란다우-라마누잔 상수 문서 원본 보기

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'''란다우-라마누잔 상수'''(Landau-Ramanujan Constant)는 1908년 [[에드문트 란다우]]가 증명한 정리에서 등장하는 양의 실수 <math>b</math>이다. 란다우는 어떤 양의 실수 <math>b</math>에 대해, 충분히 큰 <math>x</math>에 대해, <math>x</math> 이하의 양의 정수 중 두 제곱수의 합으로 나타내어지는 것의 개수는 [[점근 표기법|점근적으로]] <math>\frac{bx}{\sqrt{\ln x}}</math>임을 증명하였다. 정리에서 등장하는 상수 <math>b</math>가 란다우-라마누잔 상수이다.

자연수의 제곱합의 함수 <math>r_2(n)</math>와의 관계 <math>(OEIS A001481)</math>
:<math>1 = 0^2 + 1^2</math>
:<math>2 = 1^2 + 1^2</math>
:<math>4 = 0^2 + 2^2</math>
:<math>5 = 1^2 + 2^2</math>
:<math>8 = 2^2 + 2^2</math>
:<math>S(n)=  \sum_{1\to n} r_2(n)  , r_2(n)  > 0</math>
:<math>S(n)</math> 은 <math>r_2(n)</math>의 누적 개수이다.
:<math>S(1)= 1 =\overbrace{r_2(1)}^1</math>
:<math>S(2)= 2 =\overbrace{r_2(1), r_2(2)}^2</math>
:<math>S(4)= 3 =\overbrace{ r_2(1), r_2(2), r_2(4) }^3</math>
:<math>S(5)= 4=r_2(1), r_2(2), r_2(4) ,r_2(5)</math>
:<math>S(8)= 5 =r_2(1), r_2(2), r_2(4) ,r_2(5),r_2(8)</math>

:<math>K= \lim_{x\to \infty} S(x)\left({{\sqrt{\ln x}}\over{x}} \right) \quad</math>[[에드문트 란다우|란다우]](1908)

:<math> S(x)=K \int_{A}^{x} \left({{d t}\over{\sqrt{\ln t}}} \right) + \theta(x)\quad</math>[[스리니바사 라마누잔|라마누잔]], [[고드프리 해럴드 하디|하디]](Hardy 1940)

:<math>K= 0.76422 36535 .... (OEIS A064533)</math>

== 란다우-라마누잔 상수의 다른 형태 ==

=== 두 제곱수의 합 ===
두 제곱수의 합으로 나타내어지는 정수는 그 소인수분해에서 4로 나눈 나머지가 3인 각 소수들의 지수가 짝수인 수이다. 예를 들어, ''45'' = ''9'' + ''36''은 두 제곱수의 합이다. [[소인수분해]] 3<sup>2</sup> x 5에서 3은 [[홀수와 짝수|짝수]] 지수를 가지며, 5는 4로 나눈 나머지가 1이므로 지수가 홀수일 수 있다.

란다우의 정리에는 다음과 같이 되어 있다. 

<math>\lim_{x\rightarrow\infty}\ \left( \frac{\sqrt{\ln x}}{x} \cdot S(x) \right)=b\approx 0.764223653589220662990698731250092328116790541</math> {{OEIS|A064533}},

== 같이 보기 ==
* [[수학 상수]]
* [[르장드르 상수]]
* [[소수 정리]]
* [[에드문트 란다우]]
* [[스리니바사 라마누잔]]
[[분류:수학 상수]]
[[분류:스리니바사 라마누잔]]
[[분류:해석적 수론]]