리만 재배열 정리 문서 원본 보기

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[[실해석학]]에서 '''리만 재배열 정리'''(-再配列定理, {{llang|en|Riemann series theorem, Riemann rearrangement theorem}})는 [[실수]]항의 [[조건 수렴]] 급수의 항의 순서를 적절히 변경하여 임의의 실수 또는 음과 양의 [[무한대]]로 [[수렴]]하도록 만들 수 있다는 정리이다. 이 정리는 유한 개의 실수의 덧셈에 대한 [[교환 법칙]]이 무한 개의 실수에 대하여 성립하지 않는다는 것보다 더 많은 내용을 담는다.

== 정의 ==
[[실수]]항 급수
:<math>\sum_{n=0}^\infty x_n\qquad(x_n\in\mathbb R)</math>
가 [[조건 수렴]]한다고 하자. '''리만 재배열 정리'''에 따르면, 임의의 [[확장된 실수]] <math>s\in\mathbb R\cup\{-\infty,\infty\}</math>에 대하여, 다음을 만족시키는 [[순열]] <math>\sigma\colon\mathbb N\to\mathbb N</math>이 존재한다.<ref name="Kadets">{{서적 인용
|성1=Kadets
|이름1=Mikhail I.
|성2=Kadets
|이름2=Vladimir M.
|제목=Series in Banach Spaces. Conditional and Unconditional Convergence
|언어=en
|총서=Operator Theory Advances and Applications
|권=94
|출판사=Birkhäuser
|위치=Basel
|날짜=1997
|isbn=978-3-0348-9942-0
|doi=10.1007/978-3-0348-9196-7
|zbl=0876.46009
}}</ref>{{rp|6, §1.1, Theorem 1.1.3}}<ref name="Tao">{{서적 인용
|성1=Tao
|이름1=Terence
|제목=Analysis I
|언어=en
|판=3
|총서=Texts and Readings in Mathematics
|권=37
|출판사=Springer
|위치=Singapore
|날짜=2016
|isbn=978-981-10-1789-6
|issn=2366-8725
|doi=10.1007/978-981-10-1789-6
|lccn=2016940817
}}</ref>{{rp|193, §8.2, Theorem 8.2.8}}
:<math>\sum_{n=0}^\infty x_{\sigma(n)}=s</math>

== 증명 ==
자연수(음이 아닌 정수)의 집합 <math>\mathbb N</math>을 다음과 같이 [[집합의 분할|분할]]하자.
:<math>\mathbb N=\{m_0,m_1,m_2,\dots\}\cup\{n_0,n_1,n_2,\dots\}</math>
:<math>x_{m_k}\ge 0\qquad\forall k</math>
:<math>x_{n_k}<0\qquad\forall k</math>
그렇다면,
:<math>\sum_{k=0}^\infty x_{m_k}=\infty</math>
:<math>\sum_{k=0}^\infty x_{n_k}=-\infty</math>
임을 보일 수 있다. (만약 두 급수가 모두 실수로 수렴한다면, <math>\textstyle\sum_{n=0}^\infty x_n</math>은 [[절대 수렴]]하므로 모순이다. 만약 두 급수가 하나는 무한대로 발산하고 하나는 실수로 수렴한다면, <math>\textstyle\sum_{n=0}^\infty x_n</math>은 무한대로 발산하므로 모순이다.) 특히, <math>\{m_0,m_1,\dots\}</math>와 <math>\{n_0,n_1,\dots\}</math>는 모두 [[무한 집합]]이다.

이제, 급수가 <math>s</math>로 수렴하도록 항을 재배열하는 방법을 찾자. 편의상 <math>s\ge 0</math>이라고 하자. 우선
:<math>\sum_{k=0}^{i_0-1}x_{m_k}\le s<\sum_{k=0}^{i_0}x_{m_k}</math>
인 자연수 <math>i_0\in\mathbb N</math>를 취할 수 있다. 이 경우
:<math>s<\sum_{k=0}^{i_0}x_{m_k}\le s+x_{m_{i_0}}</math>
이다. 이제
:<math>\sum_{k=0}^{i_0}x_{m_k}+\sum_{k=0}^{j_0}x_{n_k}< s\le\sum_{k=0}^{i_0}x_{m_k}+\sum_{k=0}^{j_0-1}x_{n_k}</math>
인 자연수 <math>j_0\in\mathbb N</math>을 취하자. 그렇다면 마찬가지로
:<math>s+x_{n_{j_0}}\le\sum_{k=0}^{i_0}x_{m_k}+\sum_{k=0}^{j_0}x_{n_k}<s</math>
가 성립한다. 위와 같은 과정을 반복하면 다음을 만족시키는 자연수열 <math>(i_r)_{r=0}^\infty</math> 및 <math>(j_r)_{r=0}^\infty</math>을 얻는다.
:<math>i_0<i_1<i_2<\cdots</math>
:<math>j_0<j_1<j_2<\cdots</math>
:<math>s<\sum_{k=0}^{i_r}x_{m_k}+\sum_{k=0}^{j_{r-1}}x_{n_k}\le s+x_{m_{i_r}}\qquad\forall r\in\mathbb N</math>
:<math>s+x_{n_{j_r}}\le\sum_{k=0}^{i_{r-1}}x_{m_k}+\sum_{k=0}^{j_r}x_{n_k}<s\qquad\forall r\in\mathbb N</math>

이제, [[순열]] <math>\sigma\colon\mathbb N\to\mathbb N</math>을 다음과 같이 정의하자.
:<math>(\sigma(n))_{n=0}^\infty=(m_0,m_1,\dots,m_{i_0},n_0,n_1,\dots,n_{j_0},m_{i_0+1},m_{i_0+2},\dots,m_{i_1},n_{j_0+1},n_{j_0+2},\dots,n_{j_1},\dots)</math>
그렇다면, 임의의 <math>K\in\mathbb N</math>에 대하여,
:<math>\left|\sum_{n=0}^{\sigma^{-1}(m_K)}x_{\sigma(n)}-s\right|=\left|\sum_{k=0}^Kx_{m_k}+\sum_{k=0}^{j_r}x_{n_k}-s\right|<x_{m_{i_r}}\qquad(i_{r-1}<K\le i_r)</math>
:<math>\left|\sum_{n=0}^{\sigma^{-1}(n_K)}x_{\sigma(n)}-s\right|=\left|\sum_{k=0}^{i_r}x_{m_k}+\sum_{k=0}^Kx_{n_k}-s\right|<-x_{n_{j_r}}\qquad(j_{r-1}<K\le j_r)</math>
이므로
:<math>\begin{align}
\limsup_{N\to\infty}\left|\sum_{n=0}^Nx_{\sigma(n)}-s\right|
& \le \limsup_{K\to\infty}\max\left\{\left|\sum_{n=0}^{\sigma^{-1}(m_K)}x_{\sigma(n)}-s\right|,\left|\sum_{n=0}^{\sigma^{-1}(n_K)}x_{\sigma(n)}-s\right|\right\} \\
& \le \limsup_{r\to\infty}\max\{x_{m_{i_r}},-x_{n_{j_r}}\} \\
& = 0
\end{align}</math>
이다. 즉,
:<math>\sum_{n=0}^\infty x_{\sigma(n)}=s</math>
이다.

== 예 ==
[[조화 급수]]에 대응하는 [[교대 급수]]
:<math>\sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n-1}\frac 1n</math>
를 생각하자. 이 급수는 <math>\ln 2</math>로 수렴한다. 그러나 하나의 양의 실수항과 2개의 음의 실수항을 번갈아 가며 배열하여 얻는 새로운 급수는 <math>\textstyle\frac 12\ln 2</math>로 수렴한다.
:<math>\begin{align}
1-\frac 12-\frac 14+\frac 13-\frac 16-\frac 18+\frac 15-\frac 1{10}-\frac 1{12}+\cdots={}
& \left(1-\frac 12\right)-\frac 14+\left(\frac 13-\frac 16\right)-\frac 18 \\
& +\left(\frac 15-\frac 1{10}\right)-\frac 1{12}+\cdots \\
={} & \frac 12 \left(1-\frac 12+\frac 13-\frac 14+\frac 15-\frac 16+\cdots\right) \\
={} & \frac 12 \ln 2
\end{align}</math>

== 역사 ==
[[베른하르트 리만]]의 이름을 땄다.

== 각주 ==
{{각주}}

== 외부 링크 ==
* {{eom|제목=Riemann theorem}}
* {{매스월드|id=RiemannSeriesTheorem|제목=Riemann series theorem}}

[[분류:급수]]
[[분류:해석학 정리]]
[[분류:순열]]
[[분류:베른하르트 리만]]