로비어 공간 문서 원본 보기

{{위키데이터 속성 추적}}
[[기하학]]에서 '''로비어 공간'''(Lawvere空間) 또는 '''일반화 거리 공간'''(一般化距離空間, {{llang|en|generalized metric space}}) 또는 '''반거리 공간'''(半距離空間, {{llang|en|hemimetric space}}) 또는 '''확장 준 유사 거리 공간'''(擴張準類似距離空間, {{llang|en|extended quasipseudometric space}}, 약자 ∞qp-거리 공간 {{llang|en|∞qp-metric space}})은 [[거리 공간]] 및 [[유사 거리 공간]] 및 [[확장 유사 거리 공간]]의 개념의 일반화이다. 위 경우와 달리, “거리 함수”가 대칭적이지 못할 수 있다.

== 정의 ==
'''로비어 공간'''의 개념은 다음과 같이 여러 가지로 정의될 수 있다.
* 기초적으로, 일련의 공리를 만족시키는 거리 함수를 갖춘 [[집합]]으로 정의될 수 있다.
* 더 일반적인 개념인 '''접근 공간'''({{llang|en|approach space}})의 특수한 경우로 정의될 수 있다.
* [[풍성한 범주]]의 이론을 사용하여, 음이 아닌 [[확장된 실수]]의 [[닫힌 모노이드 범주]] 위의 [[풍성한 범주]]로 정의될 수 있다.
두 정의는 서로 [[동치]]이다. 그러나 범주론적 정의를 사용하면, 기초적 정의에서 일일이 정의해야 하는 개념들이 [[범주론]]적 구성들의 특별한 경우로 자동적으로 얻어진다.

=== 기초적 정의 ===
[[집합]] <math>X</math> 위의 '''로비어 계량'''({{llang|en|Lawvere metric}})은 다음 두 조건을 만족시키는, [[확장된 실수]] 값 [[함수]]
:<math>d\colon X^2\to[0,\infty]</math>
이다.<ref name="Lowen">{{서적 인용|제목=Approach spaces: the missing link in the topology–uniformity–metric triad|총서=Oxford Mathematical Monographs|출판사=Clarendon Press|isbn=0-19-850030-0|zbl=0891.54001|이름=Robert|성=Lowen|날짜=1997|mr=472024|언어=en}}</ref>{{rp|231, Definition B.1.1}}
* ([[삼각 부등식]]) 임의의 <math>x,y,z\in X</math>에 대하여, <Math>d(x,y)+d(y,z)\le d(x,z)</math>
* 임의의 <math>x\in X</math>에 대하여, <math>d(x,x)=0</math>

다만, 위 정의에서 <math>d(x,y)=d(y,x)</math>일 필요는 없다. 이 조건을 추가로 만족시키는 로비어 공간을 '''[[확장 유사 거리 공간]]'''이라고 한다. 만약 <math>d</math>의 값이 항상 추가로 유한하다면 이는 '''[[유사 거리 공간]]'''이 된다.

로비어 공간들과 상수 1의 [[립시츠 연속 함수]]들, 즉 함수 <Math>f\colon (X,d_X)\to (Y,d_Y)</math> 가운데
:<math>d_X(x,x')\le d_Y(f(x),f(x'))</math>
를 만족시키는 것들은 [[구체적 범주]]를 이룬다. 이를 <math>\operatorname{\infty pqMet}</math>라고 표기하자.

=== 접근 구조를 통한 정의 ===
{{구별2|근접 공간|문서 유형=단락}}
[[집합]] <math>X</math> 위의 '''접근 구조'''(接近構造, {{llang|en|approach structure}}) <math>\delta</math>는 다음 네 조건을 만족시키는 함수
:<math>\delta\colon X\times\mathcal P(X)\to[0,\infty]</math>
이다.
* <math>\forall x\in X\colon \delta(x,\{x\})=0</math>
* <math>\forall x\in X\colon \delta(x,\varnothing)=\infty</math>
* <math>\forall x\in X\forall A,B\subseteq X\colon \delta(x,A\cup B)=\min\{\delta(x,A),\delta(x,B)\}</math>
* <math>\forall \epsilon\in[0,\infty]\forall x\in X\forall A\subseteq X\colon \delta(x,A)\le \delta(x,\{y\in X\colon \delta(y,A)\le\epsilon\})+\epsilon</math>
접근 구조를 갖춘 집합을 '''접근 공간'''(接近空間, {{llang|en|approach space}})이라고 하자. 그렇다면, 접근 공간 <Math>(X,\delta)</math>에 대하여 다음 세 조건이 서로 동치이다.<ref name=Lowen/>{{rp|96, Theorem 3.1.11}}
* 임의의 <math>x\in X</math> 및 부분 집합 <math>Y\subseteq X</math>에 대하여, <math>\textstyle\delta(x,Y)=\inf_{y\in Y}\delta(x,\{y\})</math>
* 임의의 <math>x\in X</math> 및 [[집합족]] <math>\mathcal Y\subseteq\mathcal P(X)</math>에 대하여, <math>\textstyle\delta(x,\bigcup\mathcal Y)=\inf_{Y\in\mathcal Y}\delta(x,Y)</math>
* <math>X\times X\to[0,\infty]</math>, <math>(x,y)\mapsto\delta(x,\{y\})</math>는 로비어 계량을 이룬다.
이에 따라, 서로 동치인 위 조건들을 만족시키는 접근 공간을 '''로비어 공간'''이라고 한다. 다시 말해, 로비어 공간은 그 접근 구조를 [[한원소 집합]]만으로부터 재구성할 수 있는 접근 공간이다.

반대로, 로비어 공간 <math>(X,d)</math>이 주어졌을 때, 그 위의 접근 구조는
:<math>\delta(x,Y)=\inf_{y\in Y}d(x,y)\in[0,\infty]\qquad\forall Y\subseteq X</math>
가 된다.

=== 범주론적 정의 ===
다음과 같은 [[작은 범주]] <math>\mathcal C=[0,\infty]^{\operatorname{op}}</math>를 생각하자.
* <math>\mathcal C</math>의 대상은 음이 아닌 [[확장된 실수]]이다.
* 임의의 두 <math>a,b\in[0,\infty]</math>에 대하여, 만약 <math>a\ge b</math>라면, 하나의 사상 <math>a\to b</math>가 존재한다.
이 범주는 [[완비 범주]]이며, 텐서곱
:<math>a\otimes b=a+b</math>
에 대하여 [[닫힌 모노이드 범주]]를 이룬다. 이에 따라 <math>\mathcal C</math>에 대한 [[풍성한 범주]]의 개념을 정의할 수 있다. 이 경우, <math>\mathcal C</math>-[[풍성한 범주|풍성한]] [[작은 범주]] <math>X</math>를 '''로비어 공간'''이라고 하며, 이 경우 풍성한 함자의 개념은 상수 1의 [[립시츠 연속 함수]]의 개념과 일치한다.

두 정의 사이의 관계는 다음과 같다.
{| class=wikitable
! 기초적 정의 !! 범주론적 정의
|-
| 공간 속의 점 || 범주의 대상
|-
| 거리 함수 <math>d(x,y)</math> || 사상 집합 <math>\hom_X(x,y)</math>
|-
| 삼각 부등식 <math>d(x,y)+d(y,z)\ge d(x,z)</math> || 사상의 합성 <math>\hom_X(y,z)\circ\hom_X(x,y) \to \hom_X(x,z)</math>
|-
| 스스로와의 거리 <math>d(x,x)=0</math> || [[항등 사상]]
|}

=== 위상 ===
[[유사 거리 공간]]의 경우와 달리, 로비어 공간 <math>(X,d)</math> 위에는 다양한 위상이 사용된다.

로비어 공간 <math>(X,d)</math> 위의, 중심 <Math>x\in X</math>의, 반지름 <Math>r\in(0,\infty]</math>의 '''[[열린 공]]'''({{llang|en|open ball}})은 다음과 같다.<ref name="Lowen"/>{{rp|231, Definition B.1.1}}
:<math>\operatorname{ball}_X(x,r)=\{y\in X\colon d(x,y)<r\}</math>
열린 공들의 [[집합족]]
:<math>\left\{\operatorname{ball}_X(x,r)\colon r\in(0,\infty],\;x\in X\right\}</math>
은 [[기저 (위상수학)|위상의 기저]]를 이루며, 이들로 생성되는 위상을 '''일반화 알렉산드로프 위상'''({{llang|en|generalized Alexandroff topology}}) 또는 '''열린 공 위상'''({{llang|en|open ball topology}})이라고 한다.<ref name="BvBR">{{저널 인용|url=http://homepages.cwi.nl/~janr/papers/files-of-papers/tcs193.pdf|제목=Generalized metric spaces: completion, topology, and powerdomains via the Yoneda embedding|이름=M. M.|성=Bonsangue|이름2=F.|성2=van Breugel|이름3=J. J. M. M.|성3=Rutten|저널=Theoretical Computer Science|권=193|날짜=1998-02-28|쪽=1–51|doi=10.1016/S0304-3975(97)00042-X|언어=en|access-date=2017-01-26|archive-date=2016-03-04|archive-url=https://web.archive.org/web/20160304195706/http://homepages.cwi.nl/~janr/papers/files-of-papers/tcs193.pdf|url-status=}}</ref>{{rp|21, §6}}
<div class="mw-collapsible mw-collapsed toccolours">
'''증명:'''
<div class="mw-collapsible-content">
다음 두 조건을 보이면 족하다.
* 임의의 <math>x\in X</math>에 대하여 <math>\operatorname{ball}(x,\infty)=X</math>이므로, 열린 공들은 <math>X</math>의 [[덮개 (위상수학)|덮개]]를 이룬다.
* 임의의 <math>x,y\in X</math> 및 <math>r,s\in(0,\infty]</math> 및 <math>z\in\operatorname{ball}_X(x,r)\cap\operatorname{ball}_X(y,s)</math>에 대하여, <math>t=\min\{r-d(x,z),s-d(y,z)\}</math>를 정의하면, [[삼각 부등식]]에 의하여 <math>\operatorname{ball}_X(z,t)\subseteq\operatorname{ball}_X(x,r)\cap\operatorname{ball}_X(y,s)</math>이다.
</div></div>

==== 일반화 스콧 위상 ====
로비어 공간 <math>(X,d)</math> 속의 [[점렬]] <math>(x_i)_{i\in\mathbb N}</math>이 다음 조건을 만족시키면 '''코시 열'''이라고 하자.<ref name="BvBR"/>{{rp|6, §3}}
:<math>\forall \epsilon\in\mathbb R^+\exists N_\epsilon\in\mathbb N\forall i\ge N_\epsilon\forall j\ge i\colon d(x_i,x_j)<\epsilon</math>
여기서 <math>j\ge i</math>이어야 하는 것에 주의하자. (마찬가지로 그 반대 개념을 정의할 수 있다. 즉, <math>X</math>의 코시 열과 <math>X^{\operatorname{op}}</math>의 코시 열은 일반적으로 다르다.) 코시 열 <math>(x_i)_{i\in\mathbb N}</math>에 대하여, 만약
:<math>\limsup_{i\to\infty}d(x_i,x)=0</math>
이라면, <math>x_i</math>가 <math>x</math>로 '''수렴'''한다고 하자.

로비어 공간 <math>(X,d)</math> 위의 '''일반화 스콧 위상'''({{llang|en|generalized Scott topology}})에서, 부분 집합 <math>U\subseteq X</math>가 [[열린집합]]일 [[필요 충분 조건]]은 다음과 같다.
* 임의의 코시 열 <math>x_0,x_1,\dotsc\in X</math>가 <Math>x\in X</math>로 수렴한다면,
*:<math>x\in U\iff\exists (N,\epsilon)\in\mathbb N\times\mathbb R^+\colon \bigcup_{i\ge N}\operatorname{ball}_X(x_i,\epsilon)\subseteq U</math>
일반화 스콧 위상은 일반화 알렉산드로프 위상보다 더 [[섬세한 위상]]이며, 사실 이는 일반화 알렉산드로프 위상보다 더 [[섬세한 위상]]들 가운데 코시 열의 (위의 정의에 따른) 극한이 ([[일반위상수학]]의 정의에 따른) 극한이 되는 가장 [[엉성한 위상]]이다.

만약 <math>(X,d)</math>가 [[확장 유사 거리 공간]]이라면, 일반화 알렉산드로프 위상과 일반화 스콧 위상은 <math>X</math>의 일반적인 위상과 같다.<ref name="BvBR"/>{{rp|21–22, §6}} 만약 <math>(X,d)</math>가 [[원순서 집합]]이라면 (즉, <math>d</math>의 [[치역]]이 <math>\{0,\infty\}</math>라면), <math>(X,d)</math>의 일반화 알렉산드로프 위상은 [[알렉산드로프 공간|알렉산드로프 위상]]과 같다.<ref name="BvBR"/>{{rp|21, §6}}

== 연산 ==
=== 반대 공간 ===
임의의 로비어 공간 <math>(X,d)</math>에 대하여, 그 '''반대 로비어 공간'''(反對Lawvere空間, {{llang|en|opposite Lawvere space}}) <math>X^{\operatorname{op}}=(X,d^{\operatorname{op}})</math>을 다음과 같이 정의할 수 있다.<ref name="BvBR"/>{{rp|5, §2}}
:<math>d^{\operatorname{op}}(x,y)=d(y,x)\qquad\forall x,y\in X</math>
이는 [[반대 범주]]의 개념의 특수한 경우이다.

=== 대칭화 ===
로비어 공간 <Math>(X,d)</math>에 대하여, 그 거리 함수를 다음과 같이 두 가지로 대칭화할 수 있다.
:<math>d^\max(x,y)=\max\{d(x,y),d(y,x)\}</math>
:<math>d^\text{avg}(x,y)=\frac12\left(d(x,y)+d(y,x)\right)</math>
그렇다면, <Math>(X,d^\max)</math>와 <Math>(X,d^\text{avg})</math> 둘 다 [[확장 유사 거리 공간]]을 이룬다.

만약 <math>(X,d)</math>가 이미 [[확장 유사 거리 공간]]이라면 <math>(X,d)=(X,d^\text{avg})=(X,d^\max)</math>이다.

=== 상수배 ===
로비어 공간 <math>(X,d)</math> 및 음이 아닌 [[확장된 실수]] <math>C\in[0,\infty]</math>에 대하여, <math>(X,Cd)</math> 역시 로비어 공간이다. (만약 <math>C=0</math>일 경우, 이는 [[비이산 공간]]이다. 만약 <math>C=\infty</math>일 경우, <math>\infty\cdot0=0</math>으로 정의하며, 이는 [[원순서 집합]]이다.)

=== 로비어 계량의 합성 ===
집합 <math>X</math> 위에 로비어 계량들의 족
:<math>(d_i\colon X\times X\to[0,\infty])_{i\in I}</math>
이 주어졌다고 하자. 그렇다면,
:<math>\sup_{i\in I}d_i\colon X\times X\to[0,\infty]</math>
:<math>\sup_{i\in I}d_i\colon (x,y)\mapsto \sup_{i\in I}d_i(x,y)</math>
역시 로비어 계량을 이룬다. 이는 사실 [[항등 함수]]에 대한 [[위상 함자|시작 구조]]의 특수한 경우이다.

마찬가지로, [[가산 집합|가산]] 개의 로비어 계량의 족
:<math>(d_i\colon X\times X\to[0,\infty])_{i\in I}</math>
:<math>|I|\le\aleph_0</math>
이 주어졌을 때,
:<math>\sum_{i\in I}d_i\colon X\times X\to[0,\infty]</math>
:<math>\sum_{i\in I}d_i\colon (x,y)\mapsto \sum_{i\in I}d_i(x,y)</math>
역시 로비어 계량을 이룬다. (특히, 만약 <math>I</math>가 [[유한 집합]]이라면, 평균 계량 <math>\textstyle\sum_{i\in I}d_i/|I|</math> 역시 로비어 계량이다.)

=== 주어진 함수를 상계로 하는 최대 로비어 계량 ===
임의의 집합 <math>X</math> 및 임의의 함수
:<math>f\colon X\times X\to[0,\infty]</math>
가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 함수 집합
:<math>\mathcal D\subseteq [0,\infty]^{X\times X}</math>
가
:<math>d(x,y)\le f(x,y)\qquad\forall x,y\in X</math>
를 만족시키는 로비어 계량 <math>d</math>들의 집합이라고 하자. (<math>d=0</math>이 로비어 계량이므로, 이는 항상 [[공집합]]이 아니다.) 그렇다면, 이는 [[최대 원소]]
:<math>d^{\max}=\sup\mathcal D=\max\mathcal D</math>
:<math>d^{\max}(x,y)=\sup_{d\in\mathcal D}d(x,y)</math>
를 가지며, 이는 <math>f</math>를 [[상계 (수학)|상계]]로 하는 최대의 로비어 계량이다.

구체적으로, 임의의 집합 <Math>X</math> 및 함수
:<math>f\colon X\times X\to[0,\infty]</math>
가 주어졌을 때, 다음을 정의하자.
:<math>d_0(x,y)=\begin{cases}0&x=y\\\infty&x\ne y\end{cases}</math>
:<math>d_1(x,y)=f(x,y)</math>
:<math>d_i(x_0,x_i)=\inf_{x_1,\dotsc,x_{i-1}\in X}\left(
f(x_0,x_1)+f(x_1,x_2)+\dotsb+f(x_{i-1},x_i)\right)\qquad(i=2,3,\dotsc)</math>
그렇다면, <math>f</math>에 의하여 생성되는 로비어 계량은 다음과 같다.
:<math>d(x,y)=\inf_{i\in\mathbb N}d_i(x,y)</math>

=== 몫공간 ===
로비어 공간 <math>(X,d)</math>에 대하여 다음과 같은 [[동치 관계]]를 정의할 수 있다.<ref name="BvBR"/>{{rp|6, §2}}
:<math>x\sim_0 y\iff d(x,y)=d(y,x)=0\qquad(x,y\in X)</math>
이에 대하여 몫집합
:<math>X/\sim_0</math>
위에 자연스럽게 로비어 공간의 구조를 부여할 수 있다. 만약 <math>X</math>가 [[유사 거리 공간]]이라면, <math>X/\sim_0</math>는 [[거리 공간]]을 이룬다.

마찬가지로, 로비어 공간 <math>(X,d)</math>에 대하여 다음과 같은 [[동치 관계]]를 정의할 수 있다.
:<math>x\sim_\infty y\iff \max\{d(x,y),d(y,x)\}<\infty\qquad(x,y\in X)</math>
이에 대한 몫집합
:<math>X/\sim_\infty</math>
은 대략 <math>X</math>의 “연결 성분”들의 집합으로 생각할 수 있다. <Math>X/\sim_\infty</math> 위에는 자연스럽게 [[원순서]]
:<math>[x]_{\sim_\infty}\lesssim[y]_{\sim_\infty}\iff d(x,y)<\infty</math>
를 취할 수 있다. 만약 <math>X</math>가 [[원순서 집합]]이라면, <Math>X/\sim_\infty=X</math>이다.

=== 분리합 ===
임의의 로비어 공간들의 (유한 또는 무한) 족 <math>(X_i,d_i)_{i\in I}</math>의 '''분리합'''({{llang|en|disjoint sum}})은 집합으로서 [[분리합집합]]
:<math>X=\bigsqcup_{i\in I}X_i</math>
이다. 그 위의 로비어 계량은 다음과 같다.
:<math>d(x,y)=\begin{cases}
d_i(x,y)&i=j\\
\infty&i\ne j
\end{cases}\qquad(x\in X_i,\;y\in X_j)</math>
이 연산은 로비어 공간의 [[범주 (수학)|범주]] <math>\operatorname{\infty pqMet}</math>의 [[쌍대곱|범주론적 쌍대곱]]을 이룬다.

=== 곱 ===
임의의 로비어 공간들의 (유한 또는 무한) 족 <math>(X_i,d_i)_{i\in I}</math>의 '''곱'''은 집합으로서 [[곱집합]]
:<math>X=\prod_{i\in I}X_i</math>
이며, 그 위의 로비어 계량은 다음과 같다.
:<math>d(x,y)=\sup_{i\in I}d_i(x_i,y_i)\qquad\forall x,y\in X</math>
이 연산은 로비어 공간의 [[범주 (수학)|범주]] <math>\operatorname{\infty pqMet}</math>의 [[곱 (범주론)|범주론적 곱]]을 이룬다.<ref name="Lowen"/>{{rp|233, §B.1}}

=== 시작 계량과 끝 계량 ===
로비어 공간의 범주의 망각 함자 <math>\operatorname{\infty pqMet}\to\operatorname{Set}</math>는 [[위상 함자]]이므로, 시작 구조와 끝 구조를 정의할 수 있다.

구체적으로, 임의의 집합 <math>X</math> 및 로비어 공간들의 족 <math>(Y_i,d_i)_{i\in I}</math> 및 함수의 족 <math>(f_i\colon X\to Y_i)_{i\in I}</math>가 주어졌을 때, <math>(f_i)_{i\in I}</math>로 유도되는, <math>X</math> 위의 '''시작 로비어 계량'''({{llang|en|initial Lawvere metric}})은 다음과 같다.
:<math>d_X(x,x')=\sup_{\in I}d_i(f_i(x),f_i(x'))</math>

마찬가지로, 임의의 집합 <math>X</math> 및 로비어 공간들의 족 <math>(Y_i,d_i)_{i\in I}</math> 및 함수의 족 <math>(f_i\colon Y_i\to X)_{i\in I}</math>가 주어졌을 때, <math>(f_i)_{i\in I}</math>로 유도되는, <math>X</math> 위의 '''끝 로비어 계량'''({{llang|en|final Lawvere metric}})은 함수
:<math>f\colon X\times X\to[0,\infty]</math>
:<math>f\colon (x,x')\mapsto\inf_{i\in I}d_i(f_i(x),f_i(x'))</math>
를 [[상계 (수학)|상계]]로 하는 최대 로비어 계량이다.

== 성질 ==
=== 함의 관계 ===
다음과 같은 함의 관계가 성립한다.
:[[길이 거리 공간]] ⇒ [[거리 공간]] ⇒ [[유사 거리 공간]] ⇒ [[확장 유사 거리 공간]] ⇒ 로비어 공간

=== 범주론적 성질 ===
로비어 공간의 범주 <math>\operatorname{\infty pqMet}</math>가 주어졌을 때, 망각 함자
:<math>\operatorname{\infty pqMet}\to\operatorname{Set}</math>
는 [[위상 함자]]이다.<ref name="Lowen"/>{{rp|233, Proposition B.1.2}} 특히, 만약 집합 <Math>X</math> 위의 임의의 함수족
:<math>(f_i\colon X\to Y_i)_{i\in I}</math>
이 주어졌으며 <math>(Y_i)_{i\in I}</math>들이 모두 로비어 공간의 구조를 가진다면, 이로부터 '''시작 로비어 계량'''({{llang|en|initial Lawvere metric}})을 정의할 수 있다. 이는 위상 공간의 [[시작 위상]]과 유사하다. 마찬가지로, 집합 <math>X</math>로 가는 임의의 함수족
:<math>(f_i\colon Y_i\to X)_{i\in I}</math>
이 주어졌으며 <math>(Y_i)_{i\in I}</math>들이 모두 로비어 공간의 구조를 가진다면, 이로부터 '''끝 로비어 계량'''({{llang|en|final Lawvere metric}})을 항상 정의할 수 있다. 이는 위상 공간의 [[끝 위상]]과 유사하다.

또한, [[위상 공간 (수학)|위상 공간]]과 [[연속 함수]]의 [[범주 (수학)|범주]]로 가는 망각 함자
:<math>\operatorname{\infty pqMet}\to\operatorname{Top}</math>
가 존재하며, 이는 로비어 공간에 [[열린 공]] 위상을 대응시킨다.

=== 위상 공간의 로비어 계량을 통한 표현 ===
임의의 [[위상 공간 (수학)|위상]]은 일련의 로비어 계량들로 표현될 수 있다. 구체적으로, 임의의 [[위상 공간 (수학)|위상 공간]] <math>(X,\mathcal U)</math>에 대하여, 다음 조건을 만족시키는, <math>X</math> 위의 로비어 계량들의 집합 <math>(d_i)_{i\in I}</math>이 존재한다.<ref>{{저널 인용
|제목=All topologies come from generalized metrics
|이름=Ralph|성=Kopperman
|저널=The American Mathematical Monthly
|권=95|호=2|날짜=1988-02|쪽=89–97
|jstor=2323060
|doi=10.2307/2323060
|issn=0002-9890
|언어=en
}}</ref>{{rp|95, Theorem 7}}
* <math>\mathcal U</math>는 [[항등 함수]] <math>f_i\colon X\to(X,d_i)</math>들에 의하여 생성되는 [[시작 위상]]이다. (여기서 로비어 공간 <math>(X,d_i)</math>에는 열린 공 위상을 부여한다.)
* <math>|I|\le|\mathcal U|</math>이다.
<div class="mw-collapsible mw-collapsed toccolours">
'''구성:'''
<div class="mw-collapsible-content">
위상 공간 <math>X</math>의 임의의 [[열린집합]] <math>U\subseteq X</math>에 대하여, 다음을 정의하자.
:<math>d_U(x,y)=\begin{cases}
0&x\not\in U\\
0&x\in U\ni y\\
\infty&x\in U\not\ni y
\end{cases}</math>
이는 로비어 계량을 이루며, 이 로비어 계량으로 생성되는 위상은 [[한원소 집합]] <math>\{U\}</math>를 [[기저 (위상수학)|기저]]로 하는 위상, 즉
:<math>\{\varnothing,U,X\}</math>
이다.

이에 따라, 로비어 계량들의 집합 <math>\{d_U\}_{U\in\mathcal U}</math>은 위 조건을 자명하게 만족시킨다.
</div></div>

== 역사와 어원 ==
[[프랜시스 윌리엄 로비어]]가 도입하였다.<ref name="Lawvere">{{저널 인용|url=http://www.tac.mta.ca/tac/reprints/articles/1/tr1.pdf|제목=Metric spaces, generalized logic, and closed categories|이름=F. William|성=Lawvere|저자링크=프랜시스 윌리엄 로비어|쪽=135–166|저널=Rendiconti del Seminario Matematico e Fisico di Milano|권=43|날짜=1973|언어=en}}</ref>

이 개념은 [[거리 공간]]의 개념을 일반화하는데, 이에 대하여 로비어는 다음과 같이 적었다.
{{인용문2|
{{lang|en|The first of these [non-identity of two points with zero distance] is not very natural from the categorical viewpoint, since it corresponds to requiring that isomorphic objects are equal […]. Allowing ∞ among the quantities is precisely analogous to including the empty set among abstract sets, and it is done for similar reasons of completeness […].
The non-symmetry is the more serious generalization, and moreover occurs in many naturally arising examples, such as <math>X(a,b)=</math> work required to get from <math>a</math> to <math>b</math> in mountainous region <math>X</math>. […]}}
<br>
첫째 [일반화] [즉, 거리가 0인 서로 다른 두 점이 존재할 수 있음]는 범주론적 관점에서 별로 자연스럽지 않다. 이는 서로 [[동형]]인 대상이 같다는 것에 해당하기 때문이다. […] [거리가] ∞인 것을 허용하는 것은 [[공집합]]을 [[집합]]으로 취급하는 것과 마찬가지로, 완비성에 의하여 필요하다. […] [거리 함수의] 비대칭성은 더 중대한 일반화이며, 다음과 같은 자연스러운 예들이 존재한다. 예를 들어, <math>X(a,b)=</math> 산악 지방 <math>X</math>에서, <math>a</math>에서 <Math>b</math>로 가는 데 필요한 에너지라고 하자. […]
|<ref name="Lawvere"/>{{rp|138}}
}}
즉, 로비어 공간의 개념에서, 이 "거리" <math>d(x,y)</math>는 사실 어떤 "상태" 또는 "위치" <math>x</math>에서 <math>y</math>로 전이하는 데 드는 "에너지" 또는 "비용"이라고 여길 수 있다. 이 경우 로비어 공간의 공리들은 다음과 같이 해석된다.
* <math>x</math>에서 <math>z</math>로 이동하는 데 드는 비용은 이 경로를 <math>x\to y\to z</math>와 같이 분해했을 때 <Math>x\to y</math> 비용과 <math>x\to z</math> 비용의 합보다 같거나 적다. (예를 들어, 만약 <math>y</math>를 거치지 않는 지름길이 있을 경우 부등식이 성립한다.)
* 상태 <math>x</math>에서, 이동하지 않는 데 드는 비용은 0이다. 즉, <math>d(x,x)=0</math>이다.
* 상태 <math>x</math>에서 <math>y</math>로 꼭 이동할 수 있을 필요는 없다. 만약 <math>x\to y</math> 전이가 불가능하다면 <math>d(x,y)=\infty</math>이다.

간혹 사용되는 용어 ‘확장 준 유사 거리 공간’({{llang|en|extended quasipseudometric space}})에서, 각 성분은 고전적 [[거리 공간]]의 개념의 다음과 같은 일반화를 의미한다.
* 확장(擴張, {{llang|en|extended}}): 계량 함수의 값이 ∞일 수 있음을 뜻한다.
* 준(準, {{llang|en|quasi-}}): 계량 함수가 대칭적이지 못할 수 있음을 뜻한다. 즉, <math>d(x,y)\ne d(y,x)</math>일 수 있다.
* 유사(類似, {{llang|en|pseudo-}}): 계량 함수가 [[분리공리]]를 만족시키지 못할 수 있음을 뜻한다. 즉, <math>x\ne y</math>이지만 <math>d(x,y)=0</math>일 수 있다.

== 예 ==
모든 [[확장 유사 거리 공간]]은 로비어 공간이다.

=== 시작 대상과 끝 대상 ===
[[공집합]] <math>\varnothing</math> 위에는 유일한 (자명한) 로비어 계량이 존재한다. 이는 로비어 공간의 범주의 [[시작 대상]]이다.

[[한원소 공간]] <Math>\{\bullet\}</math> 위에는 유일한 (자명한) 로비어 계량(<math>d(\bullet,\bullet)=0</math>)이 존재한다. 이는 로비어 공간의 범주의 [[끝 대상]]이다.

=== 원순서 집합 ===
임의의 [[원순서 집합]] <Math>(X,\lesssim)</math>에 대하여, 다음과 같은 거리 함수를 주자.
:<math>d(x,y)=\begin{cases}
0&x\lesssim y\\
\infty&x\not\lesssim y
\end{cases}</math>
그렇다면 <math>(X,d)</math>는 로비어 공간을 이룬다.<ref name="BvBR"/>{{rp|4, §2}}

== 각주 ==
{{각주}}

== 외부 링크 ==
* {{eom|title=Quasi-metric}}
* {{nlab|id=metric space|title=Metric space}}
* {{웹 인용|url=http://www.lsv.ens-cachan.fr/~goubault/jgl-tacl11.pdf|제목=A few pearls in the theory of quasi-metric spaces|날짜=2011|이름=Jean|성=Goubault-Larrecq|언어=en}}
* {{웹 인용|url=https://golem.ph.utexas.edu/category/2014/02/metric_spaces_generalized_logi.html|제목=
Metric spaces, generalized logic, and closed categories|날짜=2014-02-21|웹사이트=The ''n''-Category Café|이름=Tom|성=Avery|언어=en}}
* {{웹 인용|url=https://qchu.wordpress.com/2012/06/23/banach-spaces-and-lawvere-metrics-and-closed-categories/|제목=Banach spaces (and Lawvere metrics, and closed categories)|이름=Qiaochu|성=Yuan|날짜=2012-06-23|웹사이트=Annoying Precision|언어=en}}
* {{웹 인용|url=https://proofwiki.org/wiki/Definition:Quasimetric|제목=Definition: quasimetric|웹사이트=ProofWiki|언어=en}}

[[분류:계량기하학]]