르베그 측도 문서 원본 보기

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[[측도론]]에서 '''르베그 측도'''({{llang|en|Lebesgue measure}})는 [[유클리드 공간]]의 부분 집합에 [[길이]], [[넓이]] 또는 [[부피]]를 할당하는 방법이다. 이를 사용하여 [[르베그 적분]]을 정의할 수 있다.

== 정의 ==
'''르베그 측도'''는 유클리드 공간 <math>\mathbb R^n</math> 위에 정의되는 측도이며, [[보렐 측도]]의 [[완비 측도|완비화]]이다.

구체적으로, 이는 다음과 같다. <math>\mathbb R^n</math> 위의 르베그 측도는 <math>\mathbb R</math> 위의 르베그 측도의 [[곱측도]]로 정의할 수 있으므로, <math>\mathbb R</math> 위의 측도를 정의하는 것으로 족하다. <math>\mathbb R</math> 위의 '''르베그 외측도''' <math>\lambda^*\colon\mathcal P(\mathbb R)\to[0,\infty]</math>는 다음과 같다.
:<math>\lambda^*(S) = \inf\left\{\sum_{i=1}^\infty|b_i-a_i|\colon a_i,b_i\in\mathbb R,\;S\subset\bigcup_{i=1}^\infty[a_i,b_i]\right\}</math>
'''르베그 가측 집합'''은 다음 성질을 만족시키는 집합 <math>S\subset\mathbb R</math>이다.
* 모든 <math>T\subset\mathbb R</math>에 대하여, <math>\lambda^*(T)=\lambda^*(T\cap S)+\lambda^*(T\setminus S)</math>
르베그 가측 집합의 집합 <math>\mathcal L</math>은 [[시그마 대수]]를 이룸을 보일 수 있다.
<math>\mathbb R</math> 위의 '''르베그 측도''' <math>\lambda=\lambda^*|_{\mathcal L}</math>는 르베그 가측집합에 국한시킨 르베그 외측도이며, <math>(\mathbb R,\mathcal L,\lambda)</math>는 [[측도 공간]]을 이룸을 보일 수 있다.

== 성질 ==
<math>k</math>차원 유클리드 공간에 대해, 르베그 측도 <math>\lambda</math>는 다음의 성질을 만족한다.
* 모든 [[보렐 집합]]은 르베그 가측 집합이다.
* 르베그 측도는 [[완비 측도]]이다. 즉, 어떤 집합이 르베그 가측 집합이며 측도가 0이면, 그 부분집합 또한 가측 집합이다.
* (이동 불변성 {{llang|en|translation invariance}}) 임의의 르베그 가측 집합 <math>A\subset\mathbb R</math>와 벡터 <math>b\in\mathbb R^k</math>에 대해, <math>A + b = \{a+b\colon a \in A\}</math> 역시 가측 집합이며 <math>E</math>와 같은 측도를 갖는다.

=== 르베그 가측 집합 ===
[[비탈리 집합|비탈리 정리]]에 따르면 [[선택 공리]]를 가정할 경우 모든 집합의 르베그 측도를 할당하는 것은 불가능하다. 르베그 측정이 불가능한 집합은 [[바나흐-타르스키 역설]] 등의 결과를 가져온다. [[비탈리 집합]]은 르베그 측정이 불가능한 집합의 한 예이다. 반면, [[결정 공리]]를 사용할 경우에는 실수의 부분집합은 모두 측정가능하다는 것을 증명할 수 있다.

선택 공리를 가정하자. 유클리드 공간의 르베그 가측 집합의 수는 <math>\beth_2=2^{2^{\aleph_0}}</math>이지만, [[보렐 집합]]의 수는 <math>\beth_1=2^{\aleph_0}</math>이다. 즉, 거의 모든 르베그 가측 집합은 보렐 집합이 아니다.

모든 르베그 가측 집합 <math>L</math>은 다음과 같이 나타낼 수 있다.
:<math>L=G\setminus N=F\cup N'</math>
여기서
* <math>N</math> 및 <math>N'</math>은 르베그 [[영집합]]이다.
* <math>G</math>는 [[Gδ 집합|G<sub>δ</sub> 집합]]이다 (따라서 [[보렐 집합]]이다).
* <math>F</math>는 [[Fσ 집합|F<sub>σ</sub> 집합]]이다 (따라서 [[보렐 집합]]이다).

== 예 ==
선분, 사각형 등의 도형에 대한 르베그 측도는 길이나 넓이 등의 개념과 일치한다. 예를 들어, 구간 <math>(0, 1)</math>의 측도는 길이와 같은 1이다.

[[칸토어 집합]]은 크기가 <math>2^{\aleph_0}</math>이지만 르베그 측도가 0이다.

== 같이 보기 ==
* [[르베그 밀도 정리]]
* [[리우빌 수]]
* [[비가측 집합]]
* [[조르당 측도]]

== 외부 링크 ==
* {{eom|title=Lebesgue measure}}
* {{매스월드|id=LebesgueMeasure|title=Lebesgue measure}}
* {{웹 인용|url=http://ncatlab.org/nlab/show/Lebesgue+measure|title=Lebesgue measure|웹사이트=nLab|언어=en}}

{{전거 통제}}

[[분류:측도]]