라그랑주 네 제곱수 정리

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틀:위키데이터 속성 추적 수론에서 라그랑주 네 제곱수 정리(-數定理, 틀:Llang)는 모든 양의 정수가 많아야 4개의 제곱수의 합이라는 정리이다.[1]

정의

양의 정수 n∈ℤ+가 주어졌다고 하자. 라그랑주 네 제곱수 정리에 따르면, 다음을 만족시키는 4개의 음이 아닌 정수 x,y,z,w∈ℤ+∪{0}이 존재한다.

n=x2+y2+z2+w2

사실, 4개라는 조건은 더 적은 개수로 대신할 수 없다. 즉, n,k∈ℤ+∪{0}에 대하여, 4n(8k+7)는 3개의 제곱수의 합으로 나타낼 수 없으며, 이러한 꼴을 제외한 모든 정수들은 3개의 제곱수의 합으로 나타낼 수 있다. 또한, 음이 아닌 정수라는 조건은 양의 정수로 대신할 수 없다. 예를 들어, n∈ℤ+∪{0}에 대하여, 22n+1는 4개의 0이 아닌 제곱수의 합으로 나타낼 수 없다. 또한, 다음과 같은 12개의 수를 제외한 모든 양의 정수는 5개의 0이 아닌 제곱수의 합이다.

1, 2, 3, 4, 6, 7, 9, 10, 12, 15, 18, 33 틀:OEIS

증명

사실 n=p가 소수일 경우를 보이는 것으로 충분하다. 이는 다음과 같은 오일러의 네 제곱수 항등식 때문이다.

(x2+y2+z2+w2)(x′2+y′2+z′2+w′2)=(xx′+yy′+zz′+ww′)2+(xy′−yx′−zw′+wz′)2+(xz′+yw′−zx′−wy′)2+(xw′−yz′+zy′−wx′)2∀x,y,z,w,x′,y′,z′,w′∈ℤ+∪{0}

또한, p=2일 경우는 자명하므로, p>2라고 가정하자. 이제 다음을 만족시키는 k∈{1,2,…,p−1} 및 x,y∈{0,1,…(p−1)/2}가 존재함을 보이자.

kp=x2+y2+1

다음과 같은 두 집합이 서로소가 아님을 보이면 된다.

{ϕp(x2):x∈{0,1,…,(p−1)/2}}⊆ℤ/(p)
{ϕp(−y2−1):y∈{0,1,…,(p−1)/2}}⊆ℤ/(p)

여기서 ϕp(−)는 p에 대한 나머지이며, ℤ/(p)는 p에 대한 모든 나머지의 집합이다. 임의의 x,x′∈{0,1,…,(p−1)/2}에 대하여, 만약

x2≡x′2(modp)

라면,

x≡x′(modp)

이거나

x+x′≡0(modp)

이므로, x=x′이다. 즉, 이 두 집합의 크기는 모두 (p+1)/2이며, ℤ/(p)의 크기는 p이므로 이 두 집합은 서로소가 아니다. k<p인 이유는 다음과 같다.

kp=x2+y2+1<p2/2+1<p2

이제 p가 4개의 제곱수의 합임을 증명하자. 다음과 같은 m을 정의하고, m=1임을 보이면 충분하다.

m=min⁡{k∈ℤ+:∃x,y,z,w∈ℤ+∪{0}:kp=x2+y2+z2+w2}∈ℤ+

귀류법을 사용하여, m>1이라고 가정하자. 다음을 만족시키는 x,y,z,w∈ℤ+∪{0}이 존재한다.

mp=x2+y2+z2+w2

만약 m이 짝수라면, 편의상 x2+y2와 z2+w2가 짝수라고 가정할 수 있으며, 이 경우 다음이 성립한다.

mp/2=(x2+y2)/2+(z2+w2)/2=((x+y)/2)2+((x−y)/2)2+((z+w)/2)2+((z−w)/2)2

이는 모순이므로, m은 홀수이다. 다음과 같은 x′,y′,z′,w′∈{−(m−1)/2,…,(m−1)/2}를 취하자.

x≡x′,y≡y′,z≡z′,w≡w′(modm)

그렇다면,

x′2+y′2+z′2+w′2≡0(modm)
x′2+y′2+z′2+w′2<m2

이므로, 다음을 만족시키는 0≤m′<m이 존재한다.

mm′=x′2+y′2+z′2+w′2

만약 m′=0이라면,

x≡y≡z≡w≡0(modm)

이므로,

p/m=(x/m)2+(y/m)2+(z/m)2+(w/m)2∈ℤ

이다. 이는 1<m≤k<p에 모순이다. 따라서, m′≥1이며, 또한 다음이 성립한다.

m2m′p=(x2+y2+z2+w2)(x′2+y′2+z′2+w′2)=(xx′+yy′+zz′+ww′)2+(xy′−yx′−zw′+wz′)2+(xz′+yw′−zx′−wy′)2+(xw′−yz′+zy′−wx′)2

마지막 등식의 각 항의 나머지를 생각하면 다음을 얻는다.

xx′+yy′+zz′+ww′≡x2+y2+z2+w2≡0(modm)
xy′−yx′−zw′+wz′≡xy−yx−zw+wz≡0(modm)
xz′+yw′−zx′−wy′≡xz+yw−zx−wy≡0(modm)
xw′−yz′+zy′−wx′≡xw−yz+zy−wx≡0(modm)

즉, m′p는 4개의 제곱수의 합으로 다음과 같이 나타낼 수 있다.

m′p=((xx′+yy′+zz′+ww′)/m)2+((xy′−yx′−zw′+wz′)/m)2+((xz′+yw′−zx′−wy′)/m)2+((xw′−yz′+zy′−wx′)/m)2

이는 모순이다. 따라서, m=1이며, p는 4개의 제곱수의 합이다.

역사

디오판토스의 《산술(Αριθμητικα)》에서 처음으로 그 내용이 나타나고 프랑스의 클로드 가스파르 바셰가 1621년 이 책을 라틴어로 번역하여 유럽 수학계에 알려졌지만 이에 대한 제대로 된 증명은 없었다. 그 이후 바셰의 추측이라는 이름이 붙었으나, 조제프루이 라그랑주가 1770년에 완전히 증명에 성공하였다.

같이 보기

각주

틀:각주

외부 링크

  1. ↑ 오정환, 이준복, 《정수론》, 2003, 177쪽.
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