는다.<ref name="Nakayama"/> 이 부등식을 '''자이베르그 한계'''({{llang|en|Seiberg bound}})라고 한다.<ref name="Seiberg">{{저널 인용|제목=Notes on quantum Liouville theory and quantum gravity|이름=Nathan|성=Seiberg|저자링크=나탄 자이베르그|doi= 10.1143/PTPS.102.319|저널=Progress in Theoretical Physics Supplements|날짜=1990|권=102|쪽=319-349|bibcode=1990PThPS.102..319S|언어=en}}</ref>

=== 3점 상관 함수 계수 ===
2차원 등각 장론은 1차장의 스펙트럼과 3점 상관 함수의 계수에 따라서 완전히 결정된다. 리우빌 이론의 경우 3점 계수들이 모두 알려져 있으며, 그 공식을 '''DOZZ 공식'''({{llang|en|DOZZ formula}})라고 한다. 이는 하랄트 도른({{llang|de|Harald Dorn}}), 한스외르크 오토({{llang|de|Hans-Jörg Otto}})<ref>{{저널 인용|이름=H.|성=Dorn|공저자=H.J. Otto|제목=Two and three point functions in Liouville theory|저널=Nucl. Phys. B|권=429|날짜=1994|쪽=375-388|arxiv=hep-th/9403141|언어=en}}</ref>, [[알렉산드르 자몰롯치코프]], 알렉세이 자몰롯치코프({{llang|ru|Алексей Борисович Замолодчиков}})<ref>{{저널 인용|제목=Structure Constants and Conformal Bootstrap in Liouville Field Theory|ㅁarxiv=hep-th/9506136|이름=A. B.|성=Zamolodchikov|저자링크=알렉산드르 자몰롯치코프|공저자=Al. B. Zamolodchikov|doi=10.1016/0550-3213(96)00351-3|arxiv=hep-th/9506136|bibcode=1996NuPhB.477..577Z|언어=en}}</ref> 가 발견하였다.

== 응용 ==
=== 끈 이론 ===
[[끈 이론]]에서, 리우빌 장론은 10차원 미만의 차원에서 존재하는, 소위 '''비임계 끈 이론'''({{llang|en|non-critical string theory}})들의 [[세계면]] [[등각 장론]]의 하나로 등장한다.<ref>{{저널 인용|doi=10.1016/0370-2693(81)90743-7|title=Quantum geometry of bosonic strings|날짜=1981|last=Polyakov|first=A.M.|저자링크=알렉산드르 마르코비치 폴랴코프|journal=Physics Letters B|volume=103|issue=3|pages=207|bibcode = 1981PhLB..103..207P|언어=en }}</ref>

끈 이론에서, <math>d</math>차원 시공간에서 움직이는 비임계 끈의 작용은
:<math>c=26-d</math>
:<math>Q=\sqrt{(25-d)/6}</math>
인 리우빌 이론이다.<ref name="Nakayama"/>{{rp|(2.12)}}

=== 2차원 양자 중력 ===
리우빌 이론은 또한 (만약 [[계량 텐서]] <math>g</math> 또한 동역학적 장으로 취급한다면) 2차원 [[양자 중력]]의 장난감 모형이 된다. 이 경우, 이 이론을 '''리우빌 중력'''({{llang|en|Liouville gravity}})이라고 한다.

== 각주 ==
{{각주}}
* {{저널 인용|제목=Classical and quantal Liouville field theory|저널=Physical Review D|권=26|쪽=3517|날짜=1982-12-15|이름=E.|성=D’Hoker|공저자=R. Jackiw|doi=10.1103/PhysRevD.26.3517 |bibcode=1982PhRvD..26.3517D|언어=en}}

{{전거 통제}}

[[분류:등각 장론]]
[[분류:끈 이론]]
[[분류:양자장론]]