레일리 분포 문서 원본 보기

{{위키데이터 속성 추적}}
{{확률분포 정보
| 이름 = 레일리 분포
| 종류 = 밀도
| pdf 그림 = Rayleigh_distributionPDF.png
| pdf 그림설명 = Plot of the Rayleigh PDF
| cdf 그림 = Rayleigh_distributionCDF.png
| cdf 그림설명 = Plot of the Rayleigh CDF
| 매개변수 = <math>\sigma>0\,</math>
| 받침 = <math>x\in [0;\infty)</math>
| pdf = <math>\frac{x \exp\left(\frac{-x^2}{2\sigma^2}\right)}{\sigma^2}</math>
| cdf = <math>1-\exp\left(\frac{-x^2}{2\sigma^2}\right)</math>
| 기대값 = <math>\sigma \sqrt{\frac{\pi}{2}}</math>
| 중앙값 = <math>\sigma\sqrt{\ln(4)}\,</math>
| 최빈값 = <math>\sigma\,</math>
| 분산 = <math>\frac{4 - \pi}{2} \sigma^2</math>
| 왜도 = <math>\frac{2\sqrt{\pi}(\pi - 3)}{(4-\pi)^{3/2}}</math>
| 첨도 = <math>-\frac{6\pi^2 - 24\pi +16}{(4-\pi)^2}</math>
| 엔트로피 = <math>1+\ln\left(\frac{1}{\sqrt{2}\sigma^3}\right)+\frac{\gamma}{2}</math>
| mgf = <math>1+\sigma t\,e^{\sigma^2t^2/2}\sqrt{\frac{\pi}{2}}
\left(\textrm{erf}\left(\frac{\sigma t}{\sqrt{2}}\right)\!+\!1\right)</math>
| 특성 함수 = <math>1\!-\!\sigma te^{-\sigma^2t^2/2}\sqrt{\frac{\pi}{2}}\!\left(\textrm{erfi}\!\left(\frac{\sigma t}{\sqrt{2}}\right)\!-\!i\right)</math>
}}

'''레일리 분포'''(Rayleigh distribution)는 [[확률론]]과 [[통계학]]에서 연속 [[확률 분포]]의 한 종류이다. 흔히 2차원 벡터의 직교 성분이 [[정규 분포]]일 경우, 벡터의 크기는 레일리 분포를 갖는다. 예를 들어 바람을 2차원 벡터로 나타냈을 때, 벡터의 두 직교 성분이 정규 분포이면, 바람의 속력은 레일리 분포를 따른다. 실수부와 허수부가 독립적으로 정규 분포를 따르는 [[복소수]]가 있다면, 복소수의 절댓값이 레일리 분포를 나타낸다.

레일리 분포의 [[확률 밀도 함수|확률 밀도]] 함수는 다음과 같다.

:<math>f(x|\sigma) = \frac{x \exp\left(\frac{-x^2}{2\sigma^2}\right)}{\sigma^2}</math>

<math>\textrm{erfi}(z)\ </math>가 복소[[오차 함수]]라고 할 때, [[특성 함수 (확률)|특성 함수]]는 다음과 같다.

:<math>\varphi(t)=</math>
:<math>1\!-\!\sigma te^{-\sigma^2t^2/2}\sqrt{\frac{\pi}{2}}\!\left(\textrm{erfi}\!\left(\frac{\sigma t}{\sqrt{2}}\right)\!-\!i\right)</math>

<math>\textrm{erf}(z)\ </math>가 [[오차 함수]]일 때, [[모멘트생성 함수]]는 다음과 같다.

:<math>M(t)=\,</math>
:<math>1+\sigma t\,e^{\sigma^2t^2/2}\sqrt{\frac{\pi}{2}}
\left(\textrm{erf}\left(\frac{\sigma t}{\sqrt{2}}\right)\!+\!1\right)</math>

<math>\Gamma(z)</math>가 [[감마 함수]]일 때, [[모멘트 (수학)|원적률]]은 다음과 같다.

:<math>\mu_k=\sigma^k2^{k/2}\,\Gamma(1+k/2)\,</math>

모멘트를 이용하면 평균, [[분산]], 왜도, [[첨도]] 등을 구할 수 있다.

== 모수 추정 ==

<math>\sigma</math> 매개변수의 [[최대우도]] 추정공식은 다음과 같다.

:<math>\sigma\approx\sqrt{\frac{1}{2N}\sum_{i=0}^N x_i^2}</math>

== 다른 확률 분포 ==
* <math>X \sim N(0, \sigma^2)</math>와 <math>Y \sim N(0, \sigma^2)</math>가 서로 독립인 [[정규 분포]]일 때 <math>R = \sqrt{X^2 + Y^2}</math>는 레일리 분포 <math>R \sim \mathrm{Rayleigh}(\sigma)</math>이다.
*<math>R \sim \mathrm{Rayleigh}(1)</math>이면 <math>R^2</math>은 [[자유도 (확률)|자유도]]가 2인 [[카이 제곱 분포]]이다. <math>R^2 \sim \chi^2_2</math>
*<math>X</math>가 [[지수 분포]] <math>X \sim \mathrm{Exponential}(x|\lambda)</math>이면, <math>Y=\sqrt{2X\sigma\lambda} \sim \mathrm{Rayleigh}(y|\sigma)</math>이다.
* [[카이 분포]]는 레일리 분포를 일반화한 것이다.
* [[라이스 분포]]는 레일리 분포를 일반화 한 것이다.
* [[베이불 분포]]는 레일리 분포를 일반화한 것이다.

== 같이 보기 ==
* [[다중경로]]

[[분류:연속분포]]