류스테르니크-시니렐만 범주 문서 원본 보기

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{{좋은 글}}
[[대수적 위상수학]]에서 '''류스테르니크-시니렐만 범주'''(Люстерник-Шнирельман範疇, {{llang|en|Lusternik–Schnirelmann category}}) 또는 '''LS 범주'''({{lang|en|LS-category}})는 위상 공간에 대한 [[자연수]] 값의 호모토피 불변량이다.<ref name="CLOT">{{서적 인용 |이름= Octav |성= Cornea |이름2= Gregory |성2= Lupton |이름3= John |성3= Oprea |이름4= Daniel |성4= Tanré |제목= Lusternik-Schnirelmann category |url= https://bookstore.ams.org/surv-103 |총서= Mathematical Surveys and Monographs |권= 103 |출판사= American Mathematical Society |날짜= 2003 |isbn= 978-0-8218-3404-6 |doi= 10.1090/surv/103 |mr= 1990857 |언어= en |확인날짜= 2018-06-07 |보존url= https://web.archive.org/web/20180612142706/https://bookstore.ams.org/surv-103 |보존날짜= 2018-06-12 |url-status= dead }}</ref><ref>{{저널 인용|제목=On category, in the sense of Lusternik-Schnirelmann |이름=I. M. | 성=James | 저널=Topology |권=17|호=4|날짜=1978|쪽=331–348| doi=10.1016/0040-9383(78)90002-2 | 언어=en}}</ref> 거칠게 말하면 공간이 얼마나 복잡한지를 나타내는 척도 중 하나라고 할 수 있다.

== 정의 ==
류스테르니크-시니렐만 범주의 개념은 여러 가지로 정의될 수 있으며, 이 정의들은 [[CW 복합체]]와 [[호모토피 동치]]인 위상 공간에 대해서는 서로 일치한다.

=== 열린 덮개를 통한 정의 ===
[[CW 복합체]]와 [[호모토피 동치]]인 <math>X</math>로 정의된 [[점을 가진 공간]] <math>(X,\bullet_X)</math>가 주어졌으며 <math>\bullet_X \hookrightarrow X</math>가 [[쌍대올뭉치]]라고 하자.

<math>(X,\bullet)</math>의 '''류스테르니크-시니렐만 범주''' <math>\operatorname{cat}(X)</math>를 다음 조건을 만족시키는 최소의 [[자연수]] <math>\kappa</math>로 정의한다.
: 조건: <math>X</math>를 덮는 어떤 <math>(\kappa+1)</math> 개의 [[열린 덮개]] <math>(U_i,\bullet_X)_{0\le i\le \kappa}</math>가 존재해서, 모든 포함 함수 <matH>U_i\hookrightarrow X</math>가 [[상수 함수]]와 [[호모토피 동치]]이다.
만약 위와 같은 자연수가 존재하지 않는다면, <math>\operatorname{cat}(X)=\infty</math>로 놓는다.

일부 문헌에서는 류스테르니크-시니렐만 범주를 <math>\kappa</math> 대신 <math>(\kappa + 1)</math>로 정의한다.

=== 화이트헤드의 정의 ===
[[영 대상]]([[시작 대상]]이자 [[끝 대상]]인 대상)을 갖는 [[모형 범주]] <math>\mathcal C</math>가 주어졌다고 하자. 이 [[모형 범주]]에서, 다음과 같은 성질을 생각할 수 있다.
:'''육면체 공리'''({{llang|en|cube axiom}}): 임의의 [[정육면체]] 꼴의 호모토피 가환 그림
::[[파일:Hasse diagram of powerset of 3.png|300px]]
:에서, 만약 윗면({y}–{x,y}–{x,y,z}–{y,z})이 호모토피 [[밂 (범주론)|밂]]이며 모든 네 옆면들이 호모토피 [[당김 (범주론)|당김]]이라면, 밑면 (ø–{x}–{x,z}–{z}) 역시 호모토피 [[밂 (범주론)|밂]]이다.
(육면체 공리는 [[점을 가진 공간]]의 [[모형 범주]] <math>\operatorname{Top}\backslash\bullet</math>의 경우 성립한다. 육면체 공리는 자기 쌍대 조건이 아니다. 예를 들어 [[점을 가진 공간]]의 범주의 [[반대 범주]]인 <math>(\operatorname{Top}\backslash\bullet)^{\operatorname{op}}</math>는 <math>\operatorname{Top}\backslash\bullet</math>와 마찬가지로 [[영 대상]]을 갖는 [[모형 범주]]지만 육면체 공리는 성립하지 않는다.)

이러한 모형 범주에서, [[올대상]]이자 [[쌍대올대상]]인 대상 <math>X</math>의 <math>n</math>차 '''부케가르니'''({{llang|fr|bouquet garni}}) 또는 '''뚱뚱한 쐐기합'''({{llang|en|fat wedge}}) <math>T^n \to X^n</math>은 다음과 같이 재귀적으로 정의되는 대상이다.
* <math>T_1 \simeq \bullet</math>이다.
* <math>T_n \to X^n</math>이 주어졌을 때, <math>T_{n+1} \to X^{n+1}</math>은 [[모형 범주]] <math>\mathcal C/X^{n+1}</math>에서의, 다음과 같은 꼴의 호모토피 [[밂 (범주론)|밂]]이다.
:<math>\begin{matrix}
T_n \times \bullet & \to & X^n \times \bullet \\
\downarrow && \downarrow \\
T_n \times X & \to & T_{n+1}
\end{matrix}</math>
특히, 다음이 성립한다.
:<math>T_2 \simeq X\vee X</math> (스스로와의 [[쌍대곱]])

[[점을 가진 공간]]의 범주에서, 부케가르니는 구체적으로 다음과 같은 꼴로 주어진다.
:<math>T_n = \bigcup_{i=0}^{n-1} X^i \times \{\bullet\} \times X^{n-i-1} \subseteq X^n</math>
즉, 이는 <math>T_n</math>은 [[곱공간]] <math>X^n</math>에서, 적어도 한 좌표가 밑점 <math>\bullet</math>이 되는 점들로 구성된 [[부분 공간]]이다.

<math>(X,\bullet)</math>의 '''류스테르니크-시니렐만 범주'''는 다음 그림을 호모토피 가환 그림으로 만드는 [[연속 함수]] <math>f \colon X\to T_n</math>가 존재하는 최소의 자연수 <math>n</math>이다.
:<math>\begin{matrix}
X & \overset f \to & T_n \\
\| & & \downarrow \\
X & \underset{\operatorname{diag}}\to & X^n
\end{matrix}</math>
여기서 <math>\operatorname{diag} \colon X \to X^n</math>은 [[대각 사상]]이다.

=== 가네아의 정의 ===
[[영 대상]]을 가지며 육면체 공리를 따르는 [[모형 범주]] <math>\mathcal C</math>를 생각하자.

[[올대상]]이자 [[쌍대올대상]]인 대상 <math>X</math>에 대하여, '''가네아 구성'''은 다음과 같은 [[올뭉치]]들의 가환 그림이다.
:<math>\begin{matrix}
F_0 & \hookrightarrow & G_0 & \twoheadrightarrow & X \\
\downarrow && \downarrow && \| \\
F_1 & \hookrightarrow & G_1 & \twoheadrightarrow & X \\
\downarrow && \downarrow && \| \\
F_2 & \hookrightarrow & G_2 & \twoheadrightarrow & X \\
\downarrow && \downarrow && \| \\
\vdots && \vdots && \vdots
\end{matrix}</math>
여기서
* <math>G_0 \simeq \bullet</math>이다.
* 다음과 같은 네모들은 호모토피 [[당김 (범주론)|당김]]이다. (즉, <math>F_n</math>은 [[올뭉치]] <math>G_n\twoheadrightarrow X</math>의 호모토피 올이다.)
*: <math>
\begin{matrix}
F_n & \hookrightarrow & G_n \\
\downarrow & & \downarrow \\
\bullet & \to & X
\end{matrix}
</math>
* 다음과 같은 네모들은 [[모형 범주]] <math>\mathcal C/X</math>에서의 호모토피 [[밂 (범주론)|밂]]이다.
*: <math>
\begin{matrix}
F_n & \hookrightarrow & G_n \\
\downarrow & & \downarrow \\
\bullet & \to & G_{n+1}
\end{matrix}
</math>

이를 '''가네아 올뭉치'''({{llang|en|Ganea fibrations}})라고 한다. 이제, <math>X</math>의 '''류스테르니크-시니렐만 범주''' <math>\operatorname{cat}(X)</math>는
:<math>\pi_n \colon G_n \to X</math>
이 [[호모토피 범주]]에서 [[오른쪽 역사상]](즉, 단면) <math>X\to G_n</math>을 가질 수 있는 최소의 [[자연수]] <math>n</math>이다.

[[점을 가진 공간]]의 범주에서, <math>G_0</math>은 [[경로 공간]] <math>\operatorname{Path}(X) = \hom_{\operatorname{Top}\backslash\bullet}(\mathbb I,X)</math>으로 잡을 수 있으며, 그 호모토피 올은 [[고리 공간]] <math>F_0 = \Omega X = \hom_{\operatorname{Top}\backslash\bullet}(\mathbb S^1,X)</math>이다. 이 경우
:<math>F_n = (\Omega X)^{\star n}</math>
으로 잡을 수 있다.<ref>{{저널 인용|이름=Tudor|성=Ganea|제목= A generalization of the homology and homotopy suspension|저널= Commentarii Mathematici Helvetici |권=39 |날짜=1965|doi=10.1007/BF02566956|mr= 0179791|언어=en}}</ref> (여기서 <math>\star</math>는 두 위상 공간의 [[이음 (위상수학)|이음]]이다.) 또한, 이 경우
:<math>G_1 = \Sigma \Omega X</math>
로 잡을 수 있다. 여기서 <math>\Sigma</math>는 [[축소 현수]]이다.

=== 정의 사이의 관계 ===
영대상을 가지며 육면체 공리를 따르는 모형 범주가 주어질 경우, [[올대상]]이자 [[쌍대올대상]]인 대상에 대하여 류스테르니크-시니렐만 범주의 화이트헤드 정의와 가네아 정의는 서로 일치한다.<ref name="DEH">{{저널 인용|doi=10.4153/CMB-2006-005-4 | 이름=Jean-Paul |성=Doeraene|이름2=Mohammed|성2= El Haouari|제목=The Ganea and Whitehead variants of the Lusternik–Schnirelmann Category|url=https://archive.org/details/sim_canadian-mathematical-bulletin_2006-03_49_1/page/n42 |저널=Canadian Mathematical Bulletin |issn=0008-4395|권=49|호=1|날짜=2006-03|쪽= 41–54|언어=en}}</ref> 또한 그 범주가 <math>\operatorname{Top}\backslash\bullet</math>일 경우, [[CW 복합체]]와 [[호모토피 동치]]인 위상 공간에 대하여 [[열린 덮개]]를 통한 정의와 일치한다.

== 성질 ==
류스테르니크-시니렐만 범주는 [[호모토피 불변량]]이다. 즉, 서로 [[호모토피 동치]]인 두 위상 공간은 같은 류스테르니크-시니렐만 범주를 갖는다.

=== 연산에 대한 호환 ===
다음이 성립한다. (여기서 <math>\vee</math>는 [[점을 가진 공간]]의 [[쐐기합]]이다.)
:<math>\operatorname{cat}(X\vee Y) = \max\{\operatorname{cat}(X), \operatorname{cat}(Y)\}</math><ref name="CLOT"/>{{rp|14, Proposition 1.27(2), §1.4}}
:<math>\operatorname{cat}(X\times Y) \le \operatorname{cat}(X) + \operatorname{cat}(Y)</math><ref name="CLOT"/>{{rp|18, Theorem 1.37, §1.5}}

만약 사상 <math>f\colon X\to Y</math>가 호모토피 [[오른쪽 역사상]]을 갖는다면, <math>\operatorname{cat}(X) \ge \operatorname{cat}(Y)</math>이다.<ref name="CLOT"/>{{rp|15, Lemma 1.29, §1.4}}

[[올뭉치]]
:<math>F\hookrightarrow E \twoheadrightarrow B</math>
에 대하여,
:<math>\operatorname{cat}(E) \le (\operatorname{cat}(F)+1)(\operatorname{cat}(B)+1) - 1</math>
이다.<ref name="CLOT"/>{{rp|19, Theorem 1.41, §1.5}}

임의의 [[점을 가진 공간]] <math>(Z,\bullet)</math>의, 크기 2의 [[열린 덮개]]
:<math>X, Y \subseteq Z</math>
:<math>\bullet \in X\cap Y</math>
:<math> X \cup Y = Z</math>
가 주어졌다고 하면, 다음이 성립한다.
:<math>\operatorname{cat}(X\cup Y) \le \operatorname{cat}(X) + \operatorname{cat}(Y) + 1</math><ref name="CLOT"/>{{rp|14, Proposition 1.27(1), §1.4}}

=== 차원과의 관계 ===
위상 공간 <math>X</math>가 <math>(k-1)</math>-연결 공간이라고 하자. 즉,
:<math>\pi_i(X) = 0 \qquad\forall i \in\{0,1,\dotsc,k-1\}</math>
라고 하자. 그렇다면, 다음이 성립한다.
:<math>\operatorname{cat}(X) \le \frac {\dim X}k</math>
여기서 <math>\dim X</math>는 <math>X</math>의 [[르베그 덮개 차원]]이다. ([[다양체]]의 경우 이는 물론 다양체 차원과 일치한다.)

=== 모스 이론과의 관계 ===
[[연결 공간|연결]] [[콤팩트 공간|콤팩트]] [[매끄러운 다양체]] <math>M</math> 위의 [[연속 미분 가능 함수]] <math>f\colon M\to\mathbb R</math>의 [[임계점]]의 집합
:<math>\operatorname{Crit}(f) = \{x\in M \colon \mathrm df = 0 \}</math>
의 [[집합의 크기|크기]] − 1은 류스테르니크-시니렐만 범주의 [[상계 (수학)|상계]]를 이룬다.<ref name="CLOT"/>{{rp|Theorem 1.15}}
:<math>|\operatorname{Crit}(f)| \ge \operatorname{cat}(M) + 1</math>

<div class="mw-collapsible mw-collapsed toccolours">
'''증명 개략:'''<ref name="Weber">{{저널 인용|제목=Conley pairs in geometry — Lusternik–Schnirelmann theory and more | 이름=Joa|성=Weber | 날짜=2017 | bibcode=v |arxiv=1709.05010 | 언어=en}}</ref>
<div class="mw-collapsible-content">
<math>\operatorname{Crit}(f) = \infty</math>일 경우엔 부등식이 자명하게 성립하므로 <math>f</math>가 유한 개의 임계점만을 가질 경우만 확인하면 충분하다.

<math>M</math>에 임의의 [[리만 다양체]] 구조를 주고, <math>f</math>의 기울기 흐름
:<math>\frac{\mathrm d}{\mathrm dt}\phi_t (x) = \mathrm d^\# f|_{\phi_t(x)}</math>
을 생각하자. 그렇다면, 각 임계점 <math>c\in\operatorname{Crit}f</math>에 대하여
:<math>W_c = \left\{x\in M \colon \lim_{t\to\infty}\phi_t(x) = c\right\}</math>
를 정의하자. <math>M</math>이 콤팩트 공간이며 임계점들이 유한 개 밖에 없기 때문에, 이들은 <math>M</math>의 [[덮개 (위상수학)|덮개]]를 정의한다. 그 원소들은 [[닫힌집합]]이며, 또한 기울기 흐름의 존재에 의하여 <math>W_ c\hookrightarrow M</math>은 모두 [[상수 함수]] <math>W_c \to \{c\} \subseteq M</math>와 [[호모토피 동치]]이다.

이제, 각 <math>W_c</math>에 대하여, <math>\tilde W_c \supseteq W_c</math>이며, 호모토피 성질을 보존하는 [[열린 근방]] <math>\tilde W_c</math>을 찾을 수 있음을 보일 수 있다.<ref name="Weber"/>{{rp|Proposition 2.5(ⅰ)}} 즉, <math>(\tilde W_c)_{c\in\operatorname{Crit}(f)}</math>는 류스테르니크-시니렐만 범주의 정의에 등장하는 조건을 만족시키는 [[열린 덮개]]이다.
</div></div>

예를 들어, 초구 <math>\mathbb S^n</math>을 [[유클리드 공간]] <math>\mathbb R^{n+1}</math> 위의 단위구로 놓았을 때, 높이 함수는 두 개의 임계점(북극과 남극)을 갖는다. 초구의 류스테르니크-시니렐만 범주는 1이므로, 등호가 성립한다.

이 성질은 [[모스 이론]]과 유사하다. 그러나 모스 이론은 [[모스 함수]]의 임계점의 수의 하한에 대한 것이지만, 류스테르니크-시니렐만 범주는 모든 [[연속 미분 가능 함수]]의 임계점의 수에 대한 것이다.

=== 코호몰로지 길이와의 관계 ===
일반적으로, 위상 공간 <math>X</math>의, <math>n</math>개의 축소 [[특이 코호몰로지]]류들의 [[합곱]]이 0이 아니라고 하자.
:<math>\alpha_1,\dotsc,\alpha_n\in\operatorname{\tilde H}(X)</math>
:<math>\{\alpha_1,\dotsc,\alpha_n\} \not\ni 0</math>
:<math>\alpha_1\smile \dotsb\smile \alpha_n \ne 0</math>
그렇다면,
:<math>\operatorname{cat}(X) \ge n</math>
이다.

=== 유리수 류스테르니크-시니렐만 범주 ===
[[유리수체]] 위의 [[가환 미분 등급 대수]]의 [[모형 범주]] <math>\operatorname{cdgAlg}_{\mathbb Q}</math>를 생각하자. 그렇다면, [[조각 범주]]
:<math>\operatorname{cdgAlg}_{\mathbb Q}/\mathbb Q</math>
는 [[영 대상]]을 가지는 [[모형 범주]]이며, 육면체 공리를 따른다. 따라서, 이 범주 위에서 류스테르니크-시니렐만 범주를 정의할 수 있다. ([[CW-복합체]]와 [[호모토피 동치]]이며, 점 포함 사상이 [[쌍대올뭉치]]인) [[점을 가진 공간]] <math>\{\bullet\}\hookrightarrow X</math>에 대하여, 이에 대응되는 [[가환 미분 등급 대수]] <Math>A\to\mathbb Q</math>의 류스테르니크-시니렐만 범주를
:<math>\operatorname{cat}_0(X)</math>
라고 표기하자. 이는 사실 <math>X</math>와 유리수 호모토피 동치인 [[점을 가진 공간]]의 류스테르니크-시니렐만 범주의 최솟값이다.<ref name="Hess">{{저널 인용|이름=Kathryn|성=Hess|제목=Rational homotopy theory: a brief introduction|url=https://archive.org/details/arxiv-math0604626|arxiv=math/0604626|날짜=2006|bibcode=2006math......4626H|언어=en}}</ref>{{rp|§2.3}} 특히, 다음이 항상 성립한다.
:<math>\operatorname{cat}_0(X) \le \operatorname{cat}(X)</math>
또한, 만약 <math>X</math>와 <math>Y</math>가 [[단일 연결 공간]]이며, 그 [[최소 설리번 대수]]들이 등급별 유한 차원이라고 하자. 그렇다면, 다음이 성립한다.<ref name="Hess"/>{{rp|Theorem 2.19}}
:<math>\operatorname{cat}_0(X \times Y) = \operatorname{cat}_0(X) + \operatorname{cat}_0(Y)</math>

== 예 ==
{| class=wikitable
! [[점을 가진 공간]] !! 류스테르니크-시니렐만 범주
|-
| [[축약 가능 공간]]<ref name="CLOT"/>{{rp|3, Example 1.6(1)}} || 0
|-
| [[초구]]<ref name="CLOT"/>{{rp|3, Example 1.6(2)}} <math>\mathbb S^n</math>, <math>n\ge1</math> || 1
|-
| [[축약 가능 공간|축약 불가능]]한 [[현수 (위상수학)|현수]] <math>\Sigma X</math><ref name="CLOT"/>{{rp|Example 1.6(2)}} || 1
|-
| [[원환면]]<ref name="CLOT"/>{{rp|4, Example 1.8(1)}} <math>\mathbb T^n</math> || <math>n</math>
|-
| [[실수 사영 공간]]<ref name="CLOT"/>{{rp|4, Example 1.8(2)}} <math>\operatorname{\mathbb RP}^n</math> || <math>n</math>
|-
| [[복소수 사영 공간]]<ref name="CLOT"/>{{rp|16, Example 1.33}} <math>\operatorname{\mathbb CP}^n</math> || <math>n</math>
|-
| 종수 <math>g</math>의 [[가향 다양체|가향]] 콤팩트 곡면 <math>\Sigma_g</math> || <math>\min\{g,2\}</math>
|-
| 콤팩트 [[단일 연결]] [[심플렉틱 다양체]] <math>M</math><ref name="CLOT"/>{{rp|44, Exercise 1.20}} || <math>(\dim M)/2</math>
|-
| <math>\mathbb S^2 \times \mathbb T^2</math><ref name="CLOT"/>{{rp|19, Example 1.38}} || 3
|}

<div class="mw-collapsible mw-collapsed toccolours">
'''콤팩트 [[단일 연결]] [[심플렉틱 다양체]] <math>(M,\omega)</math>에 대하여 <math>\operatorname{cat}M = (\dim M)/2</math>의 증명:'''<ref name="CLOT"/>{{rp|44, Exercise 1.20}}
<div class="mw-collapsible-content">
[[심플렉틱 형식]] <math>\omega\in\Omega^2(M)</math>의 [[드람 코호몰로지]]류
:<math>[\omega]\in\operatorname H^2(M;\mathbb R)</math>
를 생각하자. 그렇다면,
:<math>0 \ne [\omega]^{(\dim M)/2} \in \operatorname H^{\dim M}(M;\mathbb R)</math>
이다. (이는 [[부피 형식]]을 이룬다.) 따라서 <math>M</math>의 코호몰로지 길이는 <math>(\dim M)/2</math> 이상이며,
:<math>\frac{\dim M}2\le\operatorname{cat}M</math>
이다. 반면, <math>M</math>이 [[단일 연결 공간]]이므로 <math>\operatorname{cat}M \le (\dim M)/2</math>이다.
</div></div>

== 역사 ==
[[파일:Lyusternik.jpg|섬네일|[[라자리 류스테르니크]]]]

[[라자리 류스테르니크]]와 [[레프 시니렐만]]이 도입하였다.<ref>{{서적 인용|이름=L.|성=Lusternik|장=Sur quelques méthodes topologiques dans la géométrie différentielle | 제목=Atti del IV Congresso internazionale dei matematici (Bologna, 1928) |권= 4 |출판사=N. Zanichelli |날짜=1931|쪽= 291–296|jfm= 57.0729.01 |언어=fr |url=https://www.mathunion.org/fileadmin/ICM/Proceedings/ICM1928.4/ICM1928.4.ocr.pdf }}</ref><ref>{{저널 인용| 이름=Лазарь Аронович |성=Люстерник | 이름2=Лев Генрихович|성2=Шнирельман | 제목=Топологические методы в вариационных задачах и их приложения к дифференциальной геометрии поверхностей |저널=Успехи математических наук | 권=2 |호=1|날짜=1947|쪽=166–217|mr=29532 | 언어=ru |url=http://www.mathnet.ru/links/6e45d0c67aba9b89b35bb13e8a8811ad/rm6924.pdf }}</ref> 두 명의 공동 논문은 시니렐만의 사후인 1947년에 처음 출판되었다. 그들은 위상 공간의 LS 범주와 그 공간 위의 연속 함수의 [[임계점]]의 수의 관계를 밝힘으로써 [[위상수학]]과 [[미분기하학]] 사이에 관계가 있음을 알아냈다. 그들은 공간의 성질을 나타내는 이 불변량에 ‘범주’({{lang|fr|catégorie}}, {{lang|ru|категорий}})라는 이름을 붙였는데, 이는 [[범주론]]의 범주와는 관련이 없고 당시는 아직 범주론이 정립되기 전이었다.

부케가르니를 통한 류스테르니크-시니렐만 범주의 정의는 {{임시링크|조지 윌리엄 화이트헤드|label=조지 윌리엄 화이트헤드 2세|en|George W. Whitehead}}가 도입하였다. 가네아 구성을 통한 류스테르니크-시니렐만 범주의 정의는 {{임시링크|투도르 가네아|en|Tudor Ganea}}가 도입하였다.

1971년 가네아는 LS 범주에 관한 명제인 [[가네아 추측]]을 제안했다. 하지만 1998년에 이와세 노리오({{llang|ja|岩瀬 則夫}})가 이 추측에 대한 반례를 발견하였다.<ref>{{저널 인용|first=Norio |last=Iwase |title=Ganea’s conjecture on Lusternik–Schnirelmann category |journal=Bulletin of the London Mathematical Society |volume=30 |year=1998 |issue=6 |pages=623–634 |doi=10.1112/S0024609398004548 |mr=1642747 | 언어=en }}</ref>

== 같이 보기 ==
* [[가네아 추측]]
* [[단면 범주]] - 류스테르니크-시니렐만 범주를 [[올다발]]에 대해 일반화한 개념.

== 각주 ==
{{각주}}

== 외부 링크 ==
* {{eom|title=Category (in the sense of Lyusternik-Shnirel'man)}}

[[분류:대수적 위상수학]]
[[분류:모스 이론]]