리우빌 미분 형식 문서 원본 보기

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[[미분기하학]]에서, '''리우빌 미분 형식'''(Liouville微分形式, {{llang|en|Liouville differential form}})은 [[매끄러운 다양체]]의 [[공변접다발]](의 외대수) 위에 정의되는 표준적인 [[미분 형식]]이다. 그 [[외미분]]은 [[심플렉틱 다양체]](또는 [[멀티심플렉틱 다양체]])의 구조를 정의한다.

== 정의 ==
다음이 주어졌다고 하자.
* [[매끄러운 다양체]] <math>M</math>
* [[자연수]] <math>k\in\mathbb N</math>
그렇다면, <math>M</math>의 [[공변접다발]] <math>\mathrm T^*M</math>의 <math>k</math>차 올별 [[외대수]]
:<math>E = \bigwedge^k\mathrm TM</math>
를 생각하자. 그 국소 좌표는
:<math>(x,p) \colon x\in M,\;p\in E_x = \bigwedge^k\mathrm T^*_xM</math>
의 꼴이다. 이 경우 동형 사상
:<math>\mathrm T_{(x,p)}E \cong \mathrm T_xM \oplus E_x</math>
및
:<math>\bigwedge^k\mathrm T_{(x,p)}E \cong \bigwedge^k(E_x\oplus\mathrm T_xM) \cong \bigoplus_{i=0}^k\bigwedge^{k-i}E_x \otimes \bigwedge^i \mathrm T_xM 
= \bigwedge^k \mathrm T_xM \oplus E_x \otimes \bigwedge^{k-1} \mathrm T_xM \oplus \dotsb \oplus \bigwedge^kE_x</math>
에 의하여, 사영 사상
:<math>\pi\colon \bigwedge^k\mathrm T_{(x,p)}E \twoheadrightarrow \bigwedge^k \mathrm T_xM</math>
이 존재한다. 그렇다면, 임의의 점 <math>(x,p)\in M</math>에 대하여
:<math>\theta|_{(x,p)} \colon \bigwedge^k\mathrm T_xM \to \mathbb R</math>
:<math>\theta|_{(x,p)} \colon w \mapsto p(\pi(w)) \qquad\left(x \in M,\;p\in \bigwedge^k\mathrm T^*_xM,\;w\in\bigwedge^k\mathrm T_xE\right)</math>
를 정의할 수 있다. 이는 <math>E</math> 위의 <math>k</math>차 [[미분 형식]]
:<math>\theta \in \Omega^k(E)</math>
를 정의한다. 이를 <math>E</math> 위의 '''리우빌 미분 형식'''이라고 한다.

=== 국소 좌표를 통한 정의 ===
위 정의는 국소 좌표를 사용하여 간단히 적을 수 있다. <math>x\in M</math> 근처의 국소 좌표계 <math>x^i</math>를 생각하자. 이 경우 <math>E</math>의 국소 좌표는
:<math>(x^i, p_{j_1j_2\dotso j_k})</math>
의 꼴이다. 이 경우
:<math>\theta = \frac1{k!} p_{i_1i_2\dotso i_k} \mathrm dx^{i_1} \wedge \mathrm dx^{i_2} \wedge \dotsb \wedge \mathrm dx^{i_k}</math>
이다.

== 성질 ==
매끄러운 다양체 <math>M</math>에 대하여, <math>E = \textstyle\bigwedge^k \mathrm T^*M</math> 위의 리우빌 미분 형식 <math>\theta\in\Omega^k(E)</math>가 주어졌을 때,
:<math>\mathrm d\theta \in\Omega^{k+1}(E)</math>
는 <math>E</math> 위의 <math>k</math>차 [[멀티심플렉틱 다양체]] 구조를 이룬다. 특히, <math>k=1</math>일 때, [[공변접다발]]의 전체 공간 <Math>E = \mathrm T^*M</math>은 항상 표준적으로 [[심플렉틱 다양체]]를 이룬다.

== 예 ==
<math>k = 0</math>일 때, 0차 리우빌 미분 형식은 <math>\textstyle\bigwedge^0 \mathrm T^*M = M \times \mathbb R</math> 위의 0차 미분 형식 ([[매끄러운 함수]])
:<math>\theta \in \mathcal C^\infty(M \times \mathbb R, \mathbb R)</math>
:<math>\theta \colon (x,t) \mapsto t</math>
이다.

<math>k > \dim M</math>일 때, <math>\textstyle\bigwedge^k\mathrm T^*M = M</math>이므로, 이 경우 <math>k</math>차 리우빌 미분 형식은 0이다.

<math>k = \dim M</math>일 때, <math>\textstyle\bigwedge^k\mathrm T^*M</math>은 [[선다발]]이다. <math>M</math>이 [[가향 다양체]]일 때, 임의의 [[부피 형식]] <math>\omega</math>를 고르면, 이는 자명한 선다발로 여길 수 있다. 그렇다면
:<math>\theta \in \Omega^{\dim M}(M\times\mathbb R)</math>
:<math>\theta_{(x,t)} = t\omega|_x</math>
이다.

== 역사 ==
[[조제프 리우빌]]의 이름을 땄다.

== 외부 링크 ==
* {{nlab|id=Liouville-Poincaré 1-form}}

[[분류:미분기하학]]
[[분류:심플렉틱 기하학]]
[[분류:해밀턴 역학]]
[[분류:라그랑주 역학]]