르베그 공간 문서 원본 보기

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[[함수해석학]]에서 '''르베그 공간'''(Lebesgue空間, {{llang|en|Lebesgue space}}) 또는 '''L<sup>''p''</sup> 공간'''({{llang|en|L<sup>''p''</sup>-space}})은 [[절댓값]]의 <math>p</math> 제곱이 [[르베그 적분]] 가능한 [[가측 함수]]들의 [[동치류]]들로 구성된 [[노름 공간]]이다.

== 정의 ==
[[측도 공간]] <math>(X,\Sigma,\mu)</math> 및 음이 아닌 [[확장된 실수]] <math>0\le p\le\infty</math>가 주어졌다고 하고, <math>\mathbb K\in\{\mathbb R,\mathbb C\}</math>가 ([[보렐 시그마 대수]]를 갖춘) [[실수체]] 또는 [[복소수체]]라고 하자. 그렇다면, '''르베그 공간''' <math>\operatorname L^p(X;\mathbb K)</math>는 <math>\mathbb K</math>-[[위상 벡터 공간]]이며, 그 정의는 <math>p</math>의 값에 따라 다음과 같다.

=== L<sup>''p''</sup> (0 < ''p'' ≤ ∞) ===
<math>0<p\le\infty</math> 및 [[가측 함수]] <math>f\colon X\to\mathbb K</math>에 대하여 다음 기호를 정의하자.
:<math>\|\cdot\|_p\colon \mathcal M(X;\mathbb K)\to[0,\infty]</math>
:<math>\|f\|_p=\begin{cases}\sqrt[p]{\int_X|f(x)|^p\mathrm d\mu}&p<\infty\\
\inf\left\{C\in\mathbb R\colon\mu(\{x\in X\colon|f(x)|>C\})=0\right\}&p=\infty\end{cases}</math>
그렇다면, <math>\mathcal L^p</math>를 다음과 같은 집합으로 정의하자.
:<math>\mathcal L^p(X;\mathbb K)=\{f\in \mathcal M(X;\mathbb K)\colon \|f\|_p<\infty\}</math>
여기서 <math>\mathcal M(X;Y)</math>는 두 [[측도 공간]] <math>X,Y</math> 사이의 [[가측 함수]]의 집합이며, <math>\mathbb K</math>의 경우 [[보렐 시그마 대수]]를 갖춘 것으로 여긴다.

<math>\mathcal L^p(X;\mathbb K)</math>는 <math>\mathbb K</math>에 대한 [[벡터 공간]]을 이루며, 부분 공간
:<math>(\|\cdot\|_p)^{-1}(0)=\{f\in \mathcal M(X;\mathbb K)|\|f\|_p=0\}\subseteq\mathcal L^p(X;\mathbb K)</math>
으로 몫공간을 취한 것을 '''르베그 공간''' <math>\operatorname L^p(X;\mathbb K)</math>라고 한다.<ref>{{서적 인용| last = Schaefer | first = Helmuth H. | 이름2=M. P. | 성2= Wolff |날짜 = 1999 | title = Topological vector spaces | series=Graduate Texts in Mathematics | 권=3 | issn=0072-5285 | 판=2판  | publisher = Springer | isbn = 978-1-4612-7155-0 | doi=10.1007/978-1-4612-1468-7| zbl = 0983.46002 | 언어 = en}}</ref>{{rp|43, §II.2}}<ref>{{서적 인용 | last=Rudin | first=Walter | authorlink=월터 루딘 | 제목=Functional analysis | url=https://archive.org/details/functionalanalys0000rudi | publisher=McGraw-Hill | isbn=978-0-07-054236-5 | 날짜=1991 | zbl=0867.46001 | 총서=International Series in Pure and Applied Mathematics|판=2판 |언어=en}}</ref>{{rp|31, §1.43; 35, §1.47}}
:<math>\operatorname L^p(X;\mathbb K)=\frac{\mathcal L^p(X;\mathbb K)}{(\|\cdot\|_p)^{-1}(0)}</math>

이 위에는 "[[열린 공]]"들
:<math>\left\{\operatorname{ball}(f,r)\colon r\in\mathbb R^+,\;f\in\operatorname L^p(X;\mathbb K)\right\}</math>
:<math>\operatorname{ball}(f,r)=\left\{g\in\operatorname L^p(X;\mathbb K)\colon \|f-g\|_p<r\right\}</math>
을 [[기저 (위상수학)|기저]]로 하는 [[위상 공간 (수학)|위상]]을 줄 수 있다. (물론, <math>p<1</math>이라면 이는 [[거리 공간]]이 아니므로 엄밀히 말해 [[열린 공]]이라고 일컬어질 수 없다.)

만약 <math>p\ge1</math>이라면, <math>\|\cdot\|_p</math>는 <math>\operatorname L^p(X;\mathbb K)</math> 위의 완비 [[노름]]을 이루며, <math>\operatorname L^p(X;\mathbb K)</math>는 <math>\mathbb K</math>-[[바나흐 공간]]을 이룬다. 그러나 만약 <math>p<1</math>이라면 이는 (기호와 달리) 일반적으로 [[노름]]이 되지 못한다.

=== L<sup>0</sup> ===
<math>p=0</math>인 경우, <math>\operatorname L^0(X;\mathbb K)</math>은 모든 [[가측 함수]] <math>X\to\mathbb K</math>의 (동치류의) 공간이다. 즉, <math>\mathbb K</math>-[[벡터 공간]] <math>\mathcal M(X;\mathbb K)</math>에
:<math>\mathcal N=\left\{f\in \mathcal M(X;\mathbb K)\colon \mu(\{x\in X\colon f(x)\ne 0\})=0\right\}</math>
를 정의하였을 때
:<math>\operatorname L^0(X;\mathbb K)=\frac{\mathcal M(X;\mathbb K)}{\mathcal N}</math>
이다.

이 경우, [[측도 수렴]] 위상을 부여하여 [[균등 공간]]이자 ([[균등 위상]]을 부여한) [[위상 벡터 공간]]으로 만들 수 있다. 즉, 이 경우 [[유사 거리 함수]]의 족
:<math>\{d_S\}_{S\in\Sigma,\;\mu(S)<\infty}</math>
:<math>d_S(f,g)=\int_S\min\{|f-g|,1\}\mathrm d\mu</math>
을 통해 [[균등 공간]] 구조를 부여한다.

=== ℓ<sup>''p''</sup> ===
만약 <math>X</math>가 ([[셈측도]]를 갖춘) [[자연수]]의 [[이산 공간]] <math>\mathbb N</math>일 경우,
:<math>\mathcal L^p(\mathbb N;\mathbb K)=\mathrm L^p(\mathbb N;\mathbb K)=\ell^p(\mathbb K)</math>
로 쓴다. ([[셈측도]]는 [[공집합]]이 아닌 [[영집합]]을 갖지 않으므로, 이 경우 <math>\mathcal L^p</math>와 <math>\mathrm L^p</math>를 구분하지 않아도 된다.) 이 경우, 함수 <math>f\in \mathcal M(\mathbb N;\mathbb K)</math>는 <math>\mathbb K</math>값을 갖는 [[수열]]이 되고, 노름 <math>\|\cdot\|_p</math>은 다음과 같다.
:<math>\|f\|_p=\begin{cases}\sqrt[p]{\sum_{i=0}^\infty |f_i|^p}&0<p<\infty\\
\sup_{i\in\mathbb N}|f_i|&p=\infty\end{cases}</math>

== 성질 ==
=== 민코프스키 부등식 ===
만약 <math>1\le p\le\infty</math>일 경우, <math>\|\cdot\|_p</math>는 '''[[민코프스키 부등식]]'''에 따라 [[노름]]을 이룬다.
:<math>\|f+g\|_p\le \|f\|_p+\|g\|_p\qquad(f,g\in\operatorname L^p(X;\mathbb K))</math>
만약 <math>0<p<1</math>일 경우, <math>\|\cdot\|_p</math>는 다음과 같은, 더 약한 부등식을 만족시킨다.<ref>{{저널 인용|이름=Mahlon M.|성=Day|mr=2700|doi=10.1090/S0002-9904-1940-07308-2 |제목=The spaces ''L''<sup>''p''</sup> with 0<''p''<1|저널=Bulletin of the American Mathematical Society|issn=0273-0979|권=46|호=10|날짜=1940|쪽=816–823 |언어=en}}</ref>{{rp|816}}
:<math>\|f+g\|_p\le 2^{(1-p)/p}(\|f\|_p+\|g\|_p)\qquad(f,g\in\operatorname L^p(X;\mathbb K))</math>
<div class="mw-collapsible mw-collapsed toccolours">
'''증명:'''
<div class="mw-collapsible-content">
임의의 두 음이 아닌 실수 <math>s,t\in\mathbb R_{\ge0}</math>에 대하여
:<math>(s+t)^p\le s^p+t^p\le 2^{1-p}(s+t)^p</math>
가 성립함은 [[미적분학]]으로 쉽게 확인할 수 있다. 그렇다면,
:<math>
(\|f+g\|_p)^p
=\int_X|f+g|^p\mathrm d\mu
\le \int_X(|f|+|g|)^p\mathrm d\mu
\le \int_X(|f|^p+|g|^p)\mathrm d\mu
=(\|f\|_p)^p+(\|g\|_p)^p
\le 2^{1-p}(\|f\|_p+\|g\|_p)^p
</math>
이다.
</div></div>

=== 바나흐·힐베르트 공간일 조건 ===
임의의 [[측도 공간]] <math>(X,\Sigma,\mu)</math> 및 <math>p\in[0,\infty]</math> 및 <math>\mathbb K\in\{\mathbb R,\mathbb C\}</math>에 대하여, 다음이 성립한다.
* ('''리스-피셔 정리''' {{llang|en|Riesz–Fischer theorem}}) 만약 <math>1\le p\le\infty</math>라면 <math>\operatorname L^p(X;\mathbb K)</math>는 <math>\mathbb K</math>-[[바나흐 공간]]이다.
* 만약 <math>1<p<\infty</math>라면 <math>\operatorname L^p(X;\mathbb K)</math>는 <math>\mathbb K</math>-[[반사 바나흐 공간]]이다. (그러나 <math>p=1</math> 또는 <math>p=\infty</math>인 경우 이는 일반적으로 성립하지 않는다.)
* 만약 <math>p=2</math>일 경우 <math>\operatorname L^p(X;\mathbb K)</math>는 <math>\mathbb K</math>-[[힐베르트 공간]]이다. (그러나 <math>X</math>의 크기에 따라 이는 [[분해 가능 공간]]이 아닐 수 있다.)
* 만약 <math>\mathbb K=\mathbb C</math>이며 <math>p=\infty</math>일 경우 <math>\operatorname L^\infty(X;\mathbb C)</math>는 가환 [[C* 대수]]이다. 만약 <math>X</math>가 추가로 [[시그마 유한 측도]]를 갖추었다면, 이는 가환 [[폰 노이만 대수]]를 이룬다.

=== 연속 쌍대 공간 ===
임의의 [[측도 공간]] <math>(X,\Sigma,\mu)</math> 및 <math>\mathbb K\in\{\mathbb R,\mathbb C\}</math> 및 <math>1<p<\infty</math>에 대하여, <math>\operatorname L^p(X;\mathbb K)</math>의 [[연속 쌍대 공간]]은 다음과 같다.
:<math>(\operatorname L^p(X;\mathbb K))'=\operatorname L^q(X;\mathbb K)\qquad(1/p+1/q=1)</math>
구체적으로, 이 동형 사상은
:<math>\operatorname L^p(X;\mathbb K)\times \operatorname L^q(X;\mathbb K)\to\mathbb K</math>
:<math>([f],[g])\mapsto\int_Xf(x)g(x)\mathrm d\mu(x)</math>
이다. 특히, <math>p=2</math>일 경우 <math>\operatorname L^2</math>는 스스로의 연속 쌍대 공간이 되며, 따라서 이 경우 [[힐베르트 공간]]을 이룬다.

그러나 <math>\operatorname L^\infty</math>의 연속 쌍대 공간은 ([[선택 공리]]를 가정하면) 일반적으로 <math>\operatorname L^1</math>보다 훨씬 크다. 반면, 만약 <math>X</math>가 [[시그마 유한 측도]]를 갖추었다면, <math>(\operatorname L^1)'=\operatorname L^\infty</math>이다.

=== 포함 관계 ===
임의의 두 [[확장된 실수]]
:<math>0<p<q\le\infty</math>
가 주어졌다고 하자. 또한, [[측도 공간]] <math>(X,\Sigma,\mu)</math> 위에 다음과 같은 두 조건을 생각하자.
:㈎ <math>\sup\{\mu(S)\colon S\in\Sigma,\;\mu(S)\ne\infty\}<\infty</math>
:㈏ <math>\inf\{\mu(S)\colon S\in\Sigma,\;\mu(S)\ne0\}>0</math>
그렇다면, 다음과 같은 [[동치]]가 성립한다.<ref>{{저널 인용|title=Another note on the inclusion ''L''<sup>''p''</sup>(''μ'') ⊂ ''L''<sup>''q''</sup>(''μ'')|last=Villani |first=Alfonso|year=1985| journal=American Mathematical Monthly|volume=92 |number=7 |pages=485–487 |doi=10.2307/2322503 |mr=801221|jstor=2322503|언어=en}}</ref>
:㈎ <math>\iff\operatorname L^p(X;\mathbb K)\subseteq \operatorname L^q(X;\mathbb K)</math>
:㈏ <math>\iff\operatorname L^p(X;\mathbb K)\supseteq \operatorname L^q(X;\mathbb K)</math>
:㈎와 ㈏가 동시에 성립 <math>\iff\operatorname L^p(X;\mathbb K)=\operatorname L^q(X;\mathbb K)</math>

대표적인 [[측도 공간]]에서 위 두 조건이 성립하는지 여부는 다음과 같다.
{| class=wikitable style="text-align: center"
! 측도 공간
! ㈎
! ㈏
|-
!  [[유클리드 공간]] <math>\mathbb R^n</math> 위의 [[르베그 측도]] (<math>n>0</math>)
| ❌  || ❌
|-
! [[유한 집합]] 위의 [[셈측도]]
| ⭕ || ⭕
|-
! [[무한 집합]] 위의 [[셈측도]]
| ❌  || ⭕
|-
! [[유클리드 공간]] 속의, 양의 유한 측도의 [[르베그 가측 집합]]
| ⭕ || ❌
|}

== 예 ==
=== 유한 집합 ===
<math>X</math>가 [[유한 집합]]이며, 그 위에 [[셈측도]]를 부여하자. 그렇다면, 이 경우 임의의 <math>0\le p\le\infty</math>에 대하여
:<math>\operatorname L^p(X;\mathbb K)=\mathbb K^X</math>
이다. 즉, 이 경우 르베그 공간은 <math>\mathbb K</math> 위의 유한 차원 [[벡터 공간]]이며, 그 차원은 <math>X</math>의 [[집합의 크기|크기]]이다.

<Math>p</math>의 값에 따라, <math>\mathbb K^X</math> 위에 정의되는 [[노름]]은 서로 다르며, 다음과 같다.
:<math>\|f\|_p=\sqrt[p]{\sum_{x\in X}|f(x)|^p}\qquad(0<p<\infty)</math>
:<math>\|f\|_\infty=\max_{x\in X}|f(x)|</math>
만약 <math>p=2</math>일 경우 이는 [[힐베르트 공간]]을 이루며, <math>|X|\ge2</math>이자 <math>1\le p\ne2</math>일 경우 이는 힐베르트 공간이 아닌 [[바나흐 공간]]이다.

=== 수열 공간 ===
<math>X=\mathbb N</math>일 경우, <math>p</math>의 범위에 따라서, 수열 르베그 공간 <math>\ell^p(\mathbb K)</math> 공간의 성질은 다음과 같다.
{| class="wikitable"
|-
! <math>p</math>의 범위 !! <math>\ell^p(\mathbb K)</math>의 성질
|-
| <math>0\le p<1</math> || <math>\mathbb K</math>-[[위상 벡터 공간]] (<math>\mathbb K</math>-[[국소 볼록 공간]]이 아님)
|-
| <math>1\le p<2</math> || <math>\mathbb K</math>-[[바나흐 공간]]
|-
| <math>p=2</math> || [[분해 가능]] <math>\mathbb K</math>-[[힐베르트 공간]]
|-
| <math>2<p\le\infty</math> || <math>\mathbb K</math>-[[바나흐 공간]]
|}

=== 디랙 측도 ===
{{본문|디랙 델타 함수}}
집합 <math>X</math> 속의 원소 <math>x_0\in X</math>가 주어졌으며,
:<math>\mu(S)=\begin{cases}
1&S\ni x_0\\
0&S\not\ni x_0
\end{cases}</math>
라고 하자. 그렇다면, <math>0\le p\le\infty</math>에 대하여, <math>\operatorname L^p(X;\mathbb K)</math>는 다음과 같다.
:<math>\operatorname L^p(X;\mathbb K)=\mathbb K</math>
:<math>\|f\|_p=|f(x_0)|\qquad(0<p\le\infty)</math>

== 역사 ==
"르베그 공간"이라는 용어는 [[앙리 르베그]]의 이름을 딴 것이다. 그러나 르베그는 [[르베그 적분]]의 도입을 제외하고는 르베그 공간의 개념과 크게 관계가 없다.

<math>\ell^2</math> 공간은 이미 19세기 [[푸리에 변환]]의 이론에서 등장하였다 ([[파르세발 정리]]).<ref name="Bourbaki"/>{{rp|V.83, Note historique}} 이후 [[다비트 힐베르트]]가 이 수열 공간에 대하여 연구하였으며, 이는 "[[힐베르트 공간]]"으로 불리게 되었다.<ref name="Bourbaki"/>{{rp|V.84, Note historique}}
힐베르트의 이론을 <math>p\ne2</math>로 일반화하여, [[리스 프리제시]]가 르베그 공간을 1910년에 도입하였다.<ref>{{저널 인용|last=Riesz|first=Frigyes|authorlink=리스 프리제시
|title=Untersuchungen über Systeme integrierbarer Funktionen|journal=Mathematische Annalen|volume=69|날짜=1910|pages=449–497|doi=10.1007/BF01457637|issue=4|issn=0025-5831|url=http://resolver.sub.uni-goettingen.de/purl?GDZPPN002263491|언어=de}}</ref>{{rp|§3, 457–459}}<ref name="Bourbaki">{{서적 인용|first=Nicolas|last=Bourbaki|authorlink=니콜라 부르바키|title=Espaces vectoriels topologiques (chapitres 1 à 5)|series=Éléments de mathématique|publisher=Masson|year=1981|언어=fr}}</ref>{{rp|V.86, Note historique}} 이 논문에서 리스는 오늘날 사용되는 기호 <math>\operatorname L^p</math>를 도입하였고, 또한 르베그 공간의 쌍대성 <math>{\operatorname L^p}'=\operatorname L^q</math> (<math>1/p+1/q=1</math>)을 증명하였다.

== 같이 보기 ==
* [[소볼레프 공간]]

== 각주 ==
{{각주}}

== 외부 링크 ==
* {{매스월드|id=Lp-Space|title=L^p-space}}
* {{매스월드|id=L2-Space|title=L^2-space}}
* {{nlab|id=Lebesgue space}}
* {{웹 인용|url=https://terrytao.wordpress.com/2009/01/09/245b-notes-3-lp-spaces/|제목=L^p spaces|웹사이트=What’s New|이름=Terrence|성=Tao|저자링크=테런스 타오|날짜=2009-01-09|언어=en}}

{{전거 통제}}

[[분류:바나흐 공간]]
[[분류:급수]]
[[분류:측도론]]