라리타-슈윙거 방정식 문서 원본 보기

{{위키데이터 속성 추적}}
{{장방정식}}
'''라리타-슈윙거 방정식'''({{llang|en|Rarita–Schwinger equation}})은 [[그래비티노]]와 같은 [[스핀]] 1½인 [[페르미온]]을 다루는 [[파동 방정식]]이다.

== 정의 ==
다음이 주어졌다고 하자.
* [[스핀 다양체]] <math>(M,g)</math>의 (디랙 또는 마요라나 또는 바일 또는 마요라나-바일) [[스피너 다발]] <math>S\twoheadrightarrow M</math>
* [[필바인]] <math>E\twoheadrightarrow M</math>, <math>e_\mu^a \in \Omega^1(M;E)</math>
그렇다면,
:<math>\psi_\mu\mathrm dx^\mu\in\Omega^1(M;S)</math>
에 대하여 다음과 같은 [[편미분 방정식]]을 적을 수 있으며, 이를 (무질량) '''라리타-슈윙거 방정식'''이라고 한다.<ref name="FVP"/>{{rp|(5.2)}}
:<math>\gamma^\mu\partial_{[\mu}\psi_{\nu]} = 0</math>

이는 다음과 같은 [[라그랑지언]]으로부터 유도된다.
:<math>\mathcal L=- \int\mathrm d^Dx\,(\det e) \bar\psi_\mu\gamma^{\mu\nu\rho}\partial_\nu\psi_\rho</math>
:<math>\gamma^{\mu\nu\rho} = \frac16\left(
\gamma^{\mu}\gamma^\nu\gamma^\rho
-\gamma^\mu\gamma^\rho\gamma^\nu
+\gamma^\nu\gamma^\rho\gamma^\mu
-\gamma^\nu\gamma^\mu\gamma^\rho
+\gamma^\rho\gamma^\mu\gamma^\nu
-\gamma^\rho\gamma^\nu\gamma^\mu
\right)
</math>

일부 경우 여기에 질량항을 추가할 수도 있다.

== 성질 ==
=== 게이지 변환 ===
<math>2^n</math>개의 실수 성분을 갖는 스피너를 기반으로 한 라리타-슈윙거 장은 ([[질량 껍질]] 밖에서) 다음과 같은 수의 성분을 갖는다.<ref name="FVP"/>{{rp§5}}
:<math>2^n(D-1)</math>
즉, 이는 <math>2^n</math>차원의 [[게이지 변환]]
:<math>\psi_\mu \mapsto \psi_\mu + \partial_\mu\epsilon</math>
을 겪는다.

예를 들어, (1,3)차원 [[민코프스키 공간]]의 경우, [[마요라나 스피너]]는 4개의 실수 성분을 가진다. 이 경우, 마요라나 라리타-슈윙거 장은 4×3 = 12개의 실수 성분을 갖는다. 이는 [[로런츠 군]] <math>\operatorname{SO}(1,3)</math>(의 [[범피복군]])의
:<math>(1,\tfrac12)\oplus(\tfrac12,1)</math>
[[군의 표현|표현]]에 해당한다.

마찬가지로, (1,5)차원의 경우, [[바일 스피너]]는 4개의 복소수 성분을 가지며, 이에 기반하는 라리타-슈윙거 장은 4×5 = 20개의 복소수 성분을 갖는다. 이는 [[로런츠 군]] <math>\operatorname{SO}(1,5)</math>의 콤팩트화 <math>\operatorname{Spin}(6) \cong \operatorname{SU}(4)</math>의 20차원 표현
:<math>\operatorname{Sym}^3\mathbf4 = \mathbf{20}</math>
에 해당한다.

마찬가지로, (1,10)차원의 경우, 마요라나 스피너는 32개의 실수 성분을 가지며, 이 경우 마요라나-슈윙거 장은 32×10 = 320개의 실수 성분을 갖는다.

=== 질량 껍질 ===
[[질량 껍질]] 위에서, <math>2^n</math>개의 실수 성분을 갖는 [[스피너]]를 기반으로 한 (무질량) 라리타-슈윙거 장은 다음과 같은 수의 성분을 갖는다.<ref name="FVP">{{저널 인용|제목=Ingredients of supergravity|이름=Daniel Z.|성=Freedman|이름2=Antoine|성2=Van Proeyen|저널=Fortschritte der Physik | arxiv=1106.1097|날짜=2011-11|doi=10.1002/prop.201100059|bibcode=2011ForPh..59.1118F|권=59|호=11–12|쪽=1118–1126|언어=en}}</ref>{{rp|§5}}
:<math>\frac12(D-3)2^n</math>

예를 들어, (1,3)차원 [[민코프스키 공간]]의 경우, [[마요라나 스피너]]는 4개의 실수 성분을 가지며, 마요라나 라리타-슈윙거 장은 4×1×½ = 2개의 자유도를 갖는다. (1,3)차원에서 [[중력장]]은 <math>\tfrac12D(D-3)=2</math>개의 자유도를 가지므로, (1,3)차원 <math>\mathcal N=1</math> [[초대칭]]에서 이들은 하나의 [[초다중항]]을 이룰 수 있다.

== 역사 ==
1941년에 미국의 [[윌리엄 라리타]]({{llang|en|William R. Rarita}}, 1907~1999)와 [[줄리언 슈윙거]]가 도입하였다.<ref>{{저널 인용|이름=William R.|성= Rarita |이름2= Julian | 성2= Schwinger |저자링크2=줄리언 슈윙거 | 날짜=1941|제목= On a theory of particles with half-integral spin|url=https://archive.org/details/sim_physical-review_1941-07-01_60_1/page/n59| 저널=Physical Review|권=60|쪽=61|doi=10.1103/PhysRev.60.61|언어=en}}</ref>

== 각주 ==
{{각주}}
* {{저널 인용|arxiv=hep-th/0404131|제목=Symmetry of massive Rarita–Schwinger fields | 이름=Terry|성=Pilling|날짜=2004 |언어=en}}

== 외부 링크 ==
* {{nlab|id=Rarita-Schwinger field}}

{{전거 통제}}

[[분류:양자장론]]
[[분류:편미분 방정식]]
[[분류:물리학 방정식]]
[[분류:수리물리학]]
[[분류:스피너]]