리우빌 수 문서 원본 보기

{{위키데이터 속성 추적}}
[[수론]]에서 '''리우빌 수'''({{llang|en|Liouville number}})는 충분히 빠르게 수렴하는 [[유리수]] 수열로 근사할 수 있는 [[초월수]]이다.

== 정의 ==
=== 무리성 측도 ===
[[무리수]] <math>x\in\mathbb R\setminus\mathbb Q</math>의 '''무리성 측도'''({{llang|en|irrationality measure}})는 다음과 같다.
:<math>\mu(x)=\inf\left\{n\in\mathbb R^+\colon\left|\left\{(p,q)\in\mathbb Z^2\colon\left|x-\frac pq\right|<\frac 1{q^n}\right\}\right|<\aleph_0\right\}</math>

=== 리우빌 수 ===
[[무리수]] <math>x\in\mathbb R\setminus\mathbb Q</math>에 대하여, 다음 두 조건이 서로 [[동치]]이며, 이를 만족시키는 <math>x</math>를 '''리우빌 수'''라고 한다.
* <math>\mu(x)=\infty</math>. 즉, 임의의 양의 실수 <math>n\in\mathbb R^+</math>에 대하여, <math>|x-p/q|<1/q^n</math>인 두 정수 <math>p,q\in\mathbb Z</math>가 무한히 많이 존재한다.
* 임의의 양의 정수 <math>n\in\mathbb Z^+</math>에 대하여, <math>|x-p/q|<1/q^n</math>이며 <math>q\ge 2</math>인 두 정수 <math>p,q\in\mathbb Z</math>가 존재한다.

== 성질 ==
=== 초월성 ===
임의의 무리수 <math>x\in\mathbb R\setminus\mathbb Q</math>에 대하여, <math>\mu(x)\ge 2</math>가 성립한다. 만약 <math>x</math>가 [[대수적 수|대수적]] 무리수(즉, 2차 이상의 대수적 실수)일 경우, <math>\mu(x)=2</math>이다. 특히, 모든 리우빌 수는 [[초월수]]이다. 그러나 그 역은 성립하지 않는다. 즉, [[초월수]]는 리우빌 수가 아닐 수 있으며, 무리성 측도가 2일 수도 있다.

모든 리우빌 수가 [[초월수]]임은 '''리우빌 정리'''({{llang|en|Liouville’s theorem}})를 사용하여 보일 수 있다. 리우빌 정리에 따르면, 임의의 <math>n\ge 2</math>차 대수적 무리수 <math>x</math>에 대하여, 다음 조건을 만족시키는 양의 정수 <math>M\in\mathbb Z^+</math>가 존재한다.
* 임의의 정수 <math>p\in\mathbb Z</math> 및 양의 정수 <math>q\in\mathbb Z^+</math>에 대하여, <math>\left|x-p/q\right|>1/(Mq^n)</math>
{{증명}}
정리의 조건에 따라 <math>f(x)=0</math>인 <math>n</math>차 유리수 계수 [[기약 다항식]] <math>f\in\mathbb Q[t]</math>이 존재한다.
:<math>M\ge\sup_{y\in[x-1,x+1]}|f'(y)|</math>
인 양의 정수 <math>M\in\mathbb Z^+</math>를 취하자. 임의의 정수 <math>p\in\mathbb Z</math> 및 양의 정수 <math>q\in\mathbb Z^+</math>가 주어졌다고 하자. 만약 <math>|x-p/q|>1</math>이라면,
:<math>\left|x-\frac pq\right|>1\ge\frac 1{Mq^n}</math>
이다. 만약 <math>|x-p/q|\le 1</math>이라면, 부등호는 <math>f</math>는 유리근을 갖지 않으므로 <math>q^n|f(p/q)|</math>는 양의 정수이다. [[평균값 정리]]에 따라
:<math>Mq^n\left|x-\frac pq\right| \ge q^n\left|f\left(\frac pq\right)-f(x)\right| = q^n\left|f\left(\frac pq\right)\right| \ge 1</math>
이다.

이제, [[귀류법]]을 사용하여, 리우빌 수 <math>x</math>가 <math>n\ge 2</math>차 대수적 무리수라고 하자.
:<math>2^{k-n}>M</math>
인 양의 정수 <math>k\in\mathbb Z^+</math>를 취하자. 리우빌 수의 정의에 따라, 다음을 만족시키는 두 정수 <math>p,q\in\mathbb Z</math>가 존재한다.
:<math>\frac 1{q^k}>\left|x-\frac pq\right|>\frac 1{Mq^n}</math>
:<math>q\ge 2</math>
따라서
:<math>M>q^{k-n}\ge 2^{k-n}>M</math>
이며, 이는 모순이다.
{{증명 끝}}

=== 집합론적 성질 ===
리우빌 수의 [[집합의 크기]]는 실수와 같은 <math>2^{\aleph_0}</math>이다.

=== 위상수학적 성질 ===
리우빌 수의 집합은 [[제1 범주 집합]]의 여집합이며, ([[실수선]] <math>\mathbb R</math>는 [[베르 공간]]이므로) 특히 이는 [[조밀 집합]]이다.

=== 측도론적 성질 ===
리우빌 수의 집합의 [[르베그 측도]]는 0이며, 보다 일반적으로 임의의 차원의 [[하우스도르프 측도]]는 0이다.

== 예 ==
다음은 일부 [[무리수]]의 무리성 측도 또는 그 상계들이다.
:<math>\mu(e)=2</math>
:<math>\mu(\pi)\le 7.103205\cdots</math><ref>{{저널 인용|last1=Zeilberger|first1=Doron|last2=Zudilin|first2=Wadim|date=2020-01-07|title=The irrationality measure of π is at most 7.103205334137…|journal=Moscow Journal of Combinatorics and Number Theory|volume=9|issue=4|pages=407–419|doi=10.2140/moscow.2020.9.407|arxiv=1912.06345|s2cid=209370638}}</ref>
:<math>\mu(\pi^2)\le 5.441243</math>
:<math>\mu(\pi/\sqrt 3)\le 4.230464\cdots</math>
:<math>\mu(\zeta(2))=\mu(\pi^2/6)\le 5.09541178\cdots</math>
:<math>\mu(\zeta(3))\le 5.513891</math>
:<math>\mu(\ln 2)\le 3.8913998</math>
:<math>\mu(\ln 3)\le 5.125</math>
:<math>\mu(\arctan(1/3))\le 6.096755\cdots</math>
여기서 <math>e</math>는 [[자연 로그의 밑]], <math>\pi</math>는 [[원주율]], <math>\zeta</math>는 [[리만 제타 함수]], <math>\arctan</math>는 [[아크탄젠트]], <math>\ln</math>은 [[자연 로그]]이다.

=== 리우빌 상수 ===
'''리우빌 상수'''({{llang|en|Liouville’s constant}})
:<math>c=\sum_{n=1}^\infty10^{-n!}=0.1100010000000000000000010\dots</math> {{OEIS|A012245}}
는 리우빌 수이다.<ref>CRC Concise Encyclopedia of Mathematics, Second Edition (공)저: Eric W. Weisstein (P1782L30)</ref><ref>What Is Mathematics? An Elementary Approach to Ideas and Methods, Second Edition  the late Richard Courant and Herbert Robbins Revised by Ian Stewart  (Liouville number)</ref> 보다 일반적으로, 임의의 2 이상의 정수 <math>b\ge 2</math> 및 <math>a_1,a_2,\dots\in\{0,1,\dots,b-1\}</math>에 대하여, 만약 <math>0=a_n=a_{n+1}=\cdots</math>인 <math>n\in\mathbb Z^+</math>가 존재하지 않는다면,
:<math>\sum_{n=1}^\infty a_nb^{-n!}</math>
은 리우빌 수이다.
{{증명}}
[[순환 소수]]가 아니므로 <math>c</math>는 [[무리수]]이다.

임의의 <math>n\in\mathbb Z^+</math>에 대하여,
:<math>q=10^{n!}</math>
:<math>p=10^{n!}\sum_{k=1}^n10^{-k!}</math>
를 취하면
:<math>\left|c-\frac pq\right|=\sum_{k=n+1}^\infty 10^{-k!}<\frac 1{q^n}</math>
이다. 즉, <math>c</math>는 리우빌 수이다.
{{증명 끝}}

== 역사 ==
[[조제프 리우빌]]의 이름을 땄다.

== 같이 보기 ==
* [[디오판토스 근사]]
== 각주 ==
{{각주}}

== 참고 문헌 ==
* {{서적 인용
|성=Oxtoby
|이름=John C.
|제목=Measure and Category. A Survey of the Analogies between Topological and Measure Spaces
|언어=en
|판=2
|총서=Graduate Texts in Mathematics
|권=2
|출판사=Springer
|위치=New York, NY
|날짜=1980
|isbn=978-1-4684-9341-2
|issn=0072-5285
|doi=10.1007/978-1-4684-9339-9
|mr=0584443
|zbl=0435.28011
}}
* {{저널 인용
|성1=Beanland
|이름1=Kevin
|성2=Roberts
|이름2=James W.
|성3=Stevenson
|이름3=Craig
|제목=Modifications of Thomae's Function and Differentiability
|언어=en
|저널=The American Mathematical Monthly
|권=116
|호=6
|쪽=531–535
|날짜=2009
|issn=0002-9890
|jstor=40391145
}}

== 외부 링크 ==
* {{수학노트|제목=리우빌 수}}
* {{eom|제목=Liouville number}}
* {{매스월드|id=LiouvilleNumber|제목=Liouville number}}
* {{매스월드|id=LiouvillesConstant|제목=Liouville’s constant}}
* {{proofwiki|id=Liouville's Theorem (Number Theory)|제목=Liouville’s theorem (number theory)}}
* {{proofwiki|id=Liouville's Constant is Transcendental|제목=Liouville’s constant is transcendental}}

[[분류:초월수]]
[[분류:수론]]
[[분류:디오판토스 근사]]