르장드르 기호 문서 원본 보기

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[[수론]]에서 '''르장드르 기호'''(Legendre symbol)는 어떤 수가 [[제곱 잉여]]인지 아닌지를 나타내는 함수이다.

== 정의 ==
홀수 소수 <math>p</math>와 정수 <math>a</math>에 대하여, 르장드르 기호는 다음과 같다.
:<math>\left(\frac ap\right)=\begin{cases}
1 & p\nmid a\land\exists x\in\mathbb Z\colon x^2\equiv a\pmod p \\
-1 & p\nmid a\land\not\exists x\in\mathbb Z\colon x^2\equiv a\pmod p \\
0 & p\mid a
\end{cases}</math>
즉, <math>a</math>가 <math>p</math>에 대한 [[제곱 잉여]]일 때 1을, <math>a</math>가 <math>p</math>에 대한 [[제곱 비잉여]]일 때 -1을, <math>a</math>가 <math>p</math>의 배수일 때 0을 값으로 한다. 르장드르 기호는 마치 분수처럼 생겼지만, 분수의 계산과는 관련이 없다.

== 성질 ==
=== 항등식 ===
다음과 같은 항등식들이 성립한다.
:<math>\left(\frac ap\right)\equiv a^{p(p-1)/2}\pmod p</math>
:<math>\left(\frac ap\right)=\left(\frac{p+a}p\right)</math>
:<math>\left(\frac{ab}p\right)=\left(\frac ap\right)\left(\frac bp\right)</math>
:<math>\left(\frac{a^2}p\right)=\begin{cases}
1 & p\nmid a \\
0 & p\mid a
\end{cases}</math>
이들은 제곱 잉여의 성질에 대응한다. 예를 들어, 세 번째 항등식에 따라, 두 제곱 잉여의 곱은 제곱 잉여이다.

만약 <math>2,p\nmid a</math>라면, 다음이 성립한다.
:<math>\left(\frac ap\right)=(-1)^{\sum_{k=1}^{(p-1)/2}\lfloor ak/p\rfloor}</math>

=== 이차 상호 법칙 ===
{{본문|이차 상호 법칙}}
홀수 소수 <math>p,q</math>가 <math>p\ne q</math>라고 하자. 그렇다면, 다음이 성립한다.
:<math>\left(\frac pq\right)={(-1)^{(p-1)(q-1)/4}\left(\frac qp\right)}</math>
이를 [[이차 상호 법칙]]이라고 한다. 즉, <math>p</math>와 <math>q</math>는
:<math>p\equiv q\equiv 3\pmod 4</math>
인 경우를 제외하면 서로에 대한 제곱 잉여이거나, 서로에 대한 제곱 비잉여이다.

== 예 ==
작은 정수의 홀수 소수 <math>p</math>에 대한 르장드르 기호는 다음과 같다.
:<math>\left(\frac 1p\right)=1</math>
:<math>\left(\frac{-1}p\right)=(-1)^{(p-1)/2}</math>
:<math>\left(\frac 2p\right)=(-1)^{(p^2-1)/8}</math>

== 일반화 ==
[[야코비 기호]]는 르장드르 기호를 소수에서 임의의 홀수까지 확장하며, [[크로네커 기호]]는 이를 임의의 짝수에까지 확장한다.

== 역사 ==
프랑스의 수학자 [[아드리앵마리 르장드르]]가 도입하였다.

[[분류:수론]]
[[분류:모듈러 산술]]