로랑 급수 문서 원본 보기

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'''로랑 급수'''(Laurent級數, {{llang|en|Laurent series}})는 [[정칙함수]]에 대한, [[테일러 급수]]를 일반화한 [[급수 (수학)|급수]]이다. 테일러 급수와 달리 음의 지수의 항을 가질 수 있고, [[특이점 (해석학)|고립 특이점]]을 갖는 함수를 [[급수 (수학)|급수]]로 전개할 때에도 쓸 수 있다.

== 역사 ==
[[피에르 알퐁스 로랑]]이 [[1843년]]에 발표하였다.

== 정의 ==
'''환영역'''({{llang|en|annular domain}}) <math>R(z_0,a,b)</math>는 다음과 같은 집합이다.
:<math>R(z_0,a,b)=\{z\in\mathbb C\colon a<|z-z_0|<b\}</math>

어떤 함수 <math>f\colon R(z_0,a,b)\to\mathbb C</math>가 환영역 <math>R(z_0,a,b)</math>에서 [[정칙함수]]라고 하자. 그렇다면 이 환영역에서 <math>f</math>의 '''로랑 급수'''는 다음과 같은 꼴의 [[급수 (수학)|급수]]이다.
:<math>f(z)=\sum_{n=-\infty}^\infty c_n(z-z_0)^n</math>
여기서, 차수가 음이 아닌 부분
:<math>\sum_{n=0}^\infty c_n(z-z_0)^n</math>
을 로랑 급수의 '''해석부분'''(解析部分, {{llang|en|analytic part}}), 차수가 음수인 부분
:<math>\sum_{k=1}^\infty c_{-k}(z-z_0)^{-k}</math>
을 로랑 급수의 '''주부분'''(主部分, {{llang|en|principal part}})이라고 부른다.

로랑 급수의 계수 <math>c_n</math>은 [[코시 적분공식]]에 의하여 주어진다.
:<math>c_n=\frac1{2\pi i}\oint_C\frac{f(z)}{(z-z_0)^{n+1}}\,dz</math>
여기서 [[폐곡선]] <math>C</math>는 환영역 안에 존재하는 임의의 양의 방향의 단순 [[닫힌 경로]](감김수({{llang|en|winding number}})가 1인 폐곡선)이다.

== 로랑 급수의 수렴 ==
주어진 로랑 급수의 경우, 로랑 급수가 [[균등수렴]]하는 최대 환영역 <math>R(z_0,a,b)</math>의 안·밖 반지름 <math>a,b</math>는 다음과 같다.
:<math>a=\limsup_{n\to\infty}|a_{-n}|^{1/n}</math>
:<math>1/b=\limsup_{n\to\infty}|a_n|^{1/n}</math>
환영역의 경계에서는 로랑 급수의 수렴 여부는 불분명하다.

== 성질 ==
주어진 환영역 위에서, 로랑 급수는 유일하며, 그 계수는 [[코시 적분공식]]에 의하여 주어진다. 그러나 복잡한 정의역을 갖는 [[정칙함수]]의 경우, 정의역의 서로 다른 환영역 부분집합에서 서로 다른 로랑 급수가 존재할 수 있다.

예를 들어, 정칙함수
:<math>f(z)=\frac1{(z-1)(z-2i)}</math>
를 <math>z=0</math> 근처에서 전개한다고 하자. 이 경우, 정의역
:<math>\mathbb C\setminus\{1,2i\}</math>
에 다음과 같은 환영역들을 정의할 수 있다.
* <math>R(0,0,1)</math>
* <math>R(0,1,2)</math>
* <math>R(0,2,\infty)</math>
이 세 환영역에서 로랑 급수는 각각 다음과 같다.
* <math>f(z) = \frac{1+2i}{5} \sum_{k=0}^\infty \left(\frac{1}{(2i)^{k+1}}-1\right)z^k</math>
* <math>f(z) = \frac{1+2i}{5} \left(\sum_{k=1}^\infty \frac{1}{z^k} + \sum_{k=0}^\infty \frac{1}{(2i)^{k+1}}z^k\right)</math>
* <math>f(z) = \frac{1+2i}{5} \sum_{k=1}^\infty \frac{1-(2i)^{k-1}}{z^k}</math>
이 세 로랑 급수는 각각 서로 겹치지 않는 환영역에서 정의되며, 이 속에서 수렴하지만 환영역이 다르므로 서로 다른 급수이다.

== 같이 보기 ==
* [[테일러 급수]]
* [[코시 적분공식]]
* [[특이점 (해석학)|특이점]]
* [[유수 (복소해석학)|유수]]
* [[코시 부등식]]
* [[리우빌 정리 (복소해석학)|리우빌 정리]]
* [[해석적 연속]]
* [[푸리에 급수]]
* [[형식적 로랑 급수]]

== 참고 문헌 ==
{{서적 인용
  | 성 = Kreyszig
  | 이름 = Erwin
  | 제목 = Advanced Engineering Mathematics 8th ed.
  | url = https://archive.org/details/advancedengineer0008krey
  | 출판사 = John Wiley & Sons, INC.
  | 연도 = 1999
  |ISBN=0-471-15496-2}}

{{급수}}

[[분류:복소해석학]]
[[분류:급수]]
[[분류:사람 이름을 딴 낱말]]