라 수 문서 원본 보기

{{위키데이터 속성 추적}}
[[파일:Lah numbers.svg|섬네일|400px|1과 4 사이의 n 및 이에 대한 k의 부호없는 라 숫자]]
수학에서 1955년 [[이보 라]](Ivo Lah)가 발견한 '''라 수'''(Lah number,라 숫자)는 [[상승 계승|상승 팩토리얼]]을 [[하강 계승|하강 팩토리얼]]들로 표현함에 있어서 나타내는 [[계수]]들의 출현과 관련있다.<ref>[https://books.google.com/books?id=zWgIPlds29UC John Riordan, ''Introduction to Combinatorial Analysis''], Princeton University Press (1958, reissue 1980) {{isbn|978-0-691-02365-6}} (reprinted again in 2002 by Dover Publications).</ref>

부호가없는 라수(Lah number)는 [[조합론]]에서 깊은 의미가 있다. 부호 없는 라 수에서 k가 [[공집합]]이 아니면서 순서로 정렬된 [[부분 집합]]으로 나뉠 수 있다. 라 숫자는 [[스털링 수|스털링 숫자]]와 관련이 있다.


== 생성 함수 ==
부호없는 라수(Unsigned Lah numbers) {{OEIS|A105278}}

:<math> L(n,k) = {n-1 \choose k-1} \frac{n!}{k!}</math>

부호있는 라수(Signed Lah numbers) {{OEIS|A008297}}

:<math> L'(n,k) = (-1)^n {n-1 \choose k-1} \frac{n!}{k!}</math>
이 계수들은 라 수의 테이블에서 3번째 값이다.

== 계수 ==
:<math>x^{(n)}</math> 상승 팩토리얼(상승 계승)은
:<math>(x+0)(x+1)(x+2) \cdots (x+n-1)=x(x+1)(x+2) \cdots (x+n-1) </math>

:<math>(x)_n</math> 하강 팩토리얼(하강 계승)은
:<math>(x-0)(x-1)(x-2) \cdots (x-n+1)=x(x-1)(x-2) \cdots (x-n+1)</math>
그리고
:<math>x^{(n)} = \sum_{k=1}^n L(n,k) (x)_k \;\;,\;\;(x)_n = \sum_{k=1}^n (-1)^{n-k} L(n,k)x^{(k)}</math>

이때, <math>x(x+1)(x+2) = {\color{red}6}x + {\color{red}6}x(x-1) + {\color{red}1}x(x-1)(x-2)</math>

== 라 수의 출현 테이블 ==
{| class="wikitable" style="text-align:right;"
|-
! <math>_n\!\!\diagdown\!\!^k</math> !! 1 !! 2 !! 3 !! 4 !! 5 !! 6 !! 7 !! 8 !! 9 !! 10 !! 11 !! 12
|-
! 1
| 1
|-
! 2
| 2
| 1
|-
! 3
| 6
| 6
| 1
|-
! 4
| 24
| 36
| 12
| 1
|-
! 5
| 120
| 240
| 120
| 20
| 1
|-
! 6
| 720
| 1800
| 1200
| 300
| 30
| 1
|-
! 7
| 5040
| 15120
| 12600
| 4200
| 630
| 42
| 1
|-
! 8
| 40320
| 141120
| 141120
| 58800
| 11760
| 1176
| 56
| 1
|-
! 9
| 362880
| 1451520
| 1693440
| 846720
| 211680
| 28224
| 2016
| 72
| 1
|-
! 10
|3628800
|16329600
|21772800
|12700800
|3810240
|635040
|60480
|3240
|90
|1
|-
! 11
|39916800
|199584000
|299376000
|199584000
|69854400
|13970880
|1663200
|11880
|4950
|110
|1
|-
! 12
|479001600
|2634508800
|4390848000
|3293136000
|1317254400
|307359360
|43908480
|3920400
|217800
|7260
|132
|1
|}

== 같이 보기 ==
* [[집합의 분할]]
* [[파스칼 행렬]]

== 참고 ==
* (OEIS)A105278
* (OEIS)A008297

== 각주 ==
{{각주}}

[[분류:수학 상수]]
[[분류:정수열]]