론스키 행렬식 문서 원본 보기

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'''론스키 행렬식'''(Wroński行列式, {{llang|en|Wronskian|론스키언}}) 또는 '''브론스키 행렬식'''은 [[선형대수학]]과 [[미적분학]], [[미분기하학]] 등에서 사용되는 식으로, [[유한 집합|유한]] 개 [[함수]]들의 집합이 [[일차독립]]인지를 판별하는 도구이다.

== 정의 ==
어떤 [[구간]] <math>I</math>에서 정의된 <math>n</math>개의 함수 <math>f_1, f_2, ..., f_n\colon I\to\mathbb R</math>가 모두 <math>n-1</math>번 미분가능하다고 하자. 그렇다면, <math>I</math>에서 이 [[집합]]의 '''론스키 행렬식''' <math>W(f_1,\dots,f_n)</math>은 다음과 같은, <math>f_i</math>의 [[도함수]]들의 [[행렬식]]이다.<ref name="a">{{서적 인용|이름=Howard|성=Anton|기타=이장우 역|제목=알기쉬운 선형대수|출판사=범한서적|날짜=2006|언어=ko}}</ref>{{rp|293-294}}
:<math>
W(f_1, \dots, f_n) (x)=
\det\begin{pmatrix}
f_1(x) & f_2(x) & \cdots & f_n(x) \\
f_1'(x) & f_2'(x) & \cdots & f_n' (x)\\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
f_1^{(n-1)}(x)& f_2^{(n-1)}(x) & \cdots & f_n^{(n-1)}(x)
\end{pmatrix}\qquad(x\in I)
</math>

== 성질 ==
만약 이상의 구간 I에서 집합의 론스키 행렬식이 항상 0이 아니면, 이 집합은 일차독립이 된다.<ref name="a"/> 왜냐하면, 만약 이 집합이 I에서 [[일차종속]]이라면 I에서 모두는 0이 아닌 계수 <math>k_1, ..., k_n</math>에 대해 다음 식이 성립하는데,
: <math>k_1f_1(x) + ... + k_nf_n(x) = 0</math>
이를 n-1번 미분한 모든 식을 이용해 함수식을 [[행렬]]로 만들고 계수로 묶으면,

:<math>
0 =
\begin{pmatrix}
f_1(x) & f_2(x) & \cdots & f_n(x) \\
f_1'(x) & f_2'(x) & \cdots & f_n' (x)\\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
f_1^{(n-1)}(x)& f_2^{(n-1)}(x) & \cdots & f_n^{(n-1)}(x)
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
k_1 \\
k_2 \\
\vdots \\
k_n
\end{pmatrix},\qquad x\in I.
</math>

이 된다. 그런데 이때 <math>k_1, ..., k_n</math>은 조건에 의해 자명하지 않은 해를 가지므로 I에서 이 행렬의 행렬식은 0이 된다. 이로부터 결과를 얻는다.

== 역사 ==
[[폴란드]]의 [[수학자]] [[유제프 마리아 호에네브론스키]]({{llang|pl|Józef Maria Hoene-Wroński}})가 1812년에 도입하였다.<ref>{{서적 인용|first=J. |last=Hoene-Wronski|title=Réfutation de la théorie des fonctions analytiques de Lagrange|place= Paris  |날짜=1812|언어=fr}}</ref> 론스키 행렬식이라는 용어는 [[스코틀랜드]]의 수학자 토머스 뮤어({{llang|en|Thomas Muir}})가 1882년에 최초로 사용하였다.<ref>{{서적 인용 | last=Muir | first=Thomas | title=A treatise on the theorie of determinants | url=http://www.archive.org/details/atreatiseontheo00muirgoog | publisher= Macmillan  | 날짜=1882 | jfm=15.0118.05 |언어=en}}</ref>{{rp|Chapter XVIII}}

== 같이 보기 ==
* [[아벨의 항등식]]
* [[방데르몽드 행렬]]

== 각주 ==
{{각주}}

== 외부 링크 ==
* {{eom|title=Wronskian}}
* {{매스월드|id=Wronskian|title=Wronskian}}

{{행렬의 종류}}

{{전거 통제}}

[[분류:상미분 방정식]]
[[분류:행렬식]]
[[분류:폴란드의 과학과 기술]]