르베그 분해 문서 원본 보기

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[[측도론]]에서 '''르베그 분해'''({{llang|en|Lebesgue decomposition}})는 임의의 [[시그마 유한 측도]]를 '''[[절대 연속 측도|절대 연속]] 성분'''(絶對連續成分, {{llang|en|absolutely continuous component}})과 '''특이 연속 성분'''(特異連續成分, {{llang|en|singular continuous component}})과 '''순수 점 성분'''(純粹點成分, {{llang|en|pure point component}})의 합으로 나타내는 표준적인 표현이다. 이 세 성분 가운데 절대 연속 성분과 순수 점 성분의 경우 간단한 구조 정리가 존재하지만, 특이 연속 성분의 구조는 매우 복잡하다. 일부 경우, 특이 연속 성분이 0임을 증명할 수 있다.

[[복소수 힐베르트 공간]] 위의 [[자기 수반 작용소]]는 그 [[스펙트럼 (함수해석학)|스펙트럼]] 위의 측도를 정의하며, 그 르베그 분해는 이에 대응되는 [[복소수 힐베르트 공간]]의 [[직합]] 분해를 정의한다.

== 정의 ==
=== 특이 측도 ===
[[가측 공간]] <Math>(X,\mathcal F)</math> 위의 두 측도 <math>\mu</math>, <math>\nu</math>에 대하여, 만약 다음 조건들을 만족시키는 <math>A,B\in\mathcal F</math>가 존재한다면, 이 두 측도가 서로 '''특이 측도'''({{llang|en|singular measures}})라고 한다.
* <math>A\cup B=X</math>
* <math>\mu(A\cap S)=0\qquad\forall S\in\mathcal F</math>
* <math>\nu(B\cap S)=0\qquad\forall S\in\mathcal F</math>

=== 르베그 분해 ===
[[시그마 유한 측도]] 공간 <math>(X,\mathcal F,\mu)</math>에 대하여, <math>\mu</math>의 '''르베그 분해'''는 다음과 같은 꼴의 분해이다.
:<math>\mu=\mu_\text{ac}+\mu_\text{s}</math>
여기서
* <math>\mu_\text{ac}\ll\mu</math>. 즉, <math>\mu_\text{ac}</math>는 <math>\mu</math>-[[절대 연속 측도]]이다.
* <math>\mu_\text{s}\perp\mu</math>
또한, 특이 성분 <math>\mu_\text{s}</math>는 다음과 같이 추가로 분해된다.
:<math>\mu_\text{s}=\mu_\text{pp}+\mu_\text{sc}</math>
여기서
* <math>\mu_\text{pp}</math>는 순수하게 원자로만 구성된 측도이다. 즉, 어떤 [[가산 집합]] <Math>\mathcal C\subseteq\mathcal F</math> 및 함수 <math>f\colon\mathcal C\to(0,\infty]</math>에 대하여, 다음이 성립한다.
*: <math>\mu_\text{pp}(S)=\sum_{C\in\mathcal C\cap\mathcal P(S)}f(C)\qquad\forall S\in\mathcal F</math>
*: <math>\forall S\in\mathcal F\colon (\mu_\text{pp}(S\cap C)>0\implies S\cap C=C)</math>
* <math>\mu_\text{sc}</math>는 원자를 갖지 않는다. 즉, 임의의 <math>S\in\mathcal F</math>에 대하여, 만약 <math>\mu_\text{sc}(C)>0</math>이라면, <math>\mu_\text{pp}(C\cap S)>0</math>이자 <math>C\cap S\ne C</math>인 <math>S\in\mathcal F</math>가 존재한다.

절대 연속 성분 <math>\mu_\text{ac}</math>는 [[라돈-니코딤 정리]]에 의하여 쉽게 이해될 수 있다. 즉, 특이 연속 성분을 제외하면 르베그 분해의 나머지 두 성분은 쉽게 이해된다.

=== 작용소의 경우 ===
[[복소수 힐베르트 공간]] <Math>\mathcal H</math> 위의 조밀 부분 집합 <math>D\subseteq\mathcal H</math> 위에 정의된 [[자기 수반 작용소]] <math>T\colon D\to\mathcal H</math>는 그 [[스펙트럼 (함수해석학)|스펙트럼]] <math>\sigma(D)</math> 위의 [[측도]]를 정의한다. 이 경우, <math>\sigma(D)</math> 위의 측도 <math>\mu</math>를 위와 같이 분해할 수 있다.
:<math>\mu=\mu_\text{ac}+\mu_\text{sc}+\mu_\text{pp}</math>
이에 따라, 측도의 분해에 대응하는 힐베르트 공간의 [[직합]] 분해를 정의할 수 있다.
:<math>\mathcal H=\mathcal H_\text{ac}\oplus\mathcal H_\text{sc}\oplus\mathcal H_\text{pp}</math>

== 예 ==
[[파일:CantorEscalier-2.svg|섬네일|오른쪽|칸토어 3진 함수의 그래프]]
'''칸토어 3진 함수'''(Cantor三進函數, {{llang|en|Cantor ternary function}})를 다음과 같이 정의하자.
:<math>f\colon[0,1]\to [0,1]</math>
:<math>f\colon \sum_{i=1}^\infty a_i3^{-i}\mapsto
\begin{cases}
\left(\sum_{i=1}^{a_i-1}a_i2^{-i-1}\right)+a_{i_0}2^{-i_0}
&\exists i_0=\min\{i\in\mathbb Z^+\colon a_i=1\}\\
\sum_{i=1}^\infty a_i2^{-i-1}&\nexists i\in\mathbb Z^+\colon a_i=1\\
\end{cases},\qquad a_1,a_2,\dotsc\in\{0,1,2\}</math>
즉, 이 함수는 수의 3진법 표현에 일종의 알고리즘을 가해 2진법으로 표현된 수를 정의한다.

그렇다면, <math>f</math>를 [[누적 분포 함수]]로 갖는, <math>[0,1]</math> 위의 르베그 측도는 르베그 분해 아래 순수하게 특이 연속 성분만으로 구성된다.

== 역사 ==
[[앙리 르베그]]가 도입하였다.<ref>{{서적 인용|이름=Henri|성=Lebesgue|저자링크=앙리 르베그|제목=Leçons sur l'intégration et la récherche des fonctions primitives professée au Collège de France|총서=Collection de monographies sur la théorie des fonctions publiée sous la direction de M. Émile Borel|위치=[[파리 (프랑스)|파리]]|출판사=Gauthier-Villars, Imprimeur-Libraire|날짜=1928|url=https://archive.org/details/leconegrarecher00leberich|언어=fr}}</ref>{{rp|61; 163, Remark 1; §VIII.III}}

== 참고 문헌 ==
{{각주}}

== 외부 링크 ==
* {{eom|title=Lebesgue decomposition}}
* {{eom|title=Singular measures}}
* {{매스월드|id=LebesgueDecomposition|title=Lebesgue decomposition|이름=Todd|성=Rowland}}
* {{웹 인용|url=https://terrytao.wordpress.com/2009/01/04/245b-notes-1-signed-measures-and-the-radon-nikodym-lebesgue-theorem/|제목=Signed measures and the Radon-Nikodym-Lebesgue theorem|날짜=2009-01-04|이름=Terence|성=Tao|저자링크=테런스 타오|웹사이트=What’s New|언어=en}}

[[분류:측도론]]