르장드르 변환 문서 원본 보기

{{위키데이터 속성 추적}}
[[파일:Legendre a.png|섬네일]]
'''르장드르 변환'''(Legendre變換, {{llang|en|Legendre transformation}})은 [[볼록함수]]를 다른 볼록함수로 변환하는 연산이다. 대략 한 좌표에 대하여 자연스러운 [[함수]]를, 이에 대응하는 [[일반화 운동량|운동량]] 좌표에 대하여 자연스러운 함수로 바꾸는 것으로 생각할 수 있다. 르장드르 변환은 스스로의 역이다. 즉, 어떤 함수에 르장드르 변환을 두 번 가하면 다시 원래 함수를 얻는다.

== 정의 ==
[[벡터 공간]] <math>V</math> 속의 [[볼록집합]] <math>A\subset X</math> 위에 연속 [[볼록함수]] <math>f\colon X\to\mathbb R</math>가 주어졌다고 하자. <math>f</math>의 [[도함수]]의 [[상 (수학)|상]] <math>A^\star=\nabla f(A)</math>을 정의하자. 그렇다면 <math>f</math>의 '''르장드르 변환'''
:<math>f^\star\colon A^\star\to\mathbb R</math>
은 다음과 같다.
:<math>f^\star(x^\star)=\sup_{x\in A}\{x^\star x-f(x)\}</math>

만약 <math>f</math>가 [[매끄러운 함수|연속미분가능]]이라면, 그 [[도함수]]의 역함수를 정의할 수 있다.
:<math>f'(x)=x^\star\Leftrightarrow x=(f')^{-1}(x^\star)</math>
그렇다면 <math>f^\star(x^\star)</math>는 다음과 같이 표현할 수 있다.
:<math>f^\star(x^\star)=x^\star x-f(x)=(f')^{-1}(x^\star)x^\star-f((f')^{-1}(x^\star))</math>

== 성질 ==
르장드르 변환은 스스로의 역이다. 즉,
:<math>\frac{df^\star}{dx^\star}=x+x^\star\frac{dx}{dx^\star}-\frac{df}{dx}\frac{dx}{dx^\star}=x</math>
이므로,
:<math>f^{\star\star}(x)=xx^\star-f^\star(x^\star)=xx^\star-(xx^\star-f(x))=f(x)</math>
이다.

== 예 ==
{| class="wikitable"
|-
! <math>f(x)</math> !!<math>\operatorname{dom}f</math> !! <math>f^\star(x^\star)</math> !! <math>\operatorname{dom}f^\star</math> !! 조건
|-
| <math>af(x)</math> || <math>\operatorname{dom}f</math> || <math>af^\star(x^\star/a)</math> || <math>a\cdot\operatorname{dom}f^\star</math> || <math>a>0</math>
|-
| <math>f(ax)</math> || <math>a^{-1}\cdot\operatorname{dom}f</math> || <math>f^\star(x^\star/a)</math> || <math>a\cdot\operatorname{dom}f^\star</math> || <math>a>0</math>
|-
| <math>f(x)+a</math> || <math>\operatorname{dom}f</math> || <math>f^\star(x^\star)-a</math> || <math>\operatorname{dom}f^\star</math> ||<math>a\in\mathbb R</math>
|-
| <math>f(x-a)</math> || <math>a+\operatorname{dom}f</math> || <math>f^\star(x^\star)+ax^\star</math> || <math>\operatorname{dom}f^\star</math> || <math>a\in\mathbb R</math>
|-
| <math>f(x)+ax</math> || <math>\operatorname{dom}f</math> || <math>f^\star(x^\star-a)</math> || <math>a+\operatorname{dom}f^\star</math> || <math>a\in\mathbb R</math>
|-
| <math>f(x)+g(x)</math> || <math>\operatorname{dom}f\cap\operatorname{dom}g</math> || <math>(f^\star\star_\text{inf}g^\star)(x^\star)</math> || <math>\operatorname{dom}f^\star+\operatorname{dom}g^\star</math> || <math>(f\star_{\text{inf}}g)(x)=\inf_y\{f(x-y)+g(y)\}</math>
|-
| <math>(f\star_\text{inf}g)(x)</math> ||<math>\operatorname{dom}f+\operatorname{dom}g</math> || <math>f^\star(x^\star)+g^\star(x^\star)</math> || <math>\operatorname{dom}f^\star\cap\operatorname{dom}g^\star</math> || <math>(f\star_{\text{inf}}g)(x)=\inf_y\{f(x-y)+g(y)\}</math>
|-
| <math>ax+b</math> || <math>\mathbb R</math> || <math>-b</math> || <math>\{a\}</math>
|-
| <math>|x|^p/p</math> || <math>\mathbb R</math> || <math>|x^\star|^{p^\star}/p^\star</math> || <math>\mathbb R</math> || <math>1/p+1/p^\star=1</math>, <math>p>1</math>
|-
| <math>-x^p/p</math> || <math>[0,\infty)</math> || <math>-|x^\star|^{p^\star}/p^\star</math> || <math>(-\infty,0]</math> || <math>1/p+1/p^\star=1</math>, <math>p<1</math>
|-
| <math>\exp(x)</math>  || <math>\mathbb R</math> || <math>x^\star(\ln(x^\star)-1)</math> || <math>\mathbb R^+</math>
|-
| <math>x\ln(x)</math> || <math>\mathbb R^+</math> ||  <math>\exp(x-1)</math> || <math>\mathbb R</math>
|-
| <math>-1/2-\ln x</math> || <math>\mathbb R^+</math> || <math>-1/2-\ln|x^\star|</math> || <math>\mathbb R^-</math>
|-
| <math>x\exp(x+1)</math> ||<math>\mathbb R</math> || <math>x^\star(W(x^\star)-1)^2/W(x^\star)</math> || <math>[-1/e,\infty)</math> || <math>W</math>는 [[람베르트 W 함수]]
|}

== 참고 문헌 ==
* {{서적 인용| last=Rockafellar |first=R. Tyrrell |title=Convex analysis |publisher=Princeton University Press|총서=Princeton Landmarks in Mathematics |날짜=1997|isbn=978-069101586-6|zbl=0932.90001|url=http://press.princeton.edu/titles/1815.html|언어=en}}
* {{저널 인용|성=Zia|이름=R. K. P.|공저자=E. F. Redish, S. R. McKay|날짜=2009|제목=Making sense of the Legendre transform|저널=American Journal of Physics|권=77|호=7|쪽=614|arxiv=0806.1147|doi=10.1119/1.3119512|언어=en}}

== 외부 링크 ==
* {{eom|title=Legendre transform|first= V.M.|last= Tikhomirov}}
* {{매스월드|id=LegendreTransformation|title=Legendre transformation}}

== 같이 보기 ==
* [[영의 부등식]]

{{전거 통제}}

[[분류:쌍대성이론]]
[[분류:실해석학]]
[[분류:수리물리학]]
[[분류:볼록 해석]]
[[분류:변환 (수학)]]