레인-엠덴 방정식 문서 원본 보기

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[[파일:Lane-emden.JPG|thumb|300px|<math>n</math> = 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6인 경우의 각각의 레인-엠덴 방정식의 해.]]
'''레인-엠덴 방정식'''(Lane-Emden equation)은 [[천체물리학]]에서 구면대칭적으로 분포한 [[폴리트로프]] 유체가 자체 중력으로 침하할 때 그 중력 퍼텐셜에 대한 [[푸아송 방정식]]을 차원이 없는 형태로 변형한 것이다. 천체물리학자 [[조너선 호머 레인]]과 [[로버트 엠덴]]의 이름이 붙었다.<ref>{{저널 인용|last=Lane|first=Jonathan Homer|title=On the Theoretical Temperature of the Sun under the Hypothesis of a Gaseous Mass Maintaining its Volume by its Internal Heat and Depending on the Laws of Gases Known to Terrestrial Experiment|journal=The American Journal of Science and Arts|year=1870|volume=50|series=2|pages=57–74|이탤릭체=예}}</ref> 방정식은 다음과 같은데

: <math> \frac{1}{\xi^2} \frac{d}{d\xi} \left({\xi^2 \frac{d\theta}{d\xi}}\right) + \theta^n = 0 </math>

여기서 <math>\xi</math>는 차원이 없는 반경이고 <math>\theta</math>는 <math>\rho=\rho_c\theta^n</math> 관계로 밀도에 관계있는 값이다. 이때 <math>\rho_c</math>는 중심 밀도이다. 지수 <math>n</math>은 폴리트로프 상태 방정식

: <math> P = K \rho^{1 + \frac{1}{n}}\, </math>

에서 나타나는 폴리트로프 지수이다. <math>P</math>와 <math>\rho</math>는 각각 압력과 밀도이고, <math>K</math>는 비례상수이다. 표준 경계 조건은 <math>\theta(0)=1</math>, <math>\theta'(0)=0</math>이다. 압력, 밀도, 반지름의 추세를 설명하는 해는 지수 <math>n</math>의 '''[[폴리트로프]]'''(polytropes)라고 한다.

== 각주 ==
<references/>

{{토막글|천문학}}

[[분류:천체물리학]]
[[분류:상미분 방정식]]