라돈 측도 문서 원본 보기

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[[측도론]]에서 '''라돈 측도'''(Radon測度, {{llang|en|Radon measure}})는 [[위상 공간 (수학)|위상 공간]]의 구조와 특별히 잘 호환되는, [[보렐 시그마 대수]] 위에 정의되는 [[측도]]이다. [[국소 콤팩트]] 공간 위의 라돈 측도는 함수 공간 위의 [[범함수]]로 나타낼 수 있다.

== 정의 ==
=== 정칙 측도 ===
[[하우스도르프 공간]] <math>X</math> 위의 [[시그마 대수]] <math>\Sigma\subseteq\mathcal P(X)</math> 위의 [[측도]] <math>\mu\colon\Sigma\to[0,\infty]</math>가 주어졌다고 하자. <math>X</math>의 [[콤팩트 집합]]들의 집합족을 <math>\operatorname{Compact}(X)\subseteq\operatorname{Pow}(X)</math>로, [[열린집합]]들의 집합족을 <math>\operatorname{Open}(X)\subseteq\operatorname{Pow}(X)</math>로 표기하자.

[[가측 집합]] <math>S\in\Sigma</math>가 다음 조건을 만족시킨다면, '''<math>\mu</math>-내부 정칙 가측 집합'''({{llang|en|<math>\mu</math>-inner regular measurable set}})이라고 한다.
:<math>\mu(S)=\sup_{K\in\operatorname{Compact}(X)\cap\Sigma}^{K\subseteq S}\mu(K)</math>
[[가측 집합]] <math>S\in\Sigma</math>가 다음 조건을 만족시킨다면, '''<math>\mu</math>-외부 정칙 가측 집합'''({{llang|en|<math>\mu</math>-outer regular measurable set}})이라고 한다.
:<math>\mu(S)=\inf_{U\in\operatorname{Open}(X)\cap\Sigma}^{U\supseteq S}\mu(U)</math>

만약 모든 [[가측 집합]]이 <math>\mu</math>-내부 정칙 가측 집합이라면, <math>\mu</math>를 '''내부 정칙 측도'''({{llang|en|inner-regular measure}})라고 한다. 만약 모든 [[가측 집합]]이 <math>\mu</math>-외부 정칙 가측 집합이라면, <math>\mu</math>를 '''외부 정칙 측도'''({{llang|en|outer-regular measure}})라고 한다.

=== 라돈 측도 ===
<math>X</math>가 [[하우스도르프 공간]]이라고 하자.
[[보렐 시그마 대수]] <math>\mathcal B(X)</math> 위의 [[측도]] <math>\mu</math>가 다음을 만족시키면 '''라돈 측도'''라고 한다.
* (내부 정칙성) 내부 정칙 측도이다. 즉, 모든 [[보렐 집합]]은 <math>\mu</math>-내부 정칙 집합이다.
* (국소 유한성) 모든 점 <math>x\in X</math>에 대하여, <math>\mu(U_x)<\infty</math>인 [[열린 근방]] <math>U_x\ni x</math>가 존재한다.

== 성질 ==
<math>X</math>가 [[국소 콤팩트]] [[하우스도르프 공간]]이라고 하자. 임의의 콤팩트 집합 <math>K</math>에 대하여, <math>K</math>를 지지집합으로 하는 실수값 [[연속 함수]]들의 집합 <math>\mathcal C_K(X;\mathbb R)</math>은 노름
:<math>\|f\|=\max_{x\in K}|f(x)|</math>
에 따라서 [[바나흐 공간]]을 이룬다. <math>X</math> 위의, 콤팩트 [[지지집합]]을 갖는 실수값 [[연속 함수]]의 집합 <math>\mathcal C_{\text{comp}}(X;\mathbb R)</math>을 생각하자. 그렇다면
:<math>\mathcal C_{\text{comp}}(X;\mathbb R)=\bigcup_{K\text{ compact}}\mathcal C_K(X;\mathbb R)</math>
이므로, <math>\mathcal C_{\text{comp}}(X;\mathbb R)</math>는 [[국소 볼록 공간]]의 구조를 가진다.

어떤 실수값 함수 공간 <math>V\subseteq \mathbb R^X</math>위의 [[범함수]] <math>\phi\colon V\to\mathbb R</math>에 대하여, 만약 <math>f(x)\ge0\forall x\in X</math>인 <math>f\in V</math>에 대하여 <math>\phi(f)\ge0</math>이라면, <math>\phi</math>를 '''음이 아닌 범함수'''({{llang|en|nonnegative functional}})라고 하자. 그렇다면 <math>X</math> 위의 라돈 측도들의 집합과 <math>\mathcal C_K(X;\mathbb R)</math> 위의 음이 아닌 [[연속 함수|연속]] 범함수들의 집합 사이에는 자연스러운 [[일대일 대응]]이 존재한다. 구체적으로, 라돈 측도 <math>\mu</math>에 대하여,
:<math>f\in\mathcal C_{\text{comp}}(X;\mathbb R)\mapsto\int_Xf\,d\mu</math>
는 음이 아닌 범함수이다.

== 예 ==
[[보렐 시그마 대수]]에 국한시킨 [[르베그 측도]]는 유클리드 공간 위의 라돈 측도이다.

임의의 [[하우스도르프 공간]] <math>X</math> 및 점 <math>x\in X</math>에 대하여, <math>X</math>의 보렐 시그마 대수 위에 '''디랙 측도''' <math>\delta_x</math>를 다음과 같이 정의하자.
:<math>\delta_x(B)=\begin{cases}1&x\in B\\0&x\not\in B\end{cases}\qquad\forall B\in\mathcal B(X)</math>
그렇다면 이는 라돈 측도이다.

[[유클리드 공간]] 위의, [[보렐 시그마 대수]]에 국한시킨 [[셈측도]]는 라돈 측도가 아니다.

== 역사 ==
[[요한 라돈]]의 이름을 땄다.

== 외부 링크 ==
* {{eom|title=Radon measure}}
* {{매스월드|id=RegularBorelMeasure|title=Regular Borel measure}}

[[분류:측도]]