디바이 모형 문서 원본 보기

{{위키데이터 속성 추적}}
{{통계역학}}
[[응집물질물리학]]에서 '''디바이 모형'''({{lang|en|Debye model}})은 [[결정]]의 [[비열]]을 [[포논]]을 사용하여 다루는 모형이다.

==역사==
[[피터 디바이]]가 1912년에 발표하였다.<ref>{{저널 인용|제목={{lang|de|Zur Theorie der spezifischen Wärmen}}|이름=Peter|성=Debye|저자링크=피터 디바이|저널={{lang|de|Annalen der Physik}}|doi=10.1002/andp.19123441404|권=344|호=14|쪽=789–839|연도=1912}}</ref>

== 전개 ==
부피가 <math>V</math>이고, <math>N</math>개의 입자로 이루어져 있는 [[결정]]을 생각하자. 결정 속 [[포논]]이 다음과 같은 선형 [[분산 관계]]를 가진다고 하자.
:<math>E=\hbar v\|\mathbf k\|</math>.
여기서 <math>\hbar</math>는 [[디랙 상수]], <math>v</math>는 결정 속 [[음속]], <math>\mathbf k</math>는 포논의 [[파수 벡터]]이다. (물론 실제 포논의 분산 관계는 비선형이지만, <math>E</math>가 매우 작은 경우에는 분산 관계를 대략 선형으로 간주할 수 있다.)

결정의 크기가 <math>\sqrt[3]V</math>이므로, [[정상파]] 파수는 다음과 같다.
:<math>k_i=\pi n_i/\sqrt[3]V</math> (<math>n=1,2,3,4,\dots,\sqrt[3]N</math>. <math>i=1,2,3</math>).
포논은 [[보스-아인슈타인 통계]]를 따르고, [[화학 퍼텐셜]]이 0이다 (즉, [[퓨가시티]]가 1이다). 따라서 포논 기체의 [[큰 바른틀 앙상블|큰 바른틀]] [[분배 함수 (통계역학)|분배 함수]]는 다음과 같다.
:<math>\ln\Xi(\beta)=-\sum_{n_1=1}^{\sqrt[3]N}\sum_{n_2=1}^{\sqrt[3]N}\sum_{n_3=1}^{\sqrt[3]N}
3\ln\left(1-\exp(-\beta hv\sqrt{n_1^2+n_2^2+n_3^2}/2\sqrt[3]L)\right)</math>.
(여기서 <math>3</math>은 포논의 [[자유도]]의 수이다.)

합을 [[토머스-페르미 근사]]로 쓰면 같다.
:<math>\ln\Xi(\beta)=-3\int_0^{\sqrt[3]N}\int_0^{\sqrt[3]N}\int_0^{\sqrt[3]N}\ln\left(1-\exp(-\beta hv\|\mathbf n\|/2\sqrt[3]L)\right))\;d^3\mathbf n</math>
::<math>\approx-\frac{3\pi}2\int_0^{\sqrt[3]{6N/\pi}}n^2\ln\left(1-\exp(-\beta hvn/2\sqrt[3]L)\right)\;dn</math>
::<math>=-9N\int_0^1x^2\ln\left(1-\exp(-x(T_{\text{D}}/T))\right)\;dx</math>.
여기서
:<math>T_{\text{D}}=\frac{hv}k\sqrt[3]{3N/4\pi V}</math>
를 '''디바이 온도'''({{lang|en|Debye temperature}})라고 하고, 이에 대응하는 주파수
:<math>\nu_{\text{D}}=v\sqrt[3]{3N/4\pi V}</math>
를 '''[[디바이 주파수]]'''({{lang|en|Debye frequency}})라고 한다.

=== 디바이 결정의 에너지와 열용량 ===
[[파일:DebyeVSEinstein.jpg|섬네일|right|디바이 모형과 [[아인슈타인 모형]]이 예측하는 열용량. 실선은 디바이 모형, 점선은 [[아인슈타인 모형]]이다. 높은 온도에서는 두 모형 모두 [[뒬롱-프티 법칙]](붉은 점선)에 부합하는 것을 볼 수 있다.]]
디바이 결정의 에너지는
:<math>E=-\frac{\partial}{\partial\beta}\ln\Xi</math>
::<math>=9NkT_{\text{D}}\int_0^1\frac{x^3}{\exp(x(T_{\text{D}}/T))-1}\;dx</math>
::<math>=\frac{9NkT^4}{T_{\text{D}}^3}\int_0^{T_{\text{D}}/T}\frac{y^3}{\exp y-1}\;dy</math>
이고, 그 [[비열용량]]은
:<math>c=\frac1{Nk}\frac{dE}{dT}</math>
::<math>=9T_{\text{D}}^2\int_0^1\frac{x^4\exp(x(T_{\text{D}}/T))}{T^2(\exp(x(T_{\text{D}}/T))-1)^2}\;dx</math>
::<math>=9(T/T_{\text{D}})^3\int_0^{T_{\text{D}}/T}\frac{y^4\exp y}{(\exp y-1)^2}\;dy</math>
이다.

== 같이 보기 ==
* [[보스 기체]]
* [[그뤼나이젠 상수]]
== 각주 ==
{{각주}}

{{전거 통제}}

[[분류:응집물질물리학]]
[[분류:통계역학]]