라그랑주 부분 다양체 문서 원본 보기

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[[심플렉틱 기하학]]에서 '''라그랑주 부분 다양체'''(Lagrange部分多樣體, {{llang|en|Lagrangian submanifold}})는 심플렉틱 형식의 [[당김 (미분기하학)|당김]]이 0이 되어, 국소적으로 [[일반화 좌표]](또는 [[일반화 운동량]])의 부분 다양체로 간주할 수 있는 최대 차원 부분 다양체이다.

== 정의 ==
<math>2n</math>차원 [[심플렉틱 다양체]] <math>(M,\omega)</math> 속의 매끄러운 부분 다양체 <math>\iota\colon N\hookrightarrow M</math>가 다음 조건을 만족시킨다면, '''등방성 부분 다양체'''(等方性部分多樣體, {{llang|en|isotropic submanifold}})라고 한다.
:<math>\iota^*\omega=0</math>
즉, 심플렉틱 형식 <math>\omega</math>를 <math>N</math>에 국한하였을 때 0이 되어야 한다.

<math>2n</math>차원 심플렉틱 다양체의 <math>n</math>차원 등방성 부분 다양체를 '''라그랑주 부분 다양체'''({{llang|en|Lagrangian submanifold}})라고 한다. 즉, 라그랑주 부분 다양체는 최대 차원의 등방성 부분 다양체이다.

이와 마찬가지로, 만약 <math>\iota</math>가 [[매장 (수학)|매끄러운 매장]]이 아니라 [[몰입 (수학)|매끄러운 몰입]]일 경우, 마찬가지로 '''등방성 몰입'''({{llang|en|isotropic immersion}}) 및 '''라그랑주 몰입'''({{llang|en|Lagrangian immersion}})을 정의할 수 있다.

=== 라그랑주 올뭉치 ===
'''라그랑주 올뭉치'''({{llang|en|Lagrangian fibration}})
:<math>L\stackrel\iota\hookrightarrow M\stackrel\pi\twoheadrightarrow B</math>
는 일반올 <math>L</math>이 전체 공간 <math>(M,\omega)</math>의 라그랑주 부분 다양체를 이루는 [[올뭉치]]이다. 이 경우, 합성 <math>\pi\circ\iota\colon L\to B</math>에서, <math>\pi</math>가 [[국소 미분 동형]]이 되지 않는 점, 즉 <math>n\times n</math> 행렬 <math>D(\pi\circ\iota)</math>의 [[계수 (선형대수학)|계수]]가 <math>n</math> 미민인 점들의 집합
:<math>\{b\in B\colon \operatorname{rank}D(\pi\circ\iota)|_b<n\}</math>
을 라그랑주 올뭉치의 '''초점면'''(焦點面, {{llang|en|caustic}})이라고 한다.

=== 특수 라그랑주 부분 다양체 ===
<math>2n</math>차원 [[켈러 다양체]] <math>M</math>위의 [[부피 형식]]이 <math>\omega^n/n!</math>이며, <math>(n,0)</math>-[[복소수 미분 형식]] <math>\Omega</math>가
:<math>\Omega\wedge\bar\Omega=\omega^n/n!</math>
를 만족시킨다고 하자. <math>\Omega</math>의 실수 성분과 허수 성분을 분해하자.
:<math>\Omega=\Omega_1+i\Omega_2,\qquad\Omega_1,\Omega_2\in H^n(M;\mathbb R)</math>
그렇다면, <math>(M,\Omega)</math> 속의 '''특수 라그랑주 부분 다양체'''({{llang|en|special Lagrangian submanifold}})는 다음 조건을 만족시키는 라그랑주 부분 다양체 <math>\iota\colon L\hookrightarrow M</math>이다.
:<math>\iota^*\Omega_2=0</math>
[[칼라비-야우 다양체]] 속의 특수 라그랑주 부분 다양체의 개념은 [[끈 이론]], 특히 [[거울 대칭]]에서 등장한다.

== 성질 ==
임의의 두 [[심플렉틱 다양체]] <math>(M_1,\omega_1)</math>, <math>(M_2,\omega_2)</math> 사이의 [[미분 동형]]
:<math>f\colon M_1\to M_2</math>
에 대하여, 다음 두 조건이 서로 [[동치]]이다.<ref name="BW">{{서적 인용|제목=Lectures on the geometry of quantization|출판사=American Mathematical Society|총서=Berkeley Mathematical Lecture Notes|권=8|isbn=978-0-8218-0798-9|날짜=1997|이름=Sean|성=Bates|이름2=Alan|성2=Weinstein|url=https://math.berkeley.edu/~alanw/GofQ.pdf|언어=en}}</ref>{{rp|Lemma 3.14}}
* <math>f</math>는 심플렉틱 사상이다. 즉, <math>f^*\omega_2=\omega_1</math>이다.
* <math>f</math>의 그래프 <math>\{(x,f(x))\colon x\in M_1\}\subset M_1\times M_2</math>는 <math>(M_1\times M_2,\omega_1\oplus(-\omega_2))</math>의 라그랑주 부분 다양체이다.

== 예 ==
=== 심플렉틱 벡터 공간의 라그랑주 부분 벡터 공간 ===
<math>2n</math>차원 [[심플렉틱 벡터 공간]]의 부분 벡터 공간 가운데 라그랑주 부분 다양체를 이루는 것을 '''라그랑주 부분 벡터 공간'''({{llang|en|Lagrangian linear subspace}})이라고 하며, 그 [[모듈라이 공간]]을 '''라그랑주 그라스만 다양체'''({{llang|en|Lagrangian Grassmannian}})라고 한다.

심플렉틱 벡터 공간에 심플렉틱 구조와 호환되는 [[내적 공간|내적]]을 주자 (이는 표준적이지 않다). 그렇다면, 내적의 선택에 따라 라그랑주 그라스만 다양체는 다음과 같이 나타낼 수 있다.
:<math>\operatorname{LagGrass}(n)\cong\operatorname U(n)/\operatorname O(n)</math>
그러나 이 동형은 내적의 선택에 의존하므로 표준적이지 않다. 라그랑주 그라스만 다양체는 [[단일 연결 공간]]이 아니며, 그 [[기본군]]은 [[무한 순환군]]
:<math>\pi_1\left(\operatorname{LagGrass}(n)\right)\cong\mathbb Z</math>
이다. 이로부터 '''[[마슬로프 지표]]'''를 정의할 수 있다.

=== 2차원 심플렉틱 다양체의 라그랑주 부분 다양체 ===
2차원 심플렉틱 다양체 <math>(\Sigma,\omega)</math> 속의 매끄러운 곡선 <math>\gamma\subset\Sigma</math>은 항상 라그랑주 부분 다양체를 이룬다. (곡선 위에는 0이 아닌 2차 [[미분 형식]]이 존재할 수 없기 때문이다.)

예를 들어, 표준적인 [[심플렉틱 구조]]를 부여한 2차원 [[유클리드 공간]] <math>\mathbb R^2=T^*\mathbb R</math>을 생각하자. 이 경우, 임의의 곡선 <math>\gamma\subset\mathbb R^2</math>은 라그랑주 부분 다양체를 이룬다. 이 경우, <math>x</math>축으로의 사영
:<math>\pi\colon\mathbb R^2\to\mathbb R</math>
:<math>\pi\colon(x,p)\mapsto x</math>
을 정의한다면, 이 사영에 대한 곡선의 초점면은 [[기울기]]가 무한대가 되는 점(즉, 접선이 <math>p</math>축과 평행한 점)이다. 예를 들어, [[타원]]
:<math>\frac12kx^2+\frac1{2m}p^2=E</math>
은 [[해밀토니언]] <math>H(x,p)=kx^2/2+p^2/2m</math>의 준위 부분 집합 <math>\{(x,p)\colon H(x,p)=E\}</math>인 라그랑주 부분 다양체이며, 초점면은 운동량이 0이 되는 점
:<math>\{\sqrt{2E/k},-\sqrt{2E/k}\}</math>
이다.

=== 공변접다발 ===
[[매끄러운 다양체]] <math>M</math> 위의 [[공변접다발]] <math>T^*M</math>은 자연스럽게 [[심플렉틱 다양체]]를 이룬다. 임의의 [[매끄러운 함수]] <math>S\colon M\to\mathbb R</math>에 대하여, 다음과 같은 <math>T^*M</math>의 부분 다양체를 정의하자.
:<math>\left\{(x,\partial_\mu S(x))\colon x\in M\right\}\subset T^*M</math>
그렇다면 이는 <math>T^*M</math>의 라그랑주 분 다양체를 이룬다. 특히, [[상수 함수]] <math>S=0</math>일 경우 이는 <math>M\subset T^*M</math>는 라그랑주 부분 다양체를 이룬다.

== 각주 ==
{{각주}}
* {{저널 인용 | 제목=On the topology of Lagrangian submanifolds: examples and counter-examples | 저널=Portugaliae Mathematica (nova série) | 권=62 | 호=4 | 날짜=2005 | 이름=Michèle | 성=Audin | url=http://www-irma.u-strasbg.fr/~maudin/LagrangianSubmanifolds05.pdf | 언어=en | access-date=2015-11-08 | archive-date=2015-10-18 | archive-url=https://web.archive.org/web/20151018155436/http://www-irma.u-strasbg.fr/~maudin/LagrangianSubmanifolds05.pdf | url-status=dead }}
* {{서적 인용 | 제목 = Sur la topologie des sous-variétés lagrangiennes | 이름=Mihai | 성=Damian | 출판사=[[스트라스부르 대학교]] | 기타=박사 학위 논문 (지도 교수 Michèle Audin) | url=https://tel.archives-ouvertes.fr/tel-00528690 | 날짜=2010-11-15 | 언어=fr }}

== 외부 링크 ==
* {{nlab|id=Lagrangian submanifold}}
* {{nlab|id=Lagrangian subspace}}
* {{nlab|id=Lagrangian correspondence}}
* {{nlab|id=isotropic submanifold|title=Isotropic submanifold}}
* {{nlab|id=Lagrangian Grassmannian}}
* {{nlab|id=isotropic Grassmannian|title=Isotropic Grassmannian}}
* {{웹 인용|url=http://mathoverflow.net/questions/60201/what-is-a-lagrangian-submanifold-intuitively|제목=What is a Lagrangian submanifold intuitively?|출판사=Math Overflow|언어=en}}

== 같이 보기 ==
* [[마슬로프 지표]]
* [[기하학적 양자화]]

[[분류:심플렉틱 기하학]]