랭글랜즈 쌍대군 문서 원본 보기

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[[수학]]에서 '''랭글랜즈 쌍대군'''({{llang|en|Langlands dual group}})은 주어진 군에서 [[근계|근]]과 쌍대근(coroot)을 맞바꾼 군이다.

== 정의 ==
[[가약군|가약]] 리 군 <math>G</math> (즉, 리 대수가 [[반단순 리 대수]]와 [[아벨 리 대수]]의 직합인 경우)가 주어졌다고 하자. 이러한 리 군은 '''근 데이터'''({{llang|en|root datum}}) <math>(X^*,\Phi,X_*,\Phi^\vee)</math>로 ([[동형사상]]을 무시하면) 유일하게 정의된다. 여기서
* <math>X^*</math>는 <math>G</math>의 [[극대 원환면]]의 [[군 표현의 지표|지표]]들의 격자이다. (즉, [[극대 원환면]]의 [[폰트랴긴 쌍대군]]이다.) 이를 <math>G</math>의 '''무게 격자'''(weight lattice)라고 한다.
* <math>\Phi\subset X^*</math>는 리 대수 <math>\mathfrak g</math>의 [[근계]]이다.
* <math>X_*</math>는 <math>X^*</math>의 쌍대 격자다. 이를 <math>G</math>의 '''쌍대 무게 격자'''(coweight lattice)라고 한다.
* <math>\Phi^\vee\subset X_*</math>는 <math>\Phi</math>의 쌍대근계(coroot system)이다. 즉, <math>\alpha\in\Phi</math>에 대해 <math>\alpha^\vee=2\alpha/\langle\alpha,\alpha\rangle</math>이다.
근 데이터는 가약 리 군을 심지어 유한 아벨 부분군까지 정확히 나타내므로, [[딘킨 도표]]보다 더 많은 정보를 담고 있다.

이러한 근 데이터가 주어졌다면, 군 <math>G</math>의 '''랭글랜즈 쌍대군''' <math>G^\vee</math>는 근 데이터에서 무게 격자와 쌍대 무게 격자를, 근계와 쌍대근계를 맞바꾼 가약 리 군이다. 즉, <math>G^\vee</math>의 근 데이터는
:<math>(X_*,\Phi^\vee,X^*,\Phi)</math>
이다.

복소수체 말고도, 다른 체에 대한 [[대수군]]의 경우도 랭글랜즈 쌍대군을 정의할 수 있다.

== 예 ==
=== 원환면 ===
콤팩트 아벨 리 군 <math>G</math>의 경우, 이는 항상 벡터 공간을 격자로 나눈 꼴
:<math>G=V/\Lambda</math>
로 나타낼 수 있다. 이 경우, 그 랭글랜즈 쌍대군은
:<math>G^\vee=V^*/\Lambda^*</math>
이다. 이는 [[폰트랴긴 쌍대군]]과 전혀 다름에 주의하자. (이 경우, <math>G</math>의 [[폰트랴긴 쌍대군]]은 <math>\Lambda^*</math>이다.)

=== 단순 연결 콤팩트 리 군 ===
단순 연결 콤팩트 리 군의 경우, 랭글랜즈 쌍대군은 원래 군과 비슷하나, 그 유한 아벨 군에 대한 몫이 다를 수 있다. 특히, 리 군의 [[범피복 공간]]은 그 리 군의 [[군의 중심|중심]]을 없앤 형태와 쌍대이다. 예외적으로, B<sub>n</sub>과 C<sub>n</sub>이 서로 쌍대이다.

구체적으로 다음과 같다.
{| class="wikitable"
|+ 단순 연결 콤팩트 리 군의 랭글랜즈 쌍대군
|-
!  군 !! 쌍대군
|-
| <math>\operatorname{SU}(mn)/(\mathbb Z/m)</math> || <math>\operatorname{SU}(mn)/(\mathbb Z/n)</math>
|-
| <math>\operatorname{Spin}(2n+1)</math> || <math>\operatorname{USp}(2n)/(\mathbb Z/2)</math>
|-
| <math>\operatorname{SO}(2n+1)</math> || <math>\operatorname{USp}(2n)</math>
|-
| <math>\operatorname{SO}(2n)</math> || <math>\operatorname{SO}(2n)</math>
|-
| <math>\operatorname{Spin}(2n)</math> || <math>\operatorname{PSO}(2n)</math>
|-
| <math>\operatorname{Spin}(8n)/(\mathbb Z/2)_1</math> || <math>\operatorname{Spin}(8n)/(\mathbb Z/2)_1</math>
|-
| <math>\operatorname{Spin}(8n)/(\mathbb Z/2)_2</math> || <math>\operatorname{Spin}(8n)/(\mathbb Z/2)_2</math>
|-
| <math>\operatorname{Spin}(8n+4)/(\mathbb Z/2)_1</math> || <math>\operatorname{Spin}(8n+4)/(\mathbb Z/2)_2</math>
|-
| <math>G_2</math> || <math>G_2</math>
|-
| <math>F_4</math> || <math>F_4</math>
|-
| <math>E_6</math> || <math>E_6/(\mathbb Z/3)</math>
|-
| <math>E_7</math> || <math>E_7/(\mathbb Z/2)</math>
|-
| <math>E_8</math> || <math>E_8</math>
|}
위 표에서, <math>\operatorname{Spin}(4n)</math>의 [[군의 중심|중심]]은 <math>(\mathbb Z/2)\times(\mathbb Z/2)</math>이므로, 이를 각각 <math>(\mathbb Z/2)_1</math>, <math>(\mathbb Z/2)_2</math>로 표기하였다.

== 응용 ==
랭글랜즈 쌍대군은 [[갈루아 군]]과 [[보형 형식]]을 잇는 [[랭글랜즈 프로그램]]에 중요한 역할을 한다.

[[이론물리학]]에서, 랭글랜즈 쌍대군은 [[전기-자기 이중성]]에 등장한다. 구체적으로, 전기-자기 이중성에서 (전기) [[게이지 군]]에 해당하는 자기 게이지 군은 랭글랜즈 쌍대군이다. 이를 통해 물리학으로 랭글랜즈 프로그램을 해석할 수 있다.<ref>{{저널 인용|제목=
Gauge Theory and Langlands Duality|날짜=2009|이름=Edward|성=Frenkel|arxiv=0906.2747|bibcode=2009arXiv0906.2747F|언어=en}}</ref> 이 사실은 안톤 카푸스틴({{llang|ru|Анто́н Капу́стин}})과 [[에드워드 위튼]]이 발견하였다.<ref>{{저널 인용|제목=Electric–magnetic duality and the geometric Langlands program|이름=Anton|성=Kapustin|공저자=[[에드워드 위튼|Edward Witten]]|날짜=2006|bibcode=2006hep.th....4151K|arxiv=hep-th/0604151|언어=en}}</ref>

== 참고 문헌 ==
{{각주}}

== 외부 링크 ==
* {{웹 인용|제목=Electromagnetic duality for children|이름=José|성=Figueroa-O’Farrill|url=http://www.maths.ed.ac.uk/~jmf/Teaching/EDC.html|날짜=1998|언어=en}}
* {{저널 인용|제목=T-Duality for Langlands Dual Groups|이름=Calder|성=Daenzer|공저자=Erik Van Erp|arxiv=1211.0763}}

{{전거 통제}}

[[분류:리 군]]
[[분류:보형 형식]]
[[분류:대수적 수론]]