로랑 다항식 문서 원본 보기

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[[추상대수학]]에서 '''로랑 다항식'''(Laurent多項式, {{llang|en|Laurent polynomial}})은 어떤 형식적 변수의 음 또는 양의 거듭제곱을 [[단항식]]으로 하고, 유한 개의 단항식들로 구성된 [[다항식]]이다. 로랑 다항식들의 집합은 가환 및 쌍대가환 [[호프 대수]]를 이루며, 이는 [[다항식환]]의 [[국소화 (환론)|국소화]] 또는 [[군환]]으로서 구성될 수 있다.

== 정의 ==
임의의 [[가환환]] <math>K</math>가 주어졌다고 하자. 로랑 다항식의 개념은 여러 가지로 정의될 수 있지만, 이 정의들은 모두 서로 [[동치]]이다.

=== 가환환론적 정의 ===
<math>K</math> 계수의 [[다항식환]] <math>K[\mathsf x]</math>에서, <math>\mathsf x</math>로 생성되는 곱셈 부분 [[모노이드]]
:<math>S = \{1,\mathsf x,\mathsf x^2,\mathsf x^3,\dotsc\} \subseteq K[\mathsf x]</math>
를 생각하자. 이에 대한 [[국소화 (환론)|국소화]] <math>(K[\mathsf x])_{\mathsf x}</math>를 취할 수 있다. 이를 <Math>K[\mathsf x,\mathsf x^{-1}]</math>로 표기하며, <math>K</math> 계수의 '''로랑 다항식'''의 대수라고 한다.

=== 군론적 정의 ===
[[무한 순환군]] <math>\langle\mathsf x\rangle</math>의 <math>K</math> 계수의 [[군환]]을 '''로랑 다항식'''의 대수라고 한다.

구체적으로, 편의상, 무한 순환군의 군 연산을 곱셈으로 표기하자. 즉,
:<math>\langle\mathsf x\rangle = \{\dotsc,\mathsf x^{-2},\mathsf x^{-1},1,\mathsf x,\mathsf x^2,\dotsc\}</math>
이다. 이 경우, 그 원소는
:<math>p=\sum_{i\in\mathbb Z}p_i \mathsf x^i\qquad(p_i\in K)</math>
의 꼴이 된다.

[[군환]]의 일반적 성질에 따라서, 로랑 다항식의 대수는 [[호프 대수]]를 이룬다.

=== 구체적 정의 ===
<math>K</math> 계수의 '''로랑 다항식'''은 다음과 같은 형식적 다항식이다.
:<math>p = \sum_{k \in \mathbb Z} p_k \mathsf x^k\qquad(p_i\in K)</math>
:<math>|\{k\in\mathbb Z\colon p_k \ne 0\}| < \infty</math>
즉, 이는 형식적 변수 <Math>\mathsf x</math>의 양 또는 음의 차수의 거듭제곱들의 항으로 구성된 다항식이며, 항의 수는 유한하다.

그 덧셈과 곱셈은 다음과 같다.
:<math>p + q = \sum_{k\in\mathsf Z} (p_k + q_k)\mathsf x^k</math>
:<math>pq = \sum_{k\in\mathbb Z} \left(\sum_{i+j = k} p_i q_j\right) \mathsf x^k</math>
이에 따라, 로랑 다항식들의 집합은 <math>K</math> 위의, 항등원을 갖는 [[가환환|가환]] [[결합 대수]]를 이룬다. 이를 <math>K[\mathsf x,\mathsf x^{-1}]</math>로 표기한다.

== 성질 ==
[[체 (수학)|체]] <math>K</math>에 대하여, <math>\mathsf K[x,x^{-1}]</math>는 [[뇌터 가환환]]이다. 그러나 이는 [[아르틴 가환환]]이 아니다.

=== 가역원 ===
만약 <math>K</math>가 [[정역]]일 경우, <math>K[\mathsf x,\mathsf x^{-1}]</math>의 [[가역원]]의 집합은 다음과 같다.
:<math>\operatorname{Unit}(K[\mathsf x,\mathsf x^{-1}]) = \{a\mathsf x^i \in K[\mathsf x,\mathsf x^{-1}]\colon a\in\operatorname{Unit}(K),\;i\in\mathbb Z\}</math>

=== 값매김 ===
임의의 가환환 <math>K</math>의 [[가역원]] <math>u \in \operatorname{Unit}(K)</math>에 대하여, 다음과 같은 '''값매김 준동형'''({{llang|en|evaluation homomorphism}})이 존재한다.
:<math>\operatorname{ev}_u \colon K[\mathsf x,\mathsf x^{-1}] \to K</math>
:<math>\operatorname{ev}_u \colon p \mapsto \sum_{i\in\mathbb Z} p_i u^i \in K</math>
이는 <math>K</math>-가환 [[결합 대수]]의 [[준동형]]이다.

=== 미분 ===
로랑 다항식환 위에는 다음과 같은 형식적 미분이 정의된다.
:<math>\frac{\mathrm d}{\mathrm d\mathsf x} \colon K[\mathsf x,\mathsf x^{-1}] \to K[\mathsf x,\mathsf x^{-1}]</math>
:<math>\frac{\mathrm d}{\mathrm d\mathsf x} \colon p \mapsto \sum_{i\in\mathbb Z} (i+1)p_{i+1} \mathsf x^i</math>

== 역사 ==
‘로랑 다항식’이라는 용어는 [[피에르 알퐁스 로랑]]의 이름을 딴 것이며, [[복소해석학]]에서 쓰이는 [[정칙 함수]]의 [[로랑 급수]]에 빗댄 것이다. 그러나 이름과 달리 [[로랑 급수]]는 일반적으로 무한 개의 음의 차수 단항식 및 무한 개의 양의 차수 단항식들을 가질 수 있으므로 일반적으로 로랑 다항식이 아니다.

== 같이 보기 ==
* [[존스 다항식]]

== 외부 링크 ==
* {{매스월드|id=LaurentPolynomial|title=Laurent polynomial}}
* {{nlab|id=Laurent polynomial}}

{{전거 통제}}

[[분류:다항식]]