레비의 정리 문서 원본 보기

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'''레비의 정리'''(Levi's theorem, -定理)는 [[실해석학]] 및 [[복소해석학]]의 [[정리]]로, [[르베그 적분]]과 [[급수 (수학)|무한급수]] 연산을 서로 교환할 수 있다는 것을 보장해 주는 정리이다. [[이탈리아]]계 [[아르헨티나]] 수학자 [[베포 레비]](Beppo Levi)가 증명하였다.<ref>이 정리에 레비의 이름이 붙어 있는 것은 김성기, 계승혁, 《실해석》, 서울대학교출판부, 2002, 30쪽 참고.</ref>

== 정의 ==
레비의 정리는 다음과 같이 공식화할 수 있다.<ref name="Rudin">{{서적 인용
|성=Rudin
|이름=Walter
|제목=Real and Complex Analysis
|언어=en
|판=3판
|출판사=McGraw-Hill
|날짜=1987
|isbn=978-0-07-054234-1
|mr=0924157
|zbl=0925.00005
|url=http://www.mcgraw-hill.com.sg/html/9780070542341.html
|확인날짜=2014-10-06
|보존url=https://web.archive.org/web/20141006084256/http://www.mcgraw-hill.com.sg/html/9780070542341.html
|보존날짜=2014-10-06
|url-status=dead
}}</ref>{{rp|29}} {f<sub>n</sub>}이 어떤 [[측도 공간]] X 위에서 정의된 [[복소수|복소]] [[가측 함수]]의 열이라 하자. 만약 다음이 성립한다면,

:<math>\sum_{n=1}^{\infty} \int_{X} |f_n| d\mu < \infty,</math>

급수 <math>f(x) := \sum_{n=1}^{\infty} f_n(x)</math>은 [[거의 어디서나|거의 모든]] <math>x \in X</math>에서 [[절대수렴]]하고, 다음이 성립한다.

:<math>\sum_{n=1}^{\infty} \int_{X} f_n d\mu =  \int_{X} f d\mu.</math>

== 증명 ==
<math>g(x) := \sum_{n=1}^{\infty} |f_n|</math> 라 두면 [[단조 수렴 정리]]에 의하여,

:<math>\int_{X} g = \int_{X} \lim_{k \to \infty} \sum_{n=1}^{k} |f_n| = \lim_{k \to \infty} \int_{X} \sum_{n=1}^{k} |f_n| = \lim_{k \to \infty} \sum_{n=1}^{k} \int_{X} |f_n| = \sum_{n=1}^{\infty} \int_{X} |f_n|.</math>

를 얻고, 이것이 유한한 값이 된다. 따라서 <math>g \in L^1(\mu)</math>이다. 또한 거의 모든 <math>x \in X</math>에 대해 g는 유한한 값이며 <math>\sum_{n=1}^{\infty} f_n(x)</math>는 [[절대수렴]]한다. 이제 [[지배 수렴 정리]]를 이용하면, k = 1, 2, ...에 대하여

:<math>|\sum_{n=1}^{k} f_n(x)| \le \sum_{n=1}^{k} |f_n(x)| \le g(x)</math>

에서 결과를 얻는다.

== 각주 ==
{{각주}}

[[분류:해석학 정리]]
[[분류:측도론]]
[[분류:실해석학]]
[[분류:복소해석학]]
[[분류:적분학]]