루진의 정리 문서 원본 보기

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[[해석학 (수학)|해석학]]에서 '''루진의 정리'''(Лузин의定理, {{llang|en|Luzin's theorem}})는 [[가측 함수]]가 거의 어디서나 [[연속 함수]]라는 정리이다.

== 정의 ==
[[라돈 측도]] <math>\mu</math>를 갖춘 [[하우스도르프 공간]] <math>X</math>에서 ([[보렐 시그마 대수]]를 갖춘) [[제2 가산 공간]] <math>Y</math>로 가는 [[가측 함수]]
:<math>f\colon X\to Y</math>
에 대하여, 만약 <math>\mu(X)<\infty</math>라면, '''루진의 정리'''에 따르면 임의의 양의 실수 <math>\epsilon>0</math>에 대하여 다음 두 조건들을 만족시키는 [[닫힌 집합]] <math>X_\epsilon\subset X</math>가 존재한다.
* <math>\mu(X\setminus X_\epsilon)<\epsilon</math>
* <math>f|_{X_\epsilon}\colon X_\epsilon\to Y</math>는 [[연속 함수]]이다.
만약 <math>X</math>가 추가로 [[국소 콤팩트 공간]]이라면, 임의의 양의 실수 <math>\epsilon>0</math>에 대하여 다음 두 조건들을 만족시키는 [[콤팩트 집합]] <math>X_\epsilon</math> 및 [[연속 함수]] <math>f_\epsilon\colon X\to Y</math>가 존재한다.
* <math>\mu(X\setminus X_\epsilon)<\epsilon</math>
* <math>f|_{X_\epsilon}=f_\epsilon|_{X_\epsilon}</math>이다.

실수 구간의 경우, 다음과 같은 형태의 루진 정리가 성립한다. 임의의 함수 <math>f\colon[a,b]\to\mathbb R</math>에 대하여, 다음 두 조건이 서로 [[동치]]이다.
* <math>f</math>는 [[가측 함수]]이다. 여기서 정의역은 [[르베그 측도]], 공역은 [[보렐 시그마 대수]]를 갖춘다.
* 임의의 양의 실수 <math>\epsilon>0</math>에 대하여, <math>\mu(\{x\in[a,b]\colon f(x)\ne f_\epsilon(x)\})<\epsilon</math>인 [[연속 함수]] <math>f_\epsilon\colon[a,b]\to\mathbb R</math>가 존재한다.

== 역사 ==
[[니콜라이 루진]]이 증명하였다.<ref>{{저널 인용|이름=N.N. |성=Lusin|저자링크=니콜라이 루진|제목=Sur les propriétés des fonctions mesurables|저널=Comptes Rendus de l’Académie des Sciences권=154|날짜=1912|쪽=1688–1690|zbl=43.0484.04|언어=fr}}</ref>

== 참고 문헌 ==
{{각주}}
* 김성기, 계승혁, 《실해석》, 서울대학교출판부, 2002.

== 외부 링크 ==
* {{매스월드|id=LusinsTheorem|title=Lusin's theorem}}
* {{eom|title=Luzin criterion}}

== 같이 보기 ==
* [[예고로프 정리]]

[[분류:실해석학 정리]]
[[분류:측도론 정리]]