로그 평균 문서 원본 보기

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'''로그 평균'''({{lang|en|logarithmic mean}})은 [[수학]]에서 두 수의 차를 두 수의 로그값의 차로 나눈 것을 말한다.

두 수의 차를 두수의 로그값의 차로 나눈 것이다. 로그 값이 두수의 로그값의 평균이 되는 [[기하 평균]]과는 다르다. 아래에서

:<math>\begin{align}
  M_\text{lm}(x, y)
    &= \lim_{(\xi, \eta) \to (x, y)} \frac{\eta - \xi}{\ln(\eta) - \ln(\xi)} \\[6pt]
    &= \begin{cases}
         0 & \text{if }x = 0 \text{ or } y = 0, \\
         x & \text{if }x = y ,\\
         \frac{y - x}{\ln(y) - \ln(x)} & \text{otherwise,}
       \end{cases}
\end{align}</math>

<math>x, y</math>는 양수이다.

이 계산법은 [[전열]], [[질량 이동]]을 포함한 [[공학]] 문제에 적용이 가능하다.

== 부등식 ==
두 수의 로그 평균은 [[산술 평균]]보다는 작지만 [[기하 평균]]보다는 크다. (수들이 동일하지 않은 경우)
: <math>\sqrt{x y} \leq M_\text{lm}(x, y) \leq \frac{x + y}{2} \qquad \text{ for all } x \geq 0 \text{ and } y \geq 0.</math><ref>
{{저널 인용
 | author=B. C. Carlson
 | title=Some inequalities for hypergeometric functions
 | journal=Proc. Amer. Math. Soc.
 | volume=17 | year=1966 | pages=32–39
 | doi=10.1090/s0002-9939-1966-0188497-6
}}</ref><ref>
{{저널 인용
 | author1=B. Ostle | author2=H. L. Terwilliger | last-author-amp=yes
 | title=A comparison of two means
 | journal=Proc. Montana Acad. Sci.
 | volume=17 | year=1957 | pages=69–70
}}</ref>

== 다른 평균과의 연결 ==
* <math>\frac{L\left(x^2, y^2\right)}{L(x, y)} = \frac{x + y}{2}</math> ([[산술 평균]])

== 참고 문헌 ==
* {{매스월드|Arithmetic-Logarithmic-GeometricMeanInequality|Arithmetic-Logarithmic-Geometric-Mean Inequality}}

== 각주 ==
{{각주}}

{{토막글|수학}}

[[분류:평균]]
[[분류:로그]]