룽게-쿠타 방법의 목록 문서 원본 보기

{{위키데이터 속성 추적}}
'''[[룽게-쿠타 방법]]'''은 다음 [[상미분방정식]]의 수치해법이다
: <math>\frac{d y}{d t} = f(t, y)</math>
이 수치해법은 다음의 형태를 가진다.


: <math>y_{n+1} = y_n + h \sum_{i=1}^s b_i k_i</math>
: <math>k_1 = f(t_n, y_n), </math>
: <math>k_2 = f(t_n+c_2h, y_n+h(a_{21}k_1)), </math>
: <math>k_3 = f(t_n+c_3h, y_n+h(a_{31}k_1+a_{32}k_2)), </math>
: <math>\vdots </math>
: <math>k_i = f\left(t_n + c_i h, y_n + h \sum_{j = 1}^{i-1} a_{ij} k_j\right), </math>

이 문서에 있는 모든 방법은 다음과 같이 계수를 배열한 [[룽게-쿠타 방법|Butcher 테이블]]로 정의하였다:
: <math>
\begin{array}{c|cccc}
c_1    & a_{11} & a_{12}& \dots & a_{1s}\\
c_2    & a_{21} & a_{22}& \dots & a_{2s}\\
\vdots & \vdots & \vdots& \ddots& \vdots\\
c_s    & a_{s1} & a_{s2}& \dots & a_{ss} \\
\hline
       & b_1    & b_2   & \dots & b_s\\
\end{array}
</math>

== 명시적 방법 ==
명시적 방법은 행렬 <math>[a_{ij}]</math>이 [[삼각행렬|하삼각행렬]]인 방법이다.

=== 오일러 ===
[[오일러 방법]]은 일차이다. 안정성과 정확성이 부족하기 때문에 주로 수치 해석 방법의 간단한 예제로 사용한다.
: <math>
\begin{array}{c|c}
0 & 0 \\
\hline
  & 1 \\
\end{array}
</math>

=== 명시적 중간점 방법 ===
(명시적) [[중간점 방법]]은 두 단계의 이차 방법이다(아래의 암시적 중간점 방법을 보라):
: <math>
\begin{array}{c|cc}
0   & 0   & 0  \\
1/2 & 1/2 & 0  \\
\hline
    & 0   & 1  \\
\end{array}
</math>

=== 호인의 방법 ===
[[호인의 방법]]은 두 단계의 이차 방법이다(또한 명시적 사다리꼴 공식으로도 알려져 있다):
: <math>
\begin{array}{c|cc}
0   & 0   & 0  \\
1 & 1 & 0  \\
\hline
    & 1/2 & 1/2  \\
\end{array}
</math>

=== 랄스톤 방법 ===
랄스톤 방법은 두 단계 이차 방법이고 최소 지역오차 경계가 있다:
: <math>
\begin{array}{c|cc}
0   & 0   & 0  \\
2/3 & 2/3 & 0  \\
\hline
    & 1/4   & 3/4  \\
\end{array}
</math>

=== 일반적인 이차 방법 ===
: <math>
\begin{array}{c|ccc}
0   & 0   & 0   \\
x & x & 0   \\
\hline
    & 1-\frac{1}{2x} & \frac{1}{2x} \\
\end{array}
</math>

=== 쿠타 삼차 방법 ===
: <math>
\begin{array}{c|ccc}
0   & 0   & 0   & 0    \\
1/2 & 1/2 & 0   & 0    \\
1   & -1  & 2   & 0    \\
\hline
    & 1/6 & 2/3 & 1/6  \\
\end{array}
</math>

=== 고전적 사차 방법 ===
"원조" 룽게-쿠타 방법이다.
: <math>
\begin{array}{c|cccc}
0   & 0   & 0   & 0   & 0\\
1/2 & 1/2 & 0   & 0   & 0\\
1/2 & 0   & 1/2 & 0   & 0\\
1   & 0   & 0   & 1   & 0\\
\hline
    & 1/6 & 1/3 & 1/3 & 1/6\\
\end{array}
</math>

=== 3/8-규칙 사차 방법 ===
이 방법은 "고전적" 방법만큼 악명높진 않지만 같은 논문에서 제시되었기 때문에 동일하게 고전적이다(Kutta, 1901).
: <math>
\begin{array}{c|cccc}
0   & 0   & 0   & 0   & 0\\
1/3 & 1/3 & 0   & 0   & 0\\
2/3 & -1/3   & 1 & 0   & 0\\
1   & 1   & -1   & 1   & 0\\
\hline
    & 1/8 & 3/8 & 3/8 & 1/8\\
\end{array}
</math>

== 내장형 방법 ==
내장형 방법은 룽게-쿠타 한 단계의 지역 절단 오차를 계산하기 위해 설계되었고, 결과로 [[적응형 단계 크기]]로 오차를 조절할 수 있게 되었다. 이것은 테이블에 있는 p차와 p-1차의 두 방법을 사용한다.

낮은차수의 단계는 다음과 같다
: <math>    y^*_{n+1} = y_n + h\sum_{i=1}^s b^*_i k_i, </math>
이때 <math>k_i</math>는 고차 방법과 같다. 그러면 오차는 다음과 같다
: <math>    e_{n+1} = y_{n+1} - y^*_{n+1} = h\sum_{i=1}^s (b_i - b^*_i) k_i, </math>
이 오차는 <math>O(h^p)</math>. 이런 종류의 방법의 Butcher 테이블은 <math>b^*_i</math>
: <math>
\begin{array}{c|cccc}
c_1    & a_{11} & a_{12}& \dots & a_{1s}\\
c_2    & a_{21} & a_{22}& \dots & a_{2s}\\
\vdots & \vdots & \vdots& \ddots& \vdots\\
c_s    & a_{s1} & a_{s2}& \dots & a_{ss} \\
\hline
       & b_1    & b_2   & \dots & b_s\\
       & b_1^*    & b_2^*   & \dots & b_s^*\\
\end{array}
</math>

=== 호인-오일러 ===
가장 간단한 적응형 룽게-쿠타 방법은 이차인 호인의 방법과 일차인 오일러 방법을 결합한 것이다. 확장된 Butcher 테이블은 다음과 같다:
: <math>
\begin{array}{c|cc}
	0&\\
	1& 	1 \\
\hline
&	1/2& 	1/2\\
	&	1 &	0
\end{array}
</math>
추정 오차는 단계크기를 조절하는데 사용된다.

=== 펠베르크 RK1(2) ===
[[펠베르크 방법]]<ref>{{저널 인용|last=Fehlberg|first=E.|date=1969-07-01|title=Low-order classical Runge-Kutta formulas with stepsize control and their application to some heat transfer problems|url=https://ntrs.nasa.gov/search.jsp?R=19690021375}}</ref>은 일차와 이차의 두 방법을 가진다. 확장된 Butcher 테이블은 다음과 같다:
{| cellpadding="3px" cellspacing="0px" style="margin-bottom: 10px;"
| style="border-right:1px solid;" | 0
|- 
| style="border-right:1px solid;" | 1/2
| 1/2
|- 
| style="border-right:1px solid; border-bottom:1px solid;" |1
| style="border-bottom:1px solid;" |1/256
| style="border-bottom:1px solid;" |255/256
|- 
|1/256
|255/256
|0
|-
|1/512
|255/256
|1/512
|}
''b'' 계수의 첫 줄은 일차 정확한 해를 주고, 두 번째 줄은 이차이다.

=== 보가키–샴폐인 ===
[[보가키-샴폐인 방법]]은 이차와 삼차의 두 방법이다. 확장된 Butcher 테이블은 다음과 같다:
{| cellpadding="3px" cellspacing="0px" style="margin-bottom: 10px;"
| style="border-right:1px solid;" | 0
|- 
| style="border-right:1px solid;" | 1/2
| 1/2
|- 
| style="border-right:1px solid;" | 3/4
| 0
| 3/4
|- 
| style="border-right:1px solid; border-bottom:1px solid;" | 1
| style="border-bottom:1px solid;" | 2/9
| style="border-bottom:1px solid;" | 1/3
| style="border-bottom:1px solid;" | 4/9
|- 
| 2/9
| 1/3
| 4/9
| 0
|-
| 7/24
| 1/4
| 1/3
| 1/8
|}
''b'' 계수의 첫 줄은 삼차 정확한 해를 주고, 두 번째 줄은 이차이다.

=== 펠베르크 ===
[[룽게-쿠타-펠베르크 방법]]은 5차와 4차의 두 방법이다. 확장된 Butcher 테이블은 다음과 같다:
{| cellpadding="3px" cellspacing="0px" style="margin-bottom: 10px;"
| style="border-right:1px solid;" | 0
|- 
| style="border-right:1px solid;" | 1/4
| 1/4
|- 
| style="border-right:1px solid;" | 3/8
| 3/32
| 9/32
|- 
| style="border-right:1px solid;" | 12/13
| 1932/2197
| −7200/2197
| 7296/2197
|- 
| style="border-right:1px solid;" | 1
| 439/216
| −8
| 3680/513
| −845/4104
|- 
| style="border-right:1px solid; border-bottom:1px solid;" | 1/2
| style="border-bottom:1px solid;" | -8/27
| style="border-bottom:1px solid;" | 2
| style="border-bottom:1px solid;" | −3544/2565
| style="border-bottom:1px solid;" | 1859/4104
| style="border-bottom:1px solid;" | −11/40
|-
| 16/135
| 0
| 6656/12825
| 28561/56430
| −9/50
| 2/55
|- 
| 25/216
| 0
| 1408/2565
| 2197/4104
| −1/5
| 0
|}
''b'' 계수의 첫 줄은 5차 정확한 해를 주고, 두 번째 줄은 4차이다.

=== 캐쉬-카프 ===
캐쉬와 카프는 펠버그의 원래 아이디어를 수정했다. [[캐쉬-카프 방법]]의 확장된 테이블은 다음과 같다:
{| cellpadding="3px" cellspacing="0px" style="margin-bottom: 10px;"
| style="border-right:1px solid;" | 0
|- 
| style="border-right:1px solid;" | 1/5
| 1/5
|- 
| style="border-right:1px solid;" | 3/10
| 3/40
| 9/40
|- 
| style="border-right:1px solid;" | 3/5
| 3/10
| −9/10
| 6/5
|- 
| style="border-right:1px solid;" | 1
| −11/54
| 5/2
| −70/27
| 35/27
|- 
| style="border-right:1px solid; border-bottom:1px solid;" | 7/8
| style="border-bottom:1px solid;" | 1631/55296
| style="border-bottom:1px solid;" | 175/512
| style="border-bottom:1px solid;" | 575/13824
| style="border-bottom:1px solid;" | 44275/110592
| style="border-bottom:1px solid;" | 253/4096
|- 
| 37/378
| 0
| 250/621
| 125/594
| 0
| 512/1771
|-
| 2825/27648
| 0
| 18575/48384
| 13525/55296
| 277/14336
| 1/4
|}
''b'' 계수의 첫 줄은 5차 정확한 해를 주고, 두 번째 줄은 4차이다.

=== 도르몬드–프린스 ===
[[도르몬드-프린스 방법]]의 확장된 테이블은 다음과 같다
{| cellpadding="3px" cellspacing="0px" style="margin-bottom: 10px;"
| style="border-right:1px solid;" | 0
|- 
| style="border-right:1px solid;" | 1/5
| 1/5
|- 
| style="border-right:1px solid;" | 3/10
| 3/40
| 9/40
|- 
| style="border-right:1px solid;" | 4/5
| 44/45
| −56/15
| 32/9
|- 
| style="border-right:1px solid;" | 8/9
| 19372/6561
| −25360/2187
| 64448/6561
| −212/729
|- 
| style="border-right:1px solid;" | 1
| 9017/3168
| −355/33
| 46732/5247
| 49/176
| −5103/18656
|-
| style="border-right:1px solid; border-bottom:1px solid;" | 1
| style="border-bottom:1px solid;" | 35/384
| style="border-bottom:1px solid;" | 0
| style="border-bottom:1px solid;" | 500/1113
| style="border-bottom:1px solid;" | 125/192
| style="border-bottom:1px solid;" | −2187/6784
| style="border-bottom:1px solid;" | 11/84
|-
| 35/384
| 0
| 500/1113
| 125/192
| −2187/6784
| 11/84
| 0
|- 
| 5179/57600
| 0
| 7571/16695
| 393/640
| −92097/339200
| 187/2100
| 1/40
|}
''b'' 계수의 첫 줄은 5차 정확한 해를 주고, 두 번째 줄은 4차이다.

== 암시적 방법 ==

=== 역 오일러 ===
[[역 오일러 방법]]은 일차이다. 선형 확장 문제에 대해서 조건적 안정하고 진동이 없다.
: <math>
\begin{array}{c|c}
1 & 1 \\
\hline
  & 1 \\
\end{array}
</math>

=== 암시적 중간점 ===
암시적 중간점 방법은 이차이다. 이것은 [[배열]] 방법 중 [[가우스-르장드르 방법|가우스 방법]]이라는 그룹에서 가장 간단한 방법이다. 이는 [[사교 적분자]]이다.
: <math>
\begin{array}{c|c}
1/2 & 1/2 \\
\hline
 & 1
\end{array}
</math>

=== 가우스-르장드르 방법 ===
이 방법들은 가우스-르장드르 구적법에 기반하고 있다. 4차 가우스-르장드르 방법의 Butcher 테이블은 다음과 같다:
: <math>
\begin{array}{c|cc}
\frac{1}{2}-\frac{\sqrt3}{6} & \frac{1}{4} & \frac{1}{4}-\frac{\sqrt3}{6}  \\
\frac{1}{2}+\frac{\sqrt3}{6}  & \frac{1}{4}+\frac{\sqrt3}{6} &\frac{1}{4} \\
\hline
    & \frac{1}{2} & \frac{1}{2}\\
    & \frac12+\frac12 \sqrt3 & \frac12-\frac12 \sqrt3 \\
\end{array}
</math>
6차 가우스-르장드르 방법의 Butcher 테이블은 다음과 같다:
: <math>
\begin{array}{c|ccc}
\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{15}}{10}   & \frac{5}{36} &  \frac{2}{9}- \frac{\sqrt{15}}{15} & \frac{5}{36} - \frac{\sqrt{15}}{30} \\
\frac{1}{2} & \frac{5}{36} + \frac{\sqrt{15}}{24} & \frac{2}{9} & \frac{5}{36} - \frac{\sqrt{15}}{24}\\
\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{15}}{10} & \frac{5}{36} + \frac{\sqrt{15}}{30} & \frac{2}{9} + \frac{\sqrt{15}}{15} & \frac{5}{36}  \\
\hline
    & \frac{5}{18} & \frac{4}{9} & \frac{5}{18}  \\
    & -\frac56 & \frac83 & -\frac56
\end{array}
</math>

=== 로바토 방법 ===
로바토 방법의 주요 세 방법은 IIIA, IIIB 그리고 IIIC로 불린다(고전 [[수학]] 문헌에서 기호 I과 II는 라다우 방법의 주 종류에 예약되어 있었다). 이것들은 [[리후엘 로바토]](Rehuel Lobatto)의 이름을 따왔다. 모두 암시적 방법이고, 2''s-''2차 방법이며, 모두 ''c''<sub>1</sub>&nbsp;=&nbsp;0이고 ''c''<sub>''s''</sub>&nbsp;=&nbsp;1이다. 다른 어떤 명시적 방법과는 달리, 이 방법들은 더 큰 단계도 가능하다. 로바토는 룽게와 쿠타가 고전적인 사차 방법을 만들기 전에 살았었다.

==== 로바토 IIIA 방법 ====
로바토 IIIA 방법은 [[배열 방법]]이다. 이차 방법은 [[사다리꼴 공식 (미분방정식)|사다리꼴 공식]]으로 알려져있다:
: <math>
\begin{array}{c|cc}
0   & 0   & 0  \\
1   & 1/2 & 1/2\\
\hline
    & 1/2 & 1/2\\
& 1 & 0 \\
\end{array}
</math>
4차 방법은 다음과 같다
: <math>
\begin{array}{c|ccc}
0   & 0   & 0   & 0    \\
1/2 & 5/24& 1/3 & -1/24\\
1   & 1/6 & 2/3 & 1/6  \\
\hline
    & 1/6 & 2/3 & 1/6  \\
& -\frac12 & 2 & -\frac12 \\
\end{array}
</math>
이 방법은 A-안정하지만 L-안정하거나 B-안정하지는 않다.

==== 로바토 IIIB 방법 ====
로바토 IIIB 방법은 배열 방법이 아니지만 [[불연속적 배열 방법]]으로 볼 수 있다. 이차 방법은 다음과 같다
: <math>
\begin{array}{c|cc}
0   & 1/2 & 0  \\
1   & 1/2 & 0  \\

\hline
    & 1/2 & 1/2\\
& 1 & 0 \\

\end{array}
</math>
4차 방법은 다음과 같다
: <math>
\begin{array}{c|ccc}
0   & 1/6 & -1/6& 0    \\
1/2 & 1/6 & 1/3 & 0    \\
1   & 1/6 & 5/6 & 0    \\
\hline
    & 1/6 & 2/3 & 1/6  \\
& -\frac12 & 2 & -\frac12 \\
\end{array}
</math>
로바토 IIIB 방법은 A-안정적이지만 L-안정하거나 B-안정하지는 않다.

==== 로바토 IIIC 방법 ====
로바토 IIIC 방법도 불연속적 배열 방법이다. 이차 방법은 다음과 같다
: <math>
\begin{array}{c|cc}
0   & 1/2 & -1/2\\
1   & 1/2 & 1/2 \\
\hline
    & 1/2 & 1/2 \\
& 1 & 0 \\
\end{array}
</math>
4차 방법은 다음과 같다
: <math>
\begin{array}{c|ccc}
0   & 1/6 & -1/3& 1/6  \\
1/2 & 1/6 & 5/12& -1/12\\
1   & 1/6 & 2/3 & 1/6  \\
\hline
    & 1/6 & 2/3 & 1/6  \\
& -\frac12 & 2 & -\frac12 \\
\end{array}
</math>
이것은 L-안정하다. 이것들은 게다가 대수적으로 안정하고, 따라서 B-안정하기 때문에 딱딱한 방정식에 적합하다.

==== 로바토 IIIC* 방법 ====
로바토 IIIC* 방법은 문헌에서 로바토 III 방법(Butcher, 2008), Butcher의 로바토 방법(Hairer et al, 1993), 그리고 로바토 IIIC 방법(Sun, 2000)이라고도 알려져 있다.<ref>http://homepage.math.uiowa.edu/~ljay/publications.dir/Lobatto.pdf</ref> 아차 방법은 다음과 같다
: <math>
\begin{array}{c|cc}
0   & 0 & 0\\
1   & 1 & 0 \\
\hline
    & 1/2 & 1/2 \\
\end{array}
</math>
4차 방법은 다음과 같다
: <math>
\begin{array}{c|ccc}
0   & 0 & 0 & 0  \\
1/2 & 1/4 & 1/4 & 0\\
1   & 0 & 1 & 0  \\
\hline
    & 1/6 & 2/3 & 1/6  \\
\end{array}
</math>
이 방법은 A-안정하지도, B-안정하지도, L-안정하지도 않다. <math>s = 2</math>.

==== 일반화된 로바토 방법 ====
다음의 형태를 가지는 로바토 계수를 고려함으로써 세 [[실수]] 변수<math> (\alpha_{A},\alpha_{B},\alpha_{C}) </math>
: <math>a_{i,j}(\alpha_{A},\alpha_{B},\alpha_{C}) = \alpha_{A}a_{i,j}^A + \alpha_{B}a_{i,j}^B + \alpha_{C}a_{i,j}^C + \alpha_{C*}a_{i,j}^{C*} </math>,
여기서,
: <math>\alpha_{C*} = 1 - \alpha_{A} - \alpha_{B} - \alpha_{C}</math>.
예를 들면, (Nørsett and Wanner, 1981)에 소개되었고 로바토 IIINW라고도 불리는 로바토 IIID는 다음의 형태를 가진다
: <math>
\begin{array}{c|cc}
0   & 1/2 & 1/2\\
1   & -1/2 & 1/2 \\
\hline
    & 1/2 & 1/2 \\
\end{array}
</math>
그리고
: <math>
\begin{array}{c|ccc}
0   & 1/6 & 0 & -1/6  \\
1/2 & 1/12 & 5/12 & 0\\
1   & 1/2 & 1/3 & 1/6  \\
\hline
    & 1/6 & 2/3 & 1/6  \\
\end{array}
</math>
이 방법은 <math>\alpha_{A} = 2</math>, <math>\alpha_{B} = 2</math>, <math>\alpha_{C} = -1</math>, 그리고 <math>\alpha_{C*} = -2</math>. 이 방법은 L-안정적이다. 또한 대수적으로 안정적이기 때문에 B-안정적이다.

=== 라다우 방법 ===
라다우 방법은 완전히 암시적 방법이다(이런 방법의 행렬 ''A''는 어떤 구조도 가질 수 있다). 라다우 방법은 ''s'' 단계에 2''s''-1차이다. 라다우 방법은 A-안정적이지만 구현하는데 비용이 많이 든다. 게다가 차수의 감소로 어려움이 있을 수 있다.
일차 라다우 방법은 역 오일러 방법과 유사하다

==== 라다우 IA 방법 ====
삼차 방법은 다음과 같다
: <math>
\begin{array}{c|cc}
0   & 1/4  & -1/4  \\
2/3 & 1/4  &  5/12 \\
\hline
    & 1/4 & 3/4 \\
\end{array}
</math>
5차 방법은 다음과 같다
: <math>
\begin{array}{c|ccc}
0   & \frac{1}{9} & \frac{-1 - \sqrt{6}}{18} & \frac{-1 + \sqrt{6}}{18} \\
\frac{3}{5} - \frac{\sqrt{6}}{10}  & \frac{1}{9} & \frac{11}{45} + \frac{7\sqrt{6}}{360} & \frac{11}{45} - \frac{43\sqrt{6}}{360}\\
\frac{3}{5} + \frac{\sqrt{6}}{10} & \frac{1}{9} & \frac{11}{45} + \frac{43\sqrt{6}}{360} & \frac{11}{45} - \frac{7\sqrt{6}}{360}  \\
\hline
    & \frac{1}{9} & \frac{4}{9} + \frac{\sqrt{6}}{36} & \frac{4}{9} - \frac{\sqrt{6}}{36}  \\
\end{array}
</math>

==== 라다우 IIA 방법 ====
이 방법의 ''c''<sub>i</sub>는 다음의 근이다
: <math>P_{s}(2x-1) - P_{s-1}(2x-1) = 0,</math>
<math>P_s</math>. 삼차 방법은 다음과 같다
: <math>
\begin{array}{c|cc}
1/3 & 5/12 & -1/12\\
1   & 3/4  &  1/4 \\
\hline
    & 3/4 & 1/4 \\
\end{array}
</math>
5차 방법은 다음과 같다
: <math>
\begin{array}{c|ccc}
\frac{2}{5} - \frac{\sqrt{6}}{10}   & \frac{11}{45} - \frac{7\sqrt{6}}{360} & \frac{37}{225} - \frac{169\sqrt{6}}{1800} & -\frac{2}{225} + \frac{\sqrt{6}}{75} \\
\frac{2}{5} + \frac{\sqrt{6}}{10}  & \frac{37}{225} + \frac{169\sqrt{6}}{1800} & \frac{11}{45} + \frac{7\sqrt{6}}{360} & -\frac{2}{225} - \frac{\sqrt{6}}{75}\\
1                   & \frac{4}{9} - \frac{\sqrt{6}}{36} & \frac{4}{9} + \frac{\sqrt{6}}{36} & \frac{1}{9}  \\
\hline
    & \frac{4}{9} - \frac{\sqrt{6}}{36} & \frac{4}{9} + \frac{\sqrt{6}}{36} & \frac{1}{9}  \\
\end{array}
</math>
== 같이 보기 ==
* [[룽게-쿠타-펠베르크 방법]]

== 각주 ==
{{각주}}
* {{인용|last1=Hairer|first1=Ernst|last2=Nørsett|first2=Syvert Paul|last3=Wanner|first3=Gerhard|title=Solving ordinary differential equations I: Nonstiff problems|publisher=[[Springer-Verlag]]|location=Berlin, New York|isbn=978-3-540-56670-0|year=1993}}.
* {{인용|last1=Hairer|first1=Ernst|last2=Wanner|first2=Gerhard|title=Solving ordinary differential equations II: Stiff and differential-algebraic problems|publisher=[[Springer-Verlag]]|location=Berlin, New York|isbn=978-3-540-60452-5|year=1996}}.
* {{인용|last1=Hairer|first1=Ernst|last2=Lubich|first2=Christian|last3=Wanner|first3=Gerhard|title=Geometric Numerical Integration: Structure-Preserving Algorithms for Ordinary Differential Equations|publisher=[[Springer-Verlag]]|location=Berlin, New York|edition=2nd|isbn=978-3-540-30663-4|year=2006}}.
[[분류:수학에 관한 목록]]
[[분류:수치미분방정식]]
[[분류:룽게-쿠타 방법]]