라플라스 극한 문서 원본 보기

{{위키데이터 속성 추적}}
[[수학]]에서 '''라플라스 극한'''({{llang|en|Laplace limit}})은 [[케플러 방정식]](Kepler's equation)의 직렬 해 <math> \varepsilon^n</math>가 수렴하는 [[이심률]]의 최대 값 <math> L</math>이다.
이것은 대략,

:<math>  L=  0.66274 34193 49181 58097 47420 97109 25290....   (OEIS A033259)</math>

케플러의 방정식 <math>M = E - \varepsilon sin E</math>는 편심 <math> \varepsilon</math>이 있는 타원에서 움직이는 물체에 대한 평균 편차 <math> M</math>과 편심이 변형된 <math> E</math>를 관련 짓는다. 이 방정식은 기본 함수의 관점에서 E에 대해 풀 수 없지만 [[라그랑주의 반전 정리]](Lagrange reversion theorem)는 해를 <math> \varepsilon^n</math>의 멱급수로 나타낸다.

:<math> E = M + \sin(M) \, \varepsilon^1 + {1\over2} \sin(2M) \, \varepsilon^2 + \left( {3\over8} \sin(3M) - {1\over8} \sin(M) \right) \, \varepsilon^3 + \cdots </math>

라플라스는 이 시리즈([[급수 (수학)|급수]])가 편심의 작은 값에 대해 수렴하지만 이심률이 특정 값을 초과할 때에는 갈라지는 것을 알았다. 라플라스 극한은 이값 <math> L</math>이다.  이는 [[멱급수]]의 [[수렴]] [[반경]] <math> r</math>이다.

* 라플라스 극한 상수 <math> L</math>
:<math>E = M + \sum_{n=1}^{\infty} a_n L^n</math>
:<math>a_n = {1 \over {2^{n-1} n!}} \sum_{k=0}^{\lfloor{ n\over2}\rfloor} (-1)^k {n \choose k}(n-2k)^{n-1}sin[(n-2k)M]</math>
:<math>r=  { {L e^{\left(\sqrt{1+L^2}\right)}}\over {1+\sqrt{1+L^2}}} =1 \le 1   \;\;,\quad e=</math>[[자연로그의 밑|극한값 e]]
:<math>r=  { {(0.66274....) e^{\left(\sqrt{1+(0.66274....)^2}\right)}}\over {1+\sqrt{1+(0.66274....)^2}}} =0.99999 99999 .... = 1   </math>

== 같이 보기 ==
* [[궤도 이심률]]
* [[수학 상수]]
* [[베셀 함수]]

[[분류:수학 상수]]
[[분류:특수 함수]]
[[분류:천체]]