람다 환 문서 원본 보기

{{위키데이터 속성 추적}}
[[가환대수학]]과 [[대수적 위상수학]]에서 '''람다 환'''(λ環, {{llang|en|λ-ring}})은 [[벡터 공간]]의 [[외대수]] 연산과 유사한 공리들을 만족시키는 일련의 연산들이 부여된 [[가환환]]이다.

== 정의 ==
=== 다항식 ''P''<sub>''n''</sub>, ''P''<sub>''m'',''n''</sub> ===
[[기본 대칭 다항식]]
:<math>e_i\in\mathbb Z[x_1,\dots,x_n]\qquad\forall i\in\{0,1,\dots,n\}</math>
:<math>e_i(x_1,\dots,x_n)=\sum_{1\le j_1<j_2<\cdots<j_i\le n}x_{i_1}x_{i_2}\cdots x_{i_j}</math>
을 정의하자.

다항식
:<math>P_n\in\mathbb Z[x_1,\dots,x_n,y_1,\dots,y_n]\qquad\forall n\in\mathbb N</math>
:<math>P_{m,n}\in\mathbb Z[x_1,\dots,x_{mn}]\qquad\forall m,n\in\mathbb N</math>
은 다음 성질에 의하여 유일하게 정의되는 정수 계수 다항식이다.<ref name="Hopkinson"/>{{rp|8, §2.1}}
:<math>\sum_nP_n\left(e_1(\vec x),\dots,e_n(\vec x),e_1(\vec y),\dots,e_n(\vec y)\right)t^n=\prod_{i,j=1}^n(1+x_iy_jt)\in\mathbb Z[t,\vec x,\vec y]</math>
:<math>\sum_m P_{m,n}(x_1,\dots,x_{mn})t^m=\prod_{1\le i_1<i_2<\cdots<i_n\le mn}(1+x_{i_1}x_{i_2}\cdots x_{i_n}t)\in\mathbb Z[t,x_1,\dots,x_{mn}]</math>
여기서 다음과 같은 약자를 사용하였다.
:<math>\vec x=(x_1,x_2,\dots,x_n)</math>
:<math>\vec y=(y_1,y_2,\dots,y_n)</math>

=== 람다 환 ===
'''람다 환'''은 다음과 같은 데이터로 구성된다.<ref name="Hopkinson"/>{{rp|7, Definition 2.1}}<ref name="Hazewinkel"/>{{rp|§16.4}}<ref name="Yau">{{서적 인용|mr=2649360
|last=Yau|first= Donald
|title=Lambda-rings|publisher= World Scientific|날짜= 2010 |isbn= 978-981-4299-09-1|doi=10.1142/7664|언어=en}}</ref>{{rp|7, Definition 1.10}}
* [[가환환]] <math>R</math>
* 각 자연수(음이 아닌 정수) <math>n\in\mathbb N</math>에 대하여, [[함수]] <math>\lambda^n\colon R\to R</math>. 이들을 <math>n</math>차 '''람다 연산'''({{llang|en|<math>n</math>th λ-operation}})이라고 한다.
이 함수 <math>\lambda^n</math>들은 다음과 같은 공리들을 만족시켜야 한다.
:<math>\lambda^0(r)=1\qquad\forall r\in R</math>
:<math>\lambda^1(r)=r\qquad\forall r\in R</math>
:<math>\lambda^n(1)=0\qquad\forall n\ge2</math>
:(합의 람다 연산) <math>\lambda^n(r+s)=\sum_{i+j=n}\lambda^i(r)\lambda^j(s)\qquad\forall r,s\in R,\;n\in\mathbb N</math>
:(곱의 람다 연산) <math>\lambda^n(rs)=P_n(\lambda^1(r),\dots,\lambda^n(r),\lambda^1(s),\dots,\lambda^n(s))\qquad\forall r,s\in R,\;n\in\mathbb N</math>
:(람다 연산의 합성) <math>\lambda^m(\lambda^n(r))=P_{m,n}(\lambda^1(r),\dots,\lambda^{mn}(r))\qquad\forall r\in R\;n\in\mathbb N</math>

람다 환의 [[모임 (집합론)|모임]]은 [[대수 구조 다양체]]를 이룬다. 두 람다 환 <math>R</math>, <math>R'</math> 사이의 '''준동형'''은 [[대수 구조]]로서의 [[준동형]]이다. 즉, [[환 준동형]] <math>f\colon R\to R'</math> 가운데 다음 조건을 만족시키는 것이다.<ref name="Hazewinkel"/>{{rp|§16.4}}<ref name="Yau"/>{{rp|10, Definition  1.25}}
:<math>f(\lambda^n(r))=\lambda^n(f(r))\qquad\forall r\in R,\;n\in\mathbb N</math>
람다 환과 람다 환 준동형은 [[범주 (수학)|범주]] <math>\lambda\text{-Ring}</math>를 이룬다.

=== 애덤스 연산 ===
[[코호몰로지 연산]]의 일종인 [[애덤스 연산]]을 [[위상 K군]]으로부터 임의의 람다 환에 대하여 일반화할 수 있다.<ref name="Hopkinson"/>{{rp|§2.2}}

람다 환 <math>R</math>에 대하여, 람다 연산의 [[생성 함수 (수학)|생성 함수]]를 정의하자.<ref name="Hazewinkel"/>{{rp|(16.10)}}<ref name="Yau"/>{{rp|7, (1.7)}}
:<math>\lambda_t(r)=\sum_{i=0}^\infty\lambda^i(r)t^i\in R[[t]]</math>
그렇다면, <math>R</math> 위의 '''애덤스 연산'''
:<math>\Psi^n\colon R\to R\qquad\forall n\in\mathbb Z^+</math>
:<math>\Psi_t(r)=\sum_{i=1}^\infty\Psi^i(r)t^i\in R[[t]]</math>
은 다음과 같다.<ref name="Hazewinkel"/>{{rp|§16.20}}
:<math>\Psi_t(r)=-t\frac{\operatorname d}{\mathrm dt}\ln\left(\lambda_{-t}(r)\right)\qquad\forall r\in R</math>
즉, 애덤스 연산을 람다 연산으로부터 정의할 수 있으며 반대로 람다 연산을 애덤스 연산으로부터 정의할 수도 있다.

== 성질 ==
람다 환 <math>R</math>에 대하여, 다음 성질들이 성립한다.
* <math>\lambda_t\colon(R,+)\to R[[t]]^\times</math>는 [[아벨 군]]의 [[군 준동형|준동형]]을 이룬다. 즉, 다음이 성립한다.<ref name="Yau"/>{{rp|7, Proposition 1.13}}
*:<math>\lambda_t(r+s)=\lambda_t(r)\lambda_t(s)\qquad\forall r,s\in R</math>
*:<math>\lambda_t(0)=1</math>
*:<math>\lambda_t(-r)=\lambda_t(r)^{-1}\qquad\forall r\in R</math>
* 정수 <math>n\in\mathbb Z</math>에 대하여, <math>\lambda_t(n)=(1+t)^n</math>이다.

=== 범주론적 성질 ===
람다 환의 범주에서 [[가환환]]의 범주 <math>\operatorname{CRing}</math>로 가는 망각 함자
:<math>F\colon\lambda\text{-Ring}\to\operatorname{CRing}</math>
는 [[왼쪽 수반 함자]]와 [[오른쪽 수반 함자]]를 동시에 갖는다.<ref name="Hazewinkel">{{서적 인용|mr=2553661
|last=Hazewinkel|first= Michiel
|chapter=Witt vectors. Part 1|title= Handbook of algebra. Volume 6|pages=319–472|publisher= Elsevier|날짜= 2009|arxiv=0804.3888|isbn=978-0-444-53257-2|bibcode=2008arXiv0804.3888H|doi=10.1016/S1570-7954(08)00207-6|editor1-first=Michiel|editor1-last=Hazewinkel|언어=en}}</ref>{{rp|§16.1}}
:<math>S\dashv F\dashv\Lambda</math>
여기서
* [[함자 (수학)|함자]] <math>S\colon\colon\operatorname{CRing}\to\lambda\text{-Ring}</math>는 '''자유 람다 환'''({{llang|en|free λ-ring}}) 함자이다. 이는 람다 환이 [[대수 구조 다양체]]를 이루므로 항상 존재한다.
* [[함자 (수학)|함자]] <math>\Lambda\colon\operatorname{CRing}\to\lambda\text{-Ring}</math>는 [[가환환]] <math>R</math>를 <math>1+xR[[x]]</math> 위의 람다 환 구조로 대응시킨다.

== 예 ==
=== 이항환 ===
다음 두 조건을 만족시키는 [[가환환]] <math>R</math>를 '''이항환'''(二項環, {{llang|en|binomial ring}})이라고 한다.
* 덧셈군 <math>(R,+)</math>의 [[꼬임 부분군]]이 [[자명군]]이다. 즉, 표준적 준동형 <math>\iota\colon R\to R\otimes_{\mathbb Z}\mathbb Q</math>는 [[단사 함수]]이다.
* 모든 [[이항 계수]] <math>\textstyle\binom rn\;(r\in R)</math>를 원소로 포함한다. 즉, 임의의 <math>r\in R</math> 및 <math>n\in\mathbb N</math>에 대하여, <math>\iota(s)=\textstyle\binom rn=r(r-1)\cdots(r-n+1)/n!\in R\otimes_{\mathbb Z}\mathbb Q</math>가 되는 <math>s\in R</math>가 (유일하게) 존재한다.
이항환 <math>R</math> 위에 <math>\lambda^n(k)=\textstyle\binom kn</math>을 정의한다면, 이는 람다 환을 이룬다.<ref name="Yau"/>{{rp|Theorem 5.3}} 예를 들어, ([[한원소 공간]] 위의 [[위상 K군]]인<ref name="Yau"/>{{rp|9, Example 1.16}}) [[정수환]] <math>\mathbb Z\cong\operatorname K^0(\{\bullet\})</math>는 이항환이며 따라서 람다 환을 이룬다.<ref name="Yau"/>{{rp|6, §1.2.1}}

이항환의 개념은 모든 애덤스 연산이 [[항등 함수]]인 람다 환의 개념과 [[동치]]이다.<ref>{{저널 인용 | last1=Elliott | first1=Jesse | title=Binomial rings, integer-valued polynomials, and λ-rings | url=https://archive.org/details/sim_journal-of-pure-and-applied-algebra_2006-09_207_1/page/n172 | doi=10.1016/j.jpaa.2005.09.003 | mr=2244389 | year=2006 | journal=Journal of Pure and Applied Algebra | issn=0022-4049 | volume=207 | issue=1 | pages=165–185|언어=en}}</ref>

=== 비트 벡터 ===
{{본문|비트 벡터}}
가환환 <math>R</math> 위의 [[형식적 멱급수환]] <math>R[[x]]</math> 속의, <math>x^0</math>항의 계수가 1인 [[형식적 멱급수]]들로 구성된 [[부분 집합]]
:<math>\Lambda(R)=1+xR[[x]]\subseteq R[[x]]</math>
을 생각하자. 이는 <math>R[[x]]</math>-곱셈에 대하여 [[가환 모노이드]]를 이룬다.

<math>\Lambda(R)</math> 위에 다음과 같은 [[가환환]] 및 람다 환 구조를 부여할 수 있다.<ref name="Hopkinson">{{서적 인용|제목=Universal polynomials in lambda rings and the K-theory of the infinite loop space tmf|기타=박사 학위 논문 (지도 교수 Michael J. Hopkins)|출판사=[[매사추세츠 공과대학교]] 수학과|성=Hopkinson|이름=John Robert|url=http://hdl.handle.net/1721.1/34544|날짜=2006|언어=en}}</ref>{{rp|7, §2}}<ref name="Hazewinkel"/>{{rp|§9.1}}
* <math>\Lambda(R)</math>의 덧셈은 <math>R[[x]]</math>의 곱셈이다.
* <math>\Lambda(R)</math>의 곱셈은 다음과 같다.<ref name="Hazewinkel"/>{{rp|§9.15}}
*:<math>(1+r_1x+r_2x^2+\cdots)\cdot(1+s_1x+s_2x^2+\cdots)=1+\sum_{n=1}^\infty P_n(r_1,\dots,r_n,s_1,\dots,s_n)x^n</math>
* <math>\Lambda(R)</math>의 람다 연산은 다음과 같다.<ref name="Hazewinkel"/>{{rp|(16.8)}}
*:<math>\lambda^n(1+r_1x+r_2x^2+\cdots)=1+\sum_{m=1}^\infty P_{m,n}(r_1,\dots,r_{mn})t^m</math>

이 환은 <math>R</math> 계수의 (큰) [[비트 벡터 환]] <math>\operatorname{WittVector}(R)</math>과 동형이다. 비트 벡터는 통상적으로 <math>R^{\mathbb Z^+}</math> 위에 비트 다항식들을 통해 주어지는 특별한 [[가환환]] 구조로 정의된다. 이 경우
:<math>\operatorname{WittVector}(R)\to\Lambda(R)</math>
:<math>(x_1,x_2,\dots)\mapsto\frac1{(1-x_1t)(1-x_2t^2)\cdots}\in\mathbb R[[t]]</math>
는 환의 동형을 정의한다.<ref name="Hazewinkel"/>{{rp|(9.22)}}<ref name="Yau"/>{{rp|Theorem 4.16}} 이를 '''아르틴-하세 지수 함수'''({{llang|en|Artin–Hasse exponential map}})라고 한다.

이는 [[함자 (수학)|함자]]
:<math>\Lambda\colon\operatorname{CRing}\to\lambda\text{-Ring}</math>
를 정의하며, 이는 망각 함자
:<math>F\colon\lambda\text{-Ring}\to\operatorname{CRing}</math>
의 [[오른쪽 수반 함자]]이다.
:<math>F\dashv\Lambda</math>

=== 대칭 다항식 환 ===
[[가산 무한]] 개의 변수 <math>\vec x=(x_1,x_2,\dots)</math>의 [[형식적 멱급수환]] <math>Z[[\vec x]]</math>을 생각하자. <math>Z[[\vec x]]</math>의 원소는 유한 또는 무한 개의 항들의 합이며, 각 항은 유한 개의 변수 <math>x_i</math>들의 곱이다.

[[가산 무한]] 개의 변수 <math>\vec x=(x_1,x_2,\dots)</math>의 '''[[대칭 다항식]]''' <math>p\in Z[[\vec x]]</math>은 다음 두 조건을 만족시키는 형식적 멱급수이다.<ref name="Hopkinson"/>{{rp|§2.2}}<ref name="Hazewinkel"/>{{rp|(9.38), (9.39)}}
* 임의의 [[순열]] <math>\sigma\in\operatorname{Sym}(\mathbb Z^+)</math>에 대하여 <math>p(x_{\sigma(1)},x_{\sigma(2)},\dots)=p(x_1,x_2,\dots)</math>이다. (여기서 <math>\operatorname{Sym}(\mathbb Z^+)</math>는 양의 정수의 집합 위의 [[대칭군 (군론)|대칭군]]이다.)
* <math>p</math>에 속하는 항들의 계수의 집합은 [[유계 집합]]이다 (즉, [[상계 (수학)|상계]]를 갖는다).
대칭 다항식들의 집합은 <math>\mathbb Z[[\vec x]]</math>의 [[부분환]]을 이루며, 그 모든 원소는 [[기본 대칭 다항식]]
:<math>e_i(\vec x)=\sum_{1\le j_1<j_2<\cdots<j_i}x_{j_1}x_{j_2}\cdots x_{j_i}\in\mathbb Z[[\vec x]]</math>
들의 유한 곱들의 유한 합으로 나타낼 수 있다. 즉, 이 환을 <math>\mathbb Z[e_0(\vec x),e_1(\vec x),\dots,]</math>로 표기할 수 있다.

그 위에 다음과 같은 람다 환 구조를 정의할 수 있다.<ref name="Hazewinkel"/>{{rp|§16.65}}
:<math>\lambda^m\colon e_n(\vec x)\mapsto P_{m,n}(e_1(\vec x),\dots,e_{mn}(\vec x))</math>

그렇다면, <math>\mathbb Z[e_1(\vec x),\dots,e_n(\vec x)]</math>는 1변수 정수 계수 다항식환 <math>\mathbb Z[e]</math> 위의 자유 람다 환이다.<ref name="Hopkinson"/>{{rp|Theorem 2.1}}<ref name="Hazewinkel"/>{{rp|Theorem 16.74}} 즉, 자유 람다 환 함자 <math>S\colon\operatorname{CRing}\to\lambda\text{-Ring}</math> 함자 아래 <math>\mathbb Z[e]</math>의 [[상 (수학)|상]]이다. 또한, <math>S</math> 아래 임의의 [[환 준동형]]
:<math>f\colon\mathbb Z[e]\to R</math>
:<math>f\colon e\mapsto f(e)\in R</math>
의 [[상 (수학)|상]]은 다음과 같은 람다 환 준동형이다.
:<math>Sf\colon \mathbb Z[e_1(\vec x),\dots,e_n(\vec x)]\to R</math>
:<math>Sf\colon e_n\mapsto \lambda^n(f(e))</math>

=== 위상 K이론 ===
[[파라콤팩트 공간|파라콤팩트]] [[하우스도르프 공간]] <math>X</math> 위의 [[위상 K군]] <math>\operatorname K_K^0(X)</math>는 람다 환을 이룬다.<ref name="Yau"/>{{rp|9, Example 1.16}} 이 경우 <math>\lambda^n</math>은 [[벡터 다발]] 위의  [[외대수]] <math>\lambda^n[E]=[\Lambda^n(E;K)]</math>이다.

=== 표현환 ===
[[유한군]] <math>G</math> 위의 체 <math>K</math> 계수 [[표현환]] <math>\operatorname{Repr}(G;K)</math> (군의 유한 차원 <math>K</math>-[[벡터 공간]] [[군의 표현|표현]]들의 [[반환 (수학)|반환]]의 [[그로텐디크 구성]])은 람다 환을 이룬다.<ref name="Yau"/>{{rp|9, Example 1.17}} 이 경우, <math>\lambda^n</math>은 [[군의 표현]]의 [[외대수]]이다.
:<math>\lambda[r-r']=\lambda(r^{\wedge n}-r'^{\wedge n})\qquad
(r\colon G\to V,\;r'\colon G\to V',\;r^{\wedge n}\colon G\to\Lambda^nV,\;r'^{\wedge n}\colon G\to \Lambda^nV</math>

== 역사 ==
[[알렉산더 그로텐디크]]가 1958년에 [[그로텐디크-리만-로흐 정리]]를 연구하기 위하여 도입하였다.<ref>{{저널 인용|mr=0116023
|last=Grothendieck|first= Alexander |저자링크=알렉산더 그로텐디크
|title=La théorie des classes de Chern
|journal=Bulletin de la Société Mathématique de France|volume= 86 |날짜=1958|pages= 137–154|url= http://www.numdam.org/item?id=BSMF_1958__86__137_0|issn=0037-9484|언어=fr}}</ref><ref name="Hazewinkel"/>{{rp|§16.1}}

역사적으로, <math>P_n</math> 및 <math>P_{m,n}</math>으로 정의된 항등식들을 따르는 가환환들은 "특수 람다 환"({{llang|en|special λ-ring}})으로 불렸으며, "람다 환"이라는 용어는 이 조건들이 생략된, 더 일반적인 개념을 일컬었다. 그러나 오늘날에는 후자의 개념은 더 이상 널리 사용되지 않으며, "람다 환"이라는 용어는 특수 람다 환을 일컫는다.<ref name="Hazewinkel"/>{{rp|§16.1}}

== 같이 보기 ==
* [[천 특성류]]
* [[대칭 함수]]
* [[K이론]]
== 각주 ==
{{각주}}

== 외부 링크 ==
* {{eom|title=Lambda-ring}}
* {{nlab|id=Lambda-ring}}
* {{nlab|id=special lambda-ring|title=Special lambda-ring}}
* {{웹 인용|url=https://concretenonsense.wordpress.com/2009/07/23/lambda-rings/|제목=Lambda-rings|웹사이트=Concrete Nonsense|날짜=2009-07-23|이름=Steven|성=Sam|언어=en}}

[[분류:가환대수학]]