루셰 정리 문서 원본 보기

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[[복소해석학]]에서 '''루셰 정리'''(-定理, {{llang|en|Rouché's theorem}})는 두 [[정칙 함수]]의 [[영점]]의 수가 같을 충분 조건을 제시하는 정리이다.
 
== 정의 ==
[[연결 공간|연결]] [[열린집합]] <math>D\subseteq\mathbb C</math> 속의 [[길이를 갖는 곡선|길이를 갖는]] [[널호모토픽]] [[단순 닫힌곡선]] <math>\gamma\colon[0,1]\to D</math>가 주어졌고, 두 [[정칙 함수]] <math>f,g\colon D\to\mathbb C</math>가 임의의 <math>z\in\operatorname{im}\gamma</math>에 대하여
:<math>|g(z)|<|f(z)|</math>
를 만족시킨다고 하자. '''루셰 정리'''에 따르면, <math>\operatorname{im}\gamma</math>의 내부에서 <math>f</math>와 <math>f+g</math>의 영점의 (중복도를 고려한) 개수는 같다.<ref>Elias M. Stein, Rami Shakarchi (2003), ''Complex Analysis'', Princeton University Press, {{ISBN|0-691-11385-8}}, p.91.</ref><ref name="a">강승필, 《해설 복소함수론》, 경문사, 2007, 215쪽.</ref>
 
== 증명 ==
=== 증명1 ===
우선, 가정에 의하여 <math>f</math>와 <math>f+g</math>는 <math>\operatorname{im}\gamma</math> 위에서 영점을 갖지 않는다. 이제 다음과 같은 [[유리형 함수]] <math>h\colon D\to\mathbb C</math>를 정의하자.
:<math>h(z)=1+\frac{g(z)}{f(z)}\qquad\forall z\in D</math>
그렇다면, 임의의 <math>z\in\operatorname{im}\gamma</math>에 대하여,
:<math>\left|h(z)-1\right|<1</math>
이며, <math>h</math>는 <math>\operatorname{im}\gamma</math> 위에서 영점이나 극점을 갖지 않는다. 이제 <math>\operatorname{im}\gamma</math>의 내부에서 <math>f</math>와 <math>f+g</math>의 영점의 (중복도를 고려한) 개수를 <math>N(\gamma,f)</math>와 <math>N(\gamma,f+g)</math>라고 하자. 그렇다면, [[편각 원리]]에 의하여
:<math>N(\gamma,f+g)-N(\gamma,f)=\frac 1{2\pi i}\int_\gamma\left(\frac{f'(z)+g'(z)}{f(z)+g(z)}-\frac{f'(z)}{f(z)}\right)\mathrm dz=\frac 1{2\pi i}\int_\gamma\frac{h'(z)}{h(z)}\mathrm dz=\frac 1{2\pi i}\int_{h\circ\gamma}\frac{\mathrm dw}w=0</math>
이다.
 
=== 증명2 ===
우선, 가정에 의하여, 임의의 <math>t\in[0,1]</math> 및 <math>z\in\operatorname{im}\gamma</math>에 대하여,
:<math>f(z)+tg(z)\ne 0</math>
이다. [[편각 원리]]에 의하여, [[연속 함수]]
:<math>\varphi\colon[0,1]\to\mathbb Z</math>
:<math>\varphi(t)=\frac 1{2\pi i}\int_\gamma\frac{f'(z)+tg'(z)}{f(z)+tg(z)}\mathrm dz\qquad\forall t\in[0,1]</math>
의 상은 항상 정수이다. 즉, <math>\varphi</math>는 [[상수 함수]]이며, 특히
:<math>N(\gamma,f)=\varphi(0)=\varphi(1)=N(\gamma,f+g)</math>
이다.
 
== 예 ==
방정식
:<math>z^7-4z^3+z-1=0</math>
이 원
:<math>|z|=1</math>
의 내부에서 몇 개의 해를 갖는지 구해보자.<ref name="a" /> 다음과 같은 함수 <math>f,g\colon\mathbb C\to\mathbb C</math>를 정의하자.
:<math>f(z)=4z^3\qquad\forall z\in\mathbb C</math>
:<math>g(z)=z^7+z-1\qquad\forall z\in\mathbb C</math>
그렇다면 <math>f,g</math>는 정칙 함수이다. 또한, [[삼각 부등식]]에 의하여 만약 <math>|z|=1</math>이라면
:<math>|g(z)|\le 3<4=|f(z)|</math>
이다. <math>f</math>는 <math>|z|<1</math>에서 3개의 영점을 가지므로, <math>f+g</math> 역시 <math>|z|<1</math>에서 3개의 영점을 갖는다.
 
== 따름정리 ==
루셰의 정리를 이용하면 [[대수학의 기본 정리]]와 [[열린 사상 정리]], [[후르비츠 정리]]를 쉽게 증명할 수 있다.<ref name="a"/><ref>같은 책, 218쪽.</ref>
 
=== 대수학의 기본 정리 ===
루셰의 정리를 이용하여 간단히 대수학의 기본 정리를 증명해 보자. 임의의 n차 다항식에서 n차 항과 n-1차 이하 항을 각각 f, g로 잡자. 그러면 z의 크기를 무한대로 보낼 때 |g/f|→0 이므로, |z| = R로 둘러싸인 [[영역 (해석학)|영역]]이 g의 영점을 포함하고 이 경계에서 |g| < |f|를 만족하도록 항상 적당한 R을 잡을 수 있다. 그러면 |z| = R 안에서 f는 n개의 해를 가지므로, 루셰의 정리에 의해 f+g 역시 n개의 해를 가지게 된다.
 
== 역사 ==
[[프랑스]] 수학자 [[외젠 루셰]]({{llang|fr|Eugène Rouché}})의 이름이 붙어 있다.
 
== 각주 ==
{{각주}}

== 참고 문헌 ==
* 강승필, 《해설 복소함수론》, 경문사, 2007
* Elias M. Stein, Rami Shakarchi (2003), ''Complex Analysis'', Princeton University Press, {{ISBN|0-691-11385-8}}
 
== 외부 링크 ==
* {{eom|title=Rouché theorem}}
* {{매스월드|id=RouchesTheorem|title=Rouché's theorem}}

{{전거 통제}}

[[분류:복소해석학 정리]]