라그랑주 네 제곱수 정리 문서 원본 보기

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[[수론]]에서 '''라그랑주 네 제곱수 정리'''(-數定理, {{llang|en|Lagrange's four-square theorem}})는 모든 양의 정수가 많아야 4개의 [[제곱수]]의 합이라는 정리이다.<ref name="오정환">오정환, 이준복, 《정수론》, 2003, 177쪽.</ref>

== 정의 ==
양의 정수 <math>n\in\mathbb Z^+</math>가 주어졌다고 하자. '''라그랑주 네 제곱수 정리'''에 따르면, 다음을 만족시키는 4개의 음이 아닌 정수 <math>x,y,z,w\in\mathbb Z^+\cup\{0\}</math>이 존재한다.
:<math>n=x^2+y^2+z^2+w^2</math>
사실, 4개라는 조건은 더 적은 개수로 대신할 수 없다. 즉, <math>n,k\in\mathbb Z^+\cup\{0\}</math>에 대하여, <math>4^n(8k+7)</math>는 3개의 제곱수의 합으로 나타낼 수 없으며, 이러한 꼴을 제외한 모든 정수들은 3개의 제곱수의 합으로 나타낼 수 있다. 또한, 음이 아닌 정수라는 조건은 양의 정수로 대신할 수 없다. 예를 들어, <math>n\in\mathbb Z^+\cup\{0\}</math>에 대하여, <math>2^{2n+1}</math>는 4개의 0이 아닌 제곱수의 합으로 나타낼 수 없다. 또한, 다음과 같은 12개의 수를 제외한 모든 양의 정수는 5개의 0이 아닌 제곱수의 합이다.
:1, 2, 3, 4, 6, 7, 9, 10, 12, 15, 18, 33 {{OEIS|A047701}}

== 증명 ==
사실 <math>n=p</math>가 [[소수 (수론)|소수]]일 경우를 보이는 것으로 충분하다. 이는 다음과 같은 [[오일러의 네 제곱수 항등식]] 때문이다.
:<math>\begin{align}
(x^2+{}&y^2+z^2+w^2)({x'}^2+{y'}^2+{z'}^2+{w'}^2)\\
={}&(xx'+yy'+zz'+ww')^2+(xy'-yx'-zw'+wz')^2\\
&+(xz'+yw'-zx'-wy')^2+(xw'-yz'+zy'-wx')^2\qquad\forall x,y,z,w,x',y',z',w'\in\mathbb Z^+\cup\{0\}
\end{align}</math>

또한, <math>p=2</math>일 경우는 자명하므로, <math>p>2</math>라고 가정하자. 이제 다음을 만족시키는 <math>k\in\{1,2,\dots,p-1\}</math> 및 <math>x,y\in\{0,1,\dots(p-1)/2\}</math>가 존재함을 보이자.
:<math>kp=x^2+y^2+1</math>
다음과 같은 두 집합이 서로소가 아님을 보이면 된다.
:<math>\{\phi_p(x^2)\colon x\in\{0,1,\dots,(p-1)/2\}\}\subseteq\mathbb Z/(p)</math>
:<math>\{\phi_p(-y^2-1)\colon y\in\{0,1,\dots,(p-1)/2\}\}\subseteq\mathbb Z/(p)</math>
여기서 <math>\phi_p(-)</math>는 <math>p</math>에 대한 나머지이며, <math>\mathbb Z/(p)</math>는 <math>p</math>에 대한 모든 나머지의 집합이다. 임의의 <math>x,x'\in\{0,1,\dots,(p-1)/2\}</math>에 대하여, 만약
:<math>x^2\equiv{x'}^2\pmod p</math>
라면,
:<math>x\equiv x'\pmod p</math>
이거나
:<math>x+x'\equiv 0\pmod p</math>
이므로, <math>x=x'</math>이다. 즉, 이 두 집합의 크기는 모두 <math>(p+1)/2</math>이며, <math>\mathbb Z/(p)</math>의 크기는 <math>p</math>이므로 이 두 집합은 서로소가 아니다. <math>k<p</math>인 이유는 다음과 같다.
:<math>kp=x^2+y^2+1<p^2/2+1<p^2</math>

이제 <math>p</math>가 4개의 제곱수의 합임을 증명하자. 다음과 같은 <math>m</math>을 정의하고, <math>m=1</math>임을 보이면 충분하다.
:<math>m=\min\{k\in\mathbb Z^+\colon\exists x,y,z,w\in\mathbb Z^+\cup\{0\}\colon kp=x^2+y^2+z^2+w^2\}\in\mathbb Z^+</math>
귀류법을 사용하여, <math>m>1</math>이라고 가정하자. 다음을 만족시키는 <math>x,y,z,w\in\mathbb Z^+\cup\{0\}</math>이 존재한다.
:<math>mp=x^2+y^2+z^2+w^2</math>

만약 <math>m</math>이 짝수라면, 편의상 <math>x^2+y^2</math>와 <math>z^2+w^2</math>가 짝수라고 가정할 수 있으며, 이 경우 다음이 성립한다.
:<math>\begin{align}mp/2
&=(x^2+y^2)/2+(z^2+w^2)/2\\
&=((x+y)/2)^2+((x-y)/2)^2+((z+w)/2)^2+((z-w)/2)^2
\end{align}</math>
이는 모순이므로, <math>m</math>은 홀수이다. 다음과 같은 <math>x',y',z',w'\in\{-(m-1)/2,\dots,(m-1)/2\}</math>를 취하자.
:<math>x\equiv x',\;y\equiv y',\;z\equiv z',\;w\equiv w'\pmod m</math>
그렇다면,
:<math>{x'}^2+{y'}^2+{z'}^2+{w'}^2\equiv 0\pmod m</math>
:<math>{x'}^2+{y'}^2+{z'}^2+{w'}^2<m^2</math>
이므로, 다음을 만족시키는 <math>0\le m'<m</math>이 존재한다.
:<math>mm'={x'}^2+{y'}^2+{z'}^2+{w'}^2</math>
만약 <math>m'=0</math>이라면,
:<math>x\equiv y\equiv z\equiv w\equiv 0\pmod m</math>
이므로,
:<math>p/m=(x/m)^2+(y/m)^2+(z/m)^2+(w/m)^2\in\mathbb Z</math>
이다. 이는 <math>1<m\le k<p</math>에 모순이다. 따라서, <math>m'\ge 1</math>이며, 또한 다음이 성립한다.
:<math>\begin{align}
m^2m'p=(x^2+{}&y^2+z^2+w^2)({x'}^2+{y'}^2+{z'}^2+{w'}^2)\\
={}&(xx'+yy'+zz'+ww')^2+(xy'-yx'-zw'+wz')^2\\
&+(xz'+yw'-zx'-wy')^2+(xw'-yz'+zy'-wx')^2
\end{align}</math>
마지막 등식의 각 항의 나머지를 생각하면 다음을 얻는다.
:<math>xx'+yy'+zz'+ww'\equiv x^2+y^2+z^2+w^2\equiv 0\pmod m</math>
:<math>xy'-yx'-zw'+wz'\equiv xy-yx-zw+wz\equiv 0\pmod m</math>
:<math>xz'+yw'-zx'-wy'\equiv xz+yw-zx-wy\equiv 0\pmod m</math>
:<math>xw'-yz'+zy'-wx'\equiv xw-yz+zy-wx\equiv 0\pmod m</math>
즉, <math>m'p</math>는 4개의 제곱수의 합으로 다음과 같이 나타낼 수 있다.
:<math>\begin{align}
m'p={}&((xx'+yy'+zz'+ww')/m)^2+((xy'-yx'-zw'+wz')/m)^2\\
&+((xz'+yw'-zx'-wy')/m)^2+((xw'-yz'+zy'-wx')/m)^2
\end{align}</math>
이는 모순이다. 따라서, <math>m=1</math>이며, <math>p</math>는 4개의 제곱수의 합이다.

== 역사 ==
[[디오판토스]]의 《산술(Αριθμητικα)》에서 처음으로 그 내용이 나타나고 [[프랑스]]의 [[클로드 가스파르 바셰]]가 [[1621년]] 이 책을 [[라틴어]]로 번역하여 [[유럽]] 수학계에 알려졌지만 이에 대한 제대로 된 증명은 없었다. 그 이후 '''바셰의 추측'''이라는 이름이 붙었으나, [[조제프루이 라그랑주]]가 [[1770년]]에 완전히 증명에 성공하였다.

== 같이 보기 ==
* [[페르마 두 제곱수 정리]]
* [[페르마 다각수 정리]]
* [[15 정리]]
* [[야코비의 네 제곱수 정리]]
* [[웨어링의 문제]]

== 각주 ==
{{각주}}

== 외부 링크 ==
* {{매스월드|id=LagrangesFour-SquareTheorem|title=Lagrange's four-square theorem}}
* [https://web.archive.org/web/20131213133959/http://domath.kr/wiki/index.php/Quadric_Dioph_Lagrange Quadric Dioph Lagrange - Domath ( 증명 자세히 보기 )]

[[분류:수론 정리]]